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1、第十六章 多元函数的极限与连续,3 二元函数的连续性,一 二元函数的连续性概念, 连续性的定义,定义 设,为定义在,上的二元函数，,（,为,的一个聚点或孤立点），,，总存在,，使得当,时， 都有,则称,关于,在点,连续.,若任给正数,在不致误解的情况下，也称,在点,连续.,函数,若,在,上任何点都关于集合,连续，则称,为,若,为,的一个聚点，则,关于,在点,连续等价于,有定义的孤立点必为连续点.,上的连续函数.,记为 f C (D).,若,为,的一个聚点，但,不成立，则称,为,的不连续点(或称,存在但不等于,时,是,的可去间断点.,间断点). 特别当,例如 函数,在点,处连续.,在点,沿方向,
2、连续，其中,这是由于,所以函数,在点,沿方向,是连续的.,为固定实数.,每一点都间断.,2 函数的增量、 全增量、 偏增量,设,则称,为函数,在点,的全增量.,如果在全增量中取,或,则相应的函数的增量称为偏增量.记作,一般来说，函数的全增量并不等于相应的两个,偏增量之和.,和一元函数一样，可用增量形式来描述连续性，,时，函数,关于,在点,连续.,3 用增量定义函数的连续性,即 当,若一个偏增量的极限为零，例如,它表示在,的两个自变量中，当固定,时，,作为,的一元函数在,连续.,，则表示,作为,的一元函数在,连续.,同理，若,容易证明：当,在其定义域的内点,连续时，,在,和,在,都连续.,但反过
3、来，二元函数对单个自变量都连续,并不能保证该函数的连续性.,例如函数,在点,处显然不连续.,但由于,因此在点,处,对,和对,分别都连续.,4 一般区域上连续函数性质,（1）若,在点,连续，并且,则存在点,的邻域,，当,时,有,（2）两个连续函数的和、差、积、商（若分母,不为零）都是连续函数 .,（3）（复合函数的连续性）,定理16.7 设,是,中的开集，,函数,和,在点,连续.又设函数,在,平面上点,的某邻域内有定义，并在,连续,其中,.则复合函数,在点,也连续.,多元初等函数： 由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四 则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表 示的多元函数叫多元初等函数。,
4、一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域,例1 求极限,解,是多元初等函数。,定义域：,于是，,（不连通）,在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”：,例2,解,定义在区域 D 上的二元连续函数z = f (X) = f (x, y)表示了在D上的一片没有 空洞, 没有 裂缝 的连续曲面.,这里条件 D 是一区域 是必要的. 若D不是区域, z = f (X)可能不是通常意义下的连续曲面.,二元连续函数的几何意义,例. 设 D = (x, y) | x, y 均为有理数 R2. z =f (x, y)是定义在 D 上的, 在 D 上恒等于1, 在别的点上
5、无定义的函数,即,f (x, y) =,1, 当(x, y) D时,无定义, 当(x, y) D时.,如图,可知, (x0, y0) D,但曲面z = f (x, y)不是通常意义下的连续曲面.,二 有界闭区域上连续函数的性质,定理16.8 (有界性与最大、最小值定理),在有界闭区域,上连续,则,在,上有界,且能取得最大值与最小值.,(1) 有界性与最值性.,若函数,若函数,在有界闭区域,上连续,则,在,即对任何,总存在只依赖于,的正数,使得对一切点,，只要,就有,(2) 一致连续性,定理16.9 (一致连续性定理),上一致连续.,在有界闭区域,上连续,若,和,为,内任意两点，且,则对任何满足不等式,的实数,，必存在点,，使得,.,16.10 定理 (介值性定理),设函数,（3）介值性与零点定理,在有界闭区域,上连续,若,和,为,内任意两点，且,必存在点,，使得,.,（零点定理）,设函数,P.105 习题 6,6. 若 在某一区域 内对变量 为连续，对变量 满足李普希兹条件，即对任何有其中 为常数，则此函数在 内连续。,证明,因为 对变量 连续，所以,使得当,取,当 时，,时，,小结,二元函数连续的概念,有界闭区域上连续函数的性质,作业：P 105 1, 2，3, 4 , 5 , 6 , 7 .,
