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1、13.1.1 动力计算的特点,13.1 动力计算的特点和动力自由度,13.1.2 动力荷载的分类,13.1.3 动力计算的自由度,13.1.1 动力计算的特点,结构动力学：,研究结构在动力荷载作用下的动力反应。,（1）地震现场录像,（2）地震振动台实验录像,例如地震荷载：,动力荷载：荷载的大小、方向、作用位置 随时间而变化。,（1）Tacoma大桥风毁录像,（2）南浦大桥风洞实验录像,例如风荷载：,13.1.1 动力计算的特点,荷载的变化周期是结构自振周期5倍以上，则可看成静荷载。,用于教学演示的小型振动台，铝质和有机玻璃模型,用于教学演示的小型振动台，铝质和有机玻璃模型,铝质模型的自由振动记
2、录,有机玻璃模型的自由振动记录,用于教学演示的小型振动台，铝质和有机玻璃模型,有机玻璃模型的自由振动记录,铝质模型的自由振动记录,动力计算与静力计算的区别：,加速度： 可否忽略,动力计算的内容：,1）结构本身的动力特性：自振频率、阻尼、振型,2）荷载的变化规律及其动力反应,（自由振动）,（受迫振动）,1）牛顿运动定律,2）惯性力,动静法,（达朗伯原理）,特点：考虑惯性力，形式上瞬间的动平衡！,建立微分方程，,13.1.1 动力计算的特点,？,？,如何考虑,13.1.2 动力荷载的分类,1）周期荷载,2）冲击荷载,3）随机荷载,简谐荷载,爆炸荷载1,爆炸荷载2,突加荷载,地震波,一般周期荷载,求
3、解结构的动力特性；剖析结构动力反应规律，提出结构在动力反应的分析方法；为结构设计提供可靠的依据。,本课程主要任务是：,安全性：确定结构在动力荷载作用下可能产生的最大内 力，作为强度设计的依据；舒适度：满足舒适度条件（位移、速度和加速度不超过 规范的许可值)。,13.1.2 动力荷载的分类,可靠性设计依据：,结构“小震不破坏，中震可修复，大震不倒塌。”,13.1.3 动力计算的自由度,确定全部质量的位置，所需独立几何参数的个数。,动力自由度：,这是因为：惯性力取决于质量分布及其运动方向。,m,E、A、I、 R,体系振动自由度为？,无限自由度,(忽略 ),三个自由度,忽略轴向变形,忽略转动惯量,自
4、由度为？,单自由度,m,例：简支梁：,13.1.3 动力计算的自由度,集中质量法：,将分布质量集中到某些位置。,例1：,2EI,(a)单自由度,(b)两个自由度,例2：,(c)三个自由度,(d)无限自由度,13.1.3 动力计算的自由度,例3：,例4：,确定体系的振动自由度时，一般忽略梁和刚架的轴向变形，和集中质量的惯性矩的影响,集中质量法几点注意：,1）体系动力自由度数不一定等于质量数。,一个质点两个DOF,两个质点一个DOF,两个质点三个DOF,2）体系动力自由度与其超静定次数无关。,3）体系动力自由度决定了结构动力计算的精度。,13.1.3 动力计算的自由度,水平振动时的计算体系,3个自
5、由度,4个自由度,m1,m2,m3,2个自由度,自由度与质量数 不一定相等,13.2.1 单自由度体系自由振动微分方程建立,13.2 单自由度体系的自由振动,13.2.2 单自由度体系自由振动微分方程解答,13.2.3 结构的自振周期和自振频率,13.2.4 阻尼对自由振动的影响,一、自由振动,（体系在振动过程中没有动荷载的作用，只有惯性力）,1.自由振动产生原因, 体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。,2.研究单自由度体系的自由振动重要性,（1）它代表了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。,（2）它是分析多自由度体系的基础，包含了许多基本概念。,自由振动反映了体系的固有动力特性 自振频
6、率和振型,13.2.1 单自由度体系自由振动微分方程建立,13.2.1 单自由度体系自由振动微分方程建立,以一悬臂柱为对象：,自由振动,初始位移,初始速度,同时作用,m,模型2,隔离体,理解两模型中 “k” 含义,m,k,模型1,“弹簧小车”,建立自由振动的微分方程:,两种方法：,建立方程,1）刚度法：,以质量为隔离体,模型2,模型1,13.2.1 单自由度体系自由振动微分方程建立,建立自由振动的微分方程:,两种方法：,建立方程,2）柔度法：,M点位移,13.2.1 单自由度体系自由振动微分方程建立,惯性力,建立方程,1）刚度法：,以质量为隔离体,13.2.1 单自由度体系自由振动微分方程建立
7、,建立方程,2）柔度法：,以梁为对象建立位移方程,13.2.1 单自由度体系自由振动微分方程建立,（1）刚度法 研究作用于被隔离的质量上的力，建立 平衡方程，需要用到刚度系数。, 方法小结,（2）柔度法 研究结构上质点的位移，建立位移协调方程， 需要用到柔度系数。,刚度法,柔度法,（3）方法选择,谁较简单？,顺利求解刚（柔）度系数是自由振动分析的关键！,原方程：,通解为：,由初始条件：,解为：,13.2.2 单自由度体系自由振动微分方程解答,化成单项三角函数的形式:,解又可表达为：,将其展开：,相比较得：,则：振幅,自由振动总位移：,初始相位角,13.2.2 单自由度体系自由振动微分方程解答,
8、13.2.3 结构的自振周期和自振频率,由式:,可知,时间经 后，质量完成了一个振动周期。,用T 表示周期，,周期函数的条件: y(t+T )=y(t ),1)自振周期计算公式：,2)自振频率计算公式：,用 表示频率：每秒钟内的振动次数,泛美大厦，60层钢结构，南北方向的基本固有周期为2.90秒，,大坝，400英尺高的混凝土重力坝的基本固有周期由强迫振动试验测得在蓄水为310英尺和345英尺十分别为0.288秒和0.306秒，,金门大桥，金门大桥桥墩跨距1280.2米全桥总长2737.4米的悬索桥，其横向振动的基本基本固有周期为18.20秒，竖向振动的基本基本固有周期为10.90秒，纵向振动的
9、基本基本固有周期为3.81秒，扭转振动的基本基本固有周期为4.43秒,例13.1 求图示梁结构的自振周期和自振频率。,m,EI,解：为求柔度系数，在质点 上加单位力1（图乘法）,思考 比较图示结构的自振频率,(a),(b),(c),(a)(b)(c),13.2.3 结构的自振周期和自振频率,例13.5 求图示结构的频率。,13.2.4 阻尼对自由振动的影响,m,k,1) 不考虑阻尼,m,k,y=0,c,2) 考虑阻尼,阻尼是客观存在的,振幅随时间减小，这表明在振动过程中要产生能量的损耗，称为阻尼。,（1）产生阻尼的原因,1)结构与支承之间的外摩擦,2)材料之间的内摩擦,3)周围介质的阻力,（2
10、）阻尼力的确定,1)与质点速度成正比,2)与质点速度平方成正比,3)与质点速度无关,粘滞阻尼,m,有阻尼模型,建立动平衡方程,标准化得:,其中:, 称为阻尼比,二阶常微分方程可变为：,设特解为：,特征方程为：,解为：,（1）,令：,则代数方程解：,13.2.4 阻尼对自由振动的影响,小阻尼、临界阻尼、过阻尼的自由振动,则微分方程通解为：,也可:,1)是一种衰减振动,2)对自振频率的影响,当0.2,则 0.96r/1在工程结构问题中0.010.1此时，阻尼的影响可以忽略。,13.2.4 阻尼对自由振动的影响,阻尼对自由振动的影响,1)是一种衰减振动,阻尼对固有振动蘋率的影响,阻尼对自由振动衰减速
11、率的影响如图右,2)对自振频率的影响,当0.2,则 0.96r/1在工程结构问题中0.010.1此时，阻尼的影响可以忽略。,具有四种阻尼水平体系的自由振动,3)对振幅的影响,振幅为 随时间衰减相邻两个振幅的比。,13.2.4 阻尼对自由振动的影响,13.3.1 单自由度体系强迫振动微分方程的建立,13.3 单自由度体系的强迫振动,13.3.2 简谐荷载作用下结构的动力反应,13.3.3 一般荷载作用下结构的动力反应,13.3.4 阻尼对受简谐荷载强迫振动的影响,13.3.5 有阻尼时的杜哈梅积分,强迫振动：,结构在动力荷载作用下的振动,13.3.1 单自由度体系强迫振动微分方程的建立,以一悬臂
12、柱为例：,m,k,模型1,m,模型2,隔离体,1）柔度法：,以柱子为对象,2）刚度法：,以质点为对象,建立方程,13.3.2 简谐荷载作用下结构的动力反应,简谐荷载：,解的形式：,运动方程：,13.3.2 简谐荷载作用下结构的动力反应,方程全解：,平稳阶段：,动力系数：,共振,13.3.2 简谐荷载作用下结构的动力反应,例13.9 如图所示刚梁，截面为I32b工字钢，I=11626cm4， I=726.7cm3，E2.1108kPa。在跨中有电动机，重量Q=40kN，转速n400r/min，由于具有偏心，转动时产生离心力P=20kN，其竖向分量为 ，忽略梁本身的质量，试求钢梁在该荷载的动力系数
13、和最大正应力。,EI,Q,2)荷载频率：,3)动力系数：,13.3.2 简谐荷载作用下结构的动力反应,=,4)跨中截面最大正应力：,13.3.2 简谐荷载作用下结构的动力反应,解释：,惯性力与简谐力同时达到最大,惯性力与简谐力的最大值为：,13.3.3 一般荷载作用下结构的动力反应,t,瞬时冲量,(Duhamel 积分),时刻的微分冲量对t 瞬时(t)引起的动力反应,微分冲量,13.3.3 一般荷载作用下结构的动力反应,杜哈梅积分,（1）突加荷载,质点围绕静力平衡 位置作简谐振动,举例说明,13.3.3 一般荷载作用下结构的动力反应,动力系数：,（2）短时荷载,1）方法一：,13.3.3 一般
14、荷载作用下结构的动力反应,阶段 (0t u)同突加荷载：,阶段 (t u)：体系以 作自由振动。,13.3.3 一般荷载作用下结构的动力反应,阶段 (0t u)同突加荷载：,1)当0 u,2)当 u,13.3.3 一般荷载作用下结构的动力反应,讨论主要针对u展开,1）当u T/2，最大动 位移发生在阶段,2）当0u T/2，最大动 位移发生在阶段,动力系数反应谱(T,),13.3.3 一般荷载作用下结构的动力反应,13.3.4 阻尼对受简谐荷载强迫振动的影响,计算简图:,建立平衡方程：,简谐荷载：,方程的解：,齐次解（ ）特解（ ）,振幅：,m,隔离体,设特解：,动力系数：,相位角：,动力系数
15、反应谱,1）当 或 时，可 以不考虑阻尼的影响,静荷载,位移为0,2）当 时，阻尼作用明显,共振：,共振区,13.3.4 阻尼对受简谐荷载强迫振动的影响,例13.10 前提同例13.2，当机器运转产生P0sint，P0=20kN，转速为400r/min，求振幅及地基最大压力。,解: 由例13.2已求出,k = 12103 kN/m,1)荷载频率:,2)动力系数：,3)竖向振动振幅:,4)地基最大压力：,13.3.2 简谐荷载作用下结构的动力反应,在共振区,解: 由例13.2已求出,1)荷载频率:,2)动力系数：,3)竖向振动振幅:,4)地基最大压力：,例13.14 当机器运转产生P0sint，
16、P0=20kN，转速为400r/min,考虑阻尼的影响 ,求振幅及地基最大压力。,13.3.4 阻尼对受简谐荷载强迫振动的影响,13.4.1 两个自由度体系自由振动微分方程的建立,13.4 两个自由度体系的自由振动,13.4.2 频率方程和自振频率,13.4.3 主振型及主振型的正交性,13.4.4 两个自由度体系自由振动方程的一般解,13.4.1 两个自由度体系自由振动方程建立,（1）因结构特征必须简化为多自由度体系,多层房屋、,不等高排架等,（2）为满足计算精度的要求,烟囱、,高耸建筑物等,基本方法,刚度法：,柔度法：,按结构的位移协调条件建立运动方程,按质量的力平衡条件建立运动方程,（1
17、）柔度法,m1,m2,1,2,1,2,建立方程：,13.4.1 两个自由度体系自由振动方程建立,柔度系数：,（2）刚度法,质量隔离体,列平衡方程：,1,2,如何确定？,13.4.1 两个自由度体系自由振动方程建立,m1,m2,刚度系数:k,1,2,得到运动方程：,13.4.1 两个自由度体系自由振动方程建立,13.4.2 频率方程和自振频率,设各质点按相同频率和初相角作简谐振动，即：,（1）柔度法,微分方程：,（2）,求得：,（1）,把（1）式、（2）式代入微分方程：,13.4.2 频率方程和自振频率,齐次线性方程组:,非零解,频率方程,关于的二次代数方程,得：,方程两正根为:,自振频率,13
18、.4.2 频率方程和自振频率,（2）刚度法,微分方程：,设解为：,13.4.2 频率方程和自振频率,（1）,（2）,把（1）式、（2）式代入微分方程：,可求得：,频率方程：,齐次线性方程组：,自振频率：,13.4.2 频率方程和自振频率,较小的 第一频率（基频）， 为第二频率。,13.4.3 主振型及主振型的正交性,（1）主振型,(柔度法),1）当,若：,13.4.3 主振型及主振型的正交性,（1）主振型,(柔度法),2）当,若：,则，用刚度系数表示的主振型为：,平衡方程：,13.4.3 主振型及主振型的正交性,（3）主振型的正交性,13.4.3 主振型及主振型的正交性,运动方程：,按 振动时
19、：,位移与加速度同时达到最大，因此 可以看作是最大惯性力产生的静位移。,13.4.3 主振型及主振型的正交性,在梁上先作用P1,再作用P2,整个过程中体系做的功为：,在梁上先作用P2,再作用P1,整个过程中体系做的功为：,功的互等定理,（3）主振型的正交性,用功的互等定理来证明。,第一主振型,第二主振型,功的互等定理,整理得：,第一正交关系,13.4.3 主振型及主振型的正交性,如何解释正交性？,利用第一正交关系,1) 同乘,2) 同乘,这表明体系在振动过程中，各主振型的能量不会转移到其他主振型上，也不会引起其他主振型的振动。因此，各主振型能单独存在而不相互干扰。,13.4.3 主振型及主振型
20、的正交性,例13.15 求简支梁的自振频率和主振型，并验证主振型的正交性。,2）代入方程求两个根,3）自振频率,13.4.3 主振型及主振型的正交性,4）主振型,第一主振型,第二主振型,5）验证主振型的正交性,故满足正交性条件,13.4.3 主振型及主振型的正交性,利用对称性另解：,若结构本身和质量分布都是对称的，则主振型不是对称就是反对称。故可取半边结构计算。,解：,1）简化,2）图乘,3）自振频率,13.4.3 主振型及主振型的正交性,13.5.1 柔度法,13.5 两个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动,13.5.2 刚度法,13.5.1 柔度法,简谐荷载作用下的无阻尼受迫振动,柔度法,（
21、1）建立振动微分方程,位移方程,（2）动位移的解答及讨论,齐次解（ ）特解（ ）,设特解：,方程的解：,其中：,讨 论,静荷载作用,来不及反应,且 不全为零时,共振,13.5.1 柔度法,振幅：,（3）动内力幅值的计算,由Y1 、Y2值可求得位移和惯性力,位移：,惯性力：,外荷载：,惯性力幅值,叠加公式,动内力有正负号，叠加要注意！,13.5.1 柔度法,例13.17 求图示结构质点1和2点的动位移幅值和动弯矩幅值图。已知：,解：,1）求柔度系数,2）求频率,自振频率,荷载频率,13.5.1 柔度法,3）计算,4）位移、惯性力幅值,13.5.1 柔度法,5）求质点1、2处弯矩幅值,6）质点1,在两自由度体系中 没有统一的动力系数,13.5.1 柔度法,本章结束。,
