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1、1,第一章 函数的极限与连续,第一节 函数及其性质,第二节 极限,第三节 函数的连续性,分析基础,函数,极限,连续, 研究对象, 研究方法, 研究桥梁,2,第一节 函数及其性质,一、函数的概念,二、函数的性质,本节主要内容:,3,一、函数的概念,(一)区间与邻域,1 .区间,研究函数时,常常要用到区间的概念.,设,开区间,闭区间,右半开区间,左半开区间,实数a ,b叫相应区间的端点,数b - a 称为区间的长度.,规定:,4,无限区间,5,2 .邻域,点 的 邻域,其中, 称为邻域中心 , 正数 称为邻域半径 .,点 的去心 邻域,点 的左 邻域 :,右 邻域 :,以 为中心的任何开区间称为点
2、的邻域,记作,6,(二)函数的概念,子集，任意 xD，变量 y 按照某个对应关系,则称 f 是定义在 D 上的函数，x 称为自变量,f ,有唯一确定的实数与之对应(记作 y=f (x) ) ,定义1.1.1 设x , y 是两个变量，D 是 R 的非空,y 称为因变量. D 称为函数 f 的定义域，数集,f (D)= f (x) | xD 称为函数 f 的值域 .,1 .函数的定义,7,定义域: 是指使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.,确定函数的两要素：(1)对应关系; (2)定义域.,如, 绝对值函数,定义域,值 域,与函数 g (x) = x,定义域 D = R, 值域 f ( D
3、) = R,在 x 0 时对应关系不相同,所以,是两个不同的函数.,但 f (x) 与,则是同一个函数.,两个函数只有当两要素都相同时，才是同一个函数.,8,例 1 确定函数 的定义域，并求,该函数的定义域应为满足不等式组,解之得：,故该函数的定义域为,解,9,常用的方法有：表格法、图示法和公式法。,（1）以表格形式表示函数的方法称为函数,的表格表示.,（2）以图形表示函数的方法称为函数的,图示法.,（3）用数学式表示函数的方法称为函数,的公式表示法，也称解析法.,2.函数的表示方法,10,习惯上, 的反函数记成,定义1. 1. 2 设有函数 y = f (x) ，其定义域为D ，值域为M如果
4、对于M中的每一个 y 值 (yM)，都可以从关系式y =f (x) 确定唯一的 x值(xD)与之对应，那么所确定的以y为自变量的函数,3.反函数,叫做函数y =f (x)的反函数，,它的定义域为M，值域为D,11,(1) yf (x) 单调递增(减), 其反函数,存在, 且反函数也单调递增(减) .,反函数性质:,(2) 函数 y = f (x)与其,y = x 对称 .,反函数,的图形关于直线,12,4.基本初等函数及其图象:,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数,反三角函数,以上五类函数称为基本初等函数.,基本初等函数的图像及性质请自行复习.,13,5.复合函数,定义1. 1. 3,14,
5、说明：,1.不是所有函数都能构成复合函数.,例如：1.函数,因为u =x2+2的值域为 y =arcsinu的定义域为-1,1 , 由于 所以 不能构成复合函数.,15,例如：函数,复合而成的函数为,3.对于复合函数要会 “分解”.,分解复合函数原则:由处层向内层逐层分解,并观察各层函数是否为基本初等函数或简单函数.,2.复合函数还可以由两个以上函数的复合而成.,注:由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算构成的函数叫简单函数.,16,例 2 试将下列函数复合成一个函数: (1) 与 (2),(1) 所求的复合函数为,它的定义域为：-1,1,(2)所求的复合函数为,它的定义域为：,解,17,例
6、 3 指出下列函数是由哪些简单函数复合而成的:,(1),(2),解,复合而成.,(2),(1),是由,复合而成.,是由,18,定义1. 1. 4 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合所构成，且可用一个式子表示的函数，称为初等函数,表面形式复杂,但依然是初等函数.,6.初等函数,19,不是初等函数,是初等函数,不是初等函数,是初等函数,20,对定义域的某些不同部分，对应关系用不同的式子表示的函数，称为分段函数.,例如：,注意: 分段函数一般不是初等函数. 分段函数不可认为是若干函数的和, 也不是几个函数,而是一个函数! 只是随着自变量 x 取不同范围的值,函数对应的表达式不
7、同.,7.分段函数,21,例 4 设求其定义域、值域及 f (2) 、f (0) 和f (-2) ,定义域 D = R，值域 M=-1，0，1,f (2) = 1,f (0) = 0,f (-2) = -1.,解,22,定义域D = 0,+)，值域M = 0,+),求其定义域、值域及,t0时， 无意义;,t 0时，,解,例5 设,23,定义1. 1. 5 设函数y=f (x)的定义域关于原点对称，如果对于定义域中的任何x，都有,二.函数的性质,(一)奇偶性,如果对于定义域中的任何x ，都有,不是偶函数也不是奇函数的函数，称为非奇非偶函数.,则称 y =f (x)为奇函数,则称 y =f (x)
8、为偶函数.,24,如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形. 反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数.,奇函数与偶函数图象的对称性,如果一个函数是偶函数，则它的图形是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数是偶函数.,25,定义域 D = 且有,例 6 判断函数,所以该函数是奇函数,解,的奇偶性,26,定义1. 1. 6 设函数y=f (x), x1, x2为区间(a,b)内任意两个数， 若当x1 f (x2)，则称函数f (x)在区间(a, b)内是单调减少的,(二)单调性,27
9、,几何特征,单调增加,单调减少,28,定义1. 1. 7 设函数 y = f (x)在区间I上有定义，当任意xI， 恒有| f (x) |M 成立，则称函数 y=f (x) I上的有界函数; 如果不存在这样的正数M ，则称函数 y = f (x)为I上的无界函数,(三)有界性,29,几何特征,我们说一个函数是有界的或是无界的，应同时指出其自变量的相应范围,30,定义1. 1. 8 对于函数 y=f (x) ，如果存在一个不为零的正数L ，使得对于定义域内的一切x,等式 f (x +L)= f (x) 都成立，则 y = f (x) 叫做 周期函数，L 叫做这个函数的周期,(四)周期性,周期函数
10、若存在最小正周期，通常将最小正周期简称为周期.,31,复习反三角函数,1.反正弦函数:,定义域:,值域:,函数单调增加且有界.,在 上的,反函数叫反正弦函数,记作:,它的,32,2. 反余弦函数:,定义域:-1,1,值域:,函数单调减少且有界.,在,叫反余弦函数, 记作:,它的,上的反函数,33,渐近线,渐近线,3.反正切函数:,在,内的反函数,叫反正切函数,记作:,它的定义域:,值域:,函数单调增加且有界.,34,4.反余切函数:,叫反余切函数,记作:,它的定义域:,值域:,函数单调减少且有界.,在,内的反函数,渐近线,渐近线,35,第一节 内容小结:,一.函数的概念,二.函数的性质,函数的定义及表示法 反函数 复合函数,基本初等函数 初等函数 分段函数,奇偶性 单调性 有界性 周期性,36,课后作业,
