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1、,几何与代数,主讲:关秀翠,东南大学数学系,绪论,课程中心：用户名：一卡通号 密码：问教务处初始密码,课程名称：几何与代数（B）班级名称：关秀翠11-4-6,学生在获得选课码：MMVR-8261 之后，只需在选课功能中直接输入选课码即可成功的选上课程。,学生人数限制：270人,选课开始时间：2011-9-12,选课结束时间：2012-01-01,我想说,课程的重要性,大学与中学的区别,“几何与代数”和“高等数学”的区别,“几何与代数”的基本思想方法,“几何与代数”的主要内容,学什么？怎么学？,3,我想说,课程的重要性,工科基础,考研基础,思维训练,电子工程与信息类专业有十多门课程要用矩阵建模和
2、解题，比如电路、数值计算方法、计算机图形学、信号与系统、数字信号处理、系统动力学、自动控制原理、机械振动等。,考研高数一中线性代数占 22.5%，高数占55%，概率统计占22.5%。,塑造学生内在素质,培养化繁为简的思考模式,培养分析问题的能力,培养发散思维,转化思想，训练思维的联想性,转换思考角度，训练思维的求异性,多角度看问题,探讨变换问题条件,4,5,我想说,课程的重要性,大学与中学的区别,应试型学习转为应用型学习,被动学习转为主动学习,大学：学生是学习的主体，老师来引导,6,“到了大学，你们还没被灌过吗？”韦钰教授（中国工程院院士、东大老校长、前教育部副部长，2011.8.22）,以学
3、生为中心的教与学,团队式学习,问题式预习,（每4-5人一组，不超过28 个小组）,一个具有较强的组织和协调能力的领导者（Team Leader）；,一个善于跟着老师的思路听课程的主要思想者（Thinker）；,一个善于随着老师的讲解记笔记、收集各种相关学习材料的人（Collector）；,一个具有较强的表达能力，作为本组的发言人（Reporter）；,一个动手能力较强，擅长计算机编程的人（Programmer）.,渗透到课前预习、课上演讲、课堂听讲、课内讨论、课下作业、课后实验、课外论文等各个环节。期末将对学生的团队协作能力进行测试，给出学生能提高自己的建议。,考核占5%,引导式教学,自主性考
4、试（期中占15%）,学术性论文（考核占5%）,演讲式展现,数学实验5%,平时作业5%,期末考试65%,8,武汉大学王林昌教授在谈到大一新生如何设计自己的大学之路时说，上大学有四项任务，一是要学会做人，二是要学会做事，三是要学会学习，四是要学会处理人际关系。,9,我想说,课程的重要性,大学与中学的区别,“几何与代数”和“高等数学”的区别,“几何与代数”的基本思想方法,“几何与代数”的主要内容,学什么？怎么学？,10,“几何与代数”和“高等数学”的区别,高等数学的一个重要思想是把非线性的问题用线性问题来近似，那么线性问题的求解任务自然就交给了线性代数。,高等数学中有大量公式要记并使用，而线性代数无
5、须记任何公式，注重理论推导来增强逻辑推理能力。,11,高等数学重解题技巧，几何与代数重思想轻技巧，重举一反三。,解析几何的重要性,线性代数的基本思想,“几何与代数”的基本思想方法,从笛卡尔的解析几何与古典几何作图的三大难题谈起,从两个游戏谈起,从动物连连看谈等价分类,从数独游戏谈向量空间,12,解析几何的重要性,从笛卡尔的解析几何与古典几何作图的三大难题谈起,笛卡尔直角坐标系的伟大功绩：实现了两个几何与代数之间的一一对应.,13,解析几何的重要性,从笛卡尔的解析几何与古典几何作图的三大难题谈起,古典几何作图的三大难题:,有限次使用圆规和直尺(无刻度),1把任意角三等分；2作一个正方形，它的面积
6、等于已知圆面积；3作一个正立方体，它的体积等于已知正立方体的2倍。,解析几何是如何解决这些问题的呢?它提出了如下三问：,14,笛卡尔直角坐标系的伟大功绩：实现了两个几何与代数之间的一一对应.,用解析几何求解古典几何作图的三大难题,有限次使用圆规和直尺(无刻度),1把任意角三等分；2作一个正方形，它的面积等于已知圆面积；3作一个正立方体，它的体积等于已知正立方体的2倍。,解析几何是如何解决这些问题的呢?它提出了如下三问：,一问：尺规作图的功能是什么?,15,画直线,二元一次方程,画圆,特殊的二元二次方程(平方项系数相等，交叉项系数为0),用解析几何求解古典几何作图的三大难题,一问：尺规作图的功能
7、是什么?,二问：几何作图的本质是什么?,16,求一系列直线与直线、直线与圆、圆与圆的交点,求一系列二元一次或(特殊)二元二次方程的根,用解析几何求解古典几何作图的三大难题,有限次使用圆规和直尺(无刻度),1把任意角三等分；2作一个正方形，它的面积等于已知圆面积；3作一个正立方体，它的体积等于已知正立方体的2倍。,一问：尺规的作图功能?,二问：几何作图的本质?,三问：几何作图有解的充要条件是什么?,代数：三类方程组的解有什么特点?,三类方程组的根一定可以由原方程的系数，经过加、减、乘、除及开平方这5种运算表示出来。,都不可能！,17,空间解析几何的基本思想用代数方法研究几何问题,几何与代数的关系
8、：,数量关系,在三维空间中:,空间形式 点,线,面，二次曲面,基本方法 坐标法;向量法,坐标,方程（组）,三维n维,18,解析几何的重要性,线性代数的基本思想,“几何与代数”的基本思想方法,从笛卡尔的解析几何与古典几何作图的三大难题谈起,从两个游戏谈起,从动物连连看谈等价分类,从数独游戏谈向量空间,19,从动物连连看谈等价分类,20,游戏规则：可连的两个动物消掉一个，游戏成功时就是每类动物只有一个，作为代表.,从数独游戏到杜勒魔方,21,Drer魔方：4阶，每一行之和为34，每一列之和为34，对角线（或次对角线）之和是34，每个小方块中的数字之和是34，四个角上的数字加起来也是34.,版画创造
9、时间：1514年,多么奇妙的魔方！,Drer魔方,该魔方出现在德国著名的艺术家 Albrecht Drer于1514年创造的版画Melancolia。,从杜勒魔方到向量空间,22,4阶Drer魔方：行和=列和=对角线（或次对角线）之和=每个小方块之和=四个角之和.,铜币铸造时间：1514年,多么奇妙的魔方！,你想构造Drer魔方吗？Drer魔方有多少个？如何构造所有的Drer魔方？,和为53.,Drer魔方,23,从杜勒魔方到向量空间,4阶Drer魔方：行和=列和=对角线（或次对角线）之和=每个小方块之和=四个角之和.,你想构造Drer魔方吗？Drer魔方有多少个？如何构造所有的Drer魔方？
10、,A=,B=,设A,B是任意两个Drer 魔方，,对任意实数k，kA 是Drer魔方吗？,A+B 是Drer魔方吗？,Drer魔方,24,从杜勒魔方到向量空间,你想构造Drer魔方吗？Drer魔方有多少个？如何构造所有的Drer魔方？,设A,B是任意两个Drer 魔方，,对任意实数k，kA 是Drer魔方吗？,A+B 是Drer魔方吗？,允许构成魔方的数取任意实数,任意两个Drer魔方的任意的线性组合仍是Drer魔方。,记 D=A=(aij)R44|A为Drer魔方,则D构成一个向量空间，称为Drer魔方空间.,无穷多个,求出魔方空间的一组基,基的任意线性组合都构成一个Drer魔方.,Drer
11、魔方空间,25,从杜勒魔方到向量空间,我想说,课程的重要性,大学与中学的区别,“几何与代数”和“高等数学”的区别,“几何与代数”的基本思想方法,“几何与代数”的主要内容,学什么？怎么学？,26,几何与代数代数的主要内容,二、主要任务是什么？,求解并应用线性方程组,返回,四、主要问题是什么？,方阵的相似对角化,实对称矩阵的正定性,向量组的线性无关性,矩阵的秩,三、主要工具是什么？,27,初等变换,一、主要研究对象是什么？,向量组,矩阵,线性方程组,几何向量,代数向量,五、核心概念有哪些？,六、主要思想方法？,向量空间的基,化繁为简,等价分类,实二次曲面的判别,线性方程组：,(2)2(1)可得：,
12、1/3(2)可得：,(1)(2)可得：,高斯消元法：,(2)+k(1)(k0),k(2)(k0),(1)(2),初等变换,线性代数的核心工具,返回,28,线性方程组：,高斯消元法：,初等变换,29,学什么？怎么学？,30,研究式的教与学,几代知识点较零散，力求弄清知识点的产生和前后联系，增强整体感,加强几代对我们的思维训练和能力训练,掌握三基基本概念(定义、符号)、基本理论(定理、公式)、基本方法(计算、证明)做好预习复习体会思路，学会总结多看多练多想深入体会思想方法，提高逻辑思维能力按时完成作业 A B C每周二课前交作业，每周四晚有答疑，在J8-4楼专用教室,趣味思考题、小论文,我想说,课
13、程的重要性,大学与中学的区别,“几何与代数”和“高等数学”的区别,“几何与代数”的基本思想方法,“几何与代数”的主要内容,学什么？怎么学？,31,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.1 二阶、三阶行列式,一.二元线性方程组与二阶行列式,(a11a22a12a21)x1=b1a22a12b2(a11a22a12a21)x2=a11b2b1a21,当 a11a22a12a21 0 时,1.1 二阶、三阶行列式,32,经济政策模型,则当D 0时,x1=,b1a22a12b2,a11a22a12a21,方程组有唯一确定的解,x2=,a11a22a12a21,a11b2b1a21,第一章 行列式和线性
14、方程组的求解,1.1 二阶、三阶行列式,=a11b2b1a21,二阶行列式的对角线法则,Cramer法则,33,=a11a22a12a21,n元线性方程组与n阶行列式,34,问题1：2元线性方程组的Cramer法则能否推广到n元？,问题2：n阶行列式的定义和计算？,教学内容和基本要求,第一章 行列式和线性方程组的求解,35,问题1：2元线性方程组的Cramer法则能否推广到n元？,问题2：n阶行列式的定义和计算？,1.二阶、三阶行列式如何计算？,1.1-1.2 二阶、三阶、n阶行列式,2.如何将二、三阶行列式的计算推广到n阶行列式？,36,第一章 行列式和线性方程组的求解,问题1：2元线性方程
15、组的Cramer法则能否推广到n元？,问题2：n阶行列式的定义和计算？,三阶行列式的对角线法则,a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3,=a1b2c3,每项都是三个元素的乘积.,每项的三个元素位于不同的行列.,问题:能用对角线法则计算四阶行列式吗?,a1 a2 a3 a4b1 b2 b3 b4c1 c2 c3 c4d1 d2 d3 d4,对角线法则可得八项的代数和；,每项是四个位于不同行列的元素乘积,产生矛盾,否,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.1 二阶、三阶行列式,a1b3c2,37,可得 4！=24 项的代数和.,+a2b3c1,+a3b1c2,a3b2c1,a2b1c3,
16、二.三阶行列式的特点,每一项都是三个位于不同行和列的元素的乘积.,=a11 a22 a33+a12 a23 a31+a13 a21 a32 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22 a31.,将行标按1,2,3排好，列标恰好对应于1,2,3的6种排列.,代数和的符号与列标排列的逆序数有关.,(1)1,对换2次,对换1次,(1)2,问题:如何利用二三阶行列式的其他特点计算四阶以上行列式?,对换的次数称为逆序数.,(1)0,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.1 二阶、三阶行列式,38,a11 a12 a13 a21 a22 a23a31 a32 a33,排列j1 j2 j
17、3的逆序数,对所有不同的三级排列 j1 j2 j3求和,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.1 二阶、三阶行列式,=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,39,问题：如何定义排列的逆序数？,1.逆序数,逆序：违反从小到大的正常顺序,一个排列的逆序数:所有数的逆序数的总和.,奇(偶)排列：逆序数为奇(偶)数的排列.,逆序数k：设i1 i2 ik in是1n的一个排列,则ik在此排列中的逆序数k为排在数ik之前(后)比ik大(小)的数的个数.,三.排列的逆序数与奇偶性,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.2 n阶
18、行列式,对换(变成12n)的次数称为逆序数.,40,计算方法不同逆序数可能不同，但其奇偶数相同.,例1.求下列排列的逆序数(1)32514,(2)n(n1)(n2)321,(3)(2n)(2n2)4213(2n3)(2n1).,逆序数k：排在数ik之前(后)比ik大(小)的数的个数.,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.2 n阶行列式,41,1.二阶、三阶行列式如何计算？,1.1-1.2 二阶、三阶、n阶行列式,2.如何将二、三阶行列式的计算推广到n阶行列式？,42,对角线法则,由列标排列的逆序数确定符号,逆序数：排在数ik之前(后)比ik大(小)的数的个数.,对换(变成12n)的次数称为逆
19、序数.,作业及问题式预习,(A)填空题选择题：作为课下练习,一.(A)1(1-4),(B)1,2,3,(B)留作业,每周二交作业,(C)课下提高题：有时间的话尽量做,43,1.行列式的几何含义是什么？（参考思考题）,2.n阶行列式是n2个数还是一个数？“|”是一个表示符号还是一个运算符号？,3.行列式的众多性质中哪几个是基本性质？,4.化为上三角形行列式的一般顺序是怎样的？,趣味思考题一,试证明在二维平面上，2阶行列式 的绝对值是以=(a11,a21),=(a12,a22)为邻边的平行四边形的面积。,提示：在二维平面上，,=(a11,a21),=(a12,a22),(1)试计算=(a12,a22)=(a11,a21)时的平行四边形面积；,(3)试说明 与D的关系；,(2)试说明 与D的关系；,44,
