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1、微积分（二）,保险学院精算与风险管理方向韩雨,多元复合函数的求导,Contents,1,多元函数的极值,2,利用直角坐标计算二重积分,3,利用极坐标计算二重积分,4,多元函数连续、可导、可微的关系,注意： 逆否命题,复合函数求导法则,以上公式中的导数 称为全导数.,复合函数求导法则,全微分形式不变性,无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的.,隐函数求导法则,隐函数求导法则,多元函数的极值,定义,多元函数取得极值的条件,定义一阶偏导数同时为零的点，均称为多元函数的驻点.,极值点,注意,驻点,条件极值：对自变量有附加条件的极值,是否存在？,解：,所以极限不存在.,典型例题
2、,例1,解：,例2,设有函数,（1）讨论函数,在点,连续性；,偏导数,（2）讨论函数,以及在点,偏导数.,证明偏导数在点,不连续.,在点,不可微.,（3）,（4）,证明,例3,分析：由于 是分段函数，需要从定义出发讨论。,解:（1）当,时，有,=,，又,所以,从而函数,在点,连续；,（2）当,时,当,时，有,证明偏导数在点,不连续,（3）,由于,因此,都不存在，从而函数,的,在点,在点,不可微.,（4）,证明,由于,，极限,因此,所以函数,不存在，,解1 基本方法,其中,偏导数连续,例4,解2 利用全微分形式不变性，等式两边求微分,也可套用隐函数的偏导数公式法,解3,设产品的产量是劳动力x和原
3、料y的函数为,假定每单位劳动力花费100元，每单位原料花费200元，现有资金30000元用于生产，应如何按排劳动力与原料，使产量达到最大。,解 该问题是在劳动力x与原料y满足条件100 x+200y=30000的条件下，求目标函数 的最大值。,构造函数,例5,求可能的极值点,得到唯一的驻点x=225，y=37.5，=-4.44，仅有一个可能的极值点，由问题本身可知最大值一定存在，所以x=225，y=37.5就是最优解。,计算,其中,解 记 (见图),直角坐标系下的二重积分,例,则又有,解,极坐标系下的二重积分,例,计算二重积分,(1) D为圆域,(2) D由直线,解: (1) 利用对称性.,围成 .,例,X/Y有奇函数的性质，区域关于y/x轴对称,二重积分为0,(2) 积分域如图,将D 分为,添加辅助线,利用对称性 , 得,对称性的应用,Thank you,
