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1、第三节 正交变换法化二次型为标准形,正交变换：标准正交基到标准正交基的坐标变换(可逆的线性变换)X=CY，其中C是正交矩阵.,用正交变换X=CY化二次型,为标准形的,问题，等价于求正交矩阵C,使得：,此式表明，当C为正交矩阵时，由上式所得的对角矩阵既与A合同，又与A相似，且对角线元素全是A的全部特征值。,由第五章矩阵可以相似对角化的条件，只要说明矩阵A的特征值都是实数，且一定有n个特征向量组成的标准正交组,则问题就可以得到完全解决.,定理1 n阶对称矩阵的特征值必为实数.,定理1的意义,证明：,于是有,两式相减，得,由定理1和定理2可得:n阶对称矩阵A一定有n个线性无关的实特征向量，从而它必相
2、似于对角矩阵.,现须说明，一定存有A的n个特征向量组成的标准正交组，为简化计算，先看下面的定理：,于是,由定理3，结合矩阵相似对角化的理论，可得以下定理4：,对角线元素是矩阵A的全部特征值.,二次项系数是矩阵A的全部特征值.,利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法,根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：,注： (1)求出特征值后，正交对角化后的矩阵已经确定;,(2)每次只需对同一特征值的特征向量正交化即可.,(3)每一特征值的特征向量正交化后，单位化，构成正交矩阵，特征向量与特征值要位置一致.,(4)正交矩阵不唯一，依赖于基础解系参数的选择.,注：此种类型需要先写出二次型
3、矩阵.,补充知识,(1) 矩阵等价.,设A,B为同型矩阵，若A经过有限次初等变换可以化为B,则称A与B等价.,判别方法：A与B等价的充要条件是r(A)=r(B).,(2) 矩阵相似. 方阵，逆,判别方法：A与B均为n阶矩阵，若A与B的特征值相同且都可以相似对角化，则A相似与B.,特别的：A与B均为n阶对称矩阵，由于对称矩阵都可对角化，故只要A与B相同，则A相似与B.,(3) 矩阵合同.,实对称矩阵，转置,判别方法：A与B均为n阶实对称矩阵，则A与B合同的充要条件是：矩阵A与B的正负特征值个数相同.,A相似但不合同 B合同但不相似C相似且合同 D不合同也不相似,B,A：-2，1，2,B：1，1，-1,A相似但不合同 B合同但不相似C相似且合同 D不合同也不相似,C,1.对称矩阵的性质：,三、小结,(1)特征值为实数； (2)属于不同特征值的特征向量正交； (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等； (4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值,2.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：,(1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向量单位化；(4)最后正交化,思考题,A的特征值：r个1，n-r个0,作业：,
