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1、.,第二章 动力学普遍方程和拉各朗日方程,.,摆长不定，如何确定其摆动规律？,混沌摆问题,多杆摆问题,.,.,其加速度为,令,R=P+T,则,ma = R = P + T,摆锤M在受到P、T的同时，将给施力体（地心和绳子）一对应的反作用力，反作用力的合力为,R=R= ma,此力是摆锤被迫作非惯性运动时产生的“反作用力”，称为惯性力。,图示圆锥摆摆长为l，摆锤M的质量m，在水平面内作匀速圆周运动，速度为v，锥摆的顶角为2，摆锤 M 受力如图。,.,若用Fg表示惯性力，则有 Fg = ma,.,设质点M的质量为m，受力有主动力F、约束反力FN，加速度为a，则根据牛顿第二定律，有,ma = F+FN
2、,Fg= ma,令,则,F+FN+Fg = 0,形式上的平衡方程,.,设质点系由n个质点组成， 第i个质点质量为mi，受力有主动力Fi ，约束反力FNi ，加速度为ai ，假想地加上其惯性力Fgi=miai ，则根据质点的达朗伯原理，Fi 、 FNi与Fgi应组成形式上的平衡力系，即,Fi + FNi +Fgi=0 （i =1，2，n）,MO(Fi) + MO( FNi ) + MO( Fgi ) =0,Fi + FNi +Fgi=0,质点系的达朗伯原理,即,或,.,1 .动力学普遍方程,设质点系由n个质点组成，第i个质点质量为mi，受主动力Fi，约束反力FNi，加速度为ai，虚加上其惯性力F
3、gi=miai,则根据达朗伯原理， Fi 、FNi 与Fgi，应组成形式上的平衡力系，即Fi + FNi +Fgi= 0,若质点系受理想约束作用，应用虚位移原理，有,.,或,动力学普遍方程,则动力学普遍方程的坐标分解式为,若,.,.,研究整个系统，进行受力分析；,解：,设杆的加速度为a，则,Fg1= m1a，,Fg2= m2a，,给连杆以平行于斜面向下的虚位移s，,则相应地两轮有转角虚位移，且,根据动力学普遍方程，得:,于是,解得,.,.,.,.,.,(a)(b),.,.,.,.,.,2. 拉格朗日方程,n个质点的系统受到k 个如下形式的完整约束fi ,又若系统中质量为mj的第j个质点受主动力
4、Fj，则系统的运动满足3n个方程如左，称为第一类拉格朗日方程，i称为拉各朗日未定乘子。,*第一类拉格朗日方程用到的较少,.,拉格朗日,1736 1813,法籍意大利人，数学家、力学家、天文学家，十九岁成为数学教授，与欧拉共同创立变分法，是十八世纪继欧拉后伟大的数学家。,.,用q1，q2，qN表示系统的广义坐标，第i个质点质量为mi，矢径为ri。则 ri= ri(q1，q2，qN，t),对上式求变分得,动力学普遍方程可写成,其中,.,根据虚位移原理中广义力与广义虚位移的表示形式，有,因为系统为完整约束，广义坐标相互独立，所以广义坐标的变分qk是任意的，为使上式恒成立，须有,(k =1，2，N),
5、广义力,广义惯性力,.,对式,中广义惯性力进行变换：,.,将下列两个恒等式（有关证明请参阅教材P46）,（ 广义速度）,得,所以,代入第一项中的括号内,代入第二项中的括号内,.,得到,这就是第二类拉格朗日方程，是一个方程组，该方程组的数目等于质点系的自由度数，各方程均为二阶常微分方程，揭示了系统动能的变化与广义力之间的关系。,则广义力Qk可写成质点系势能表达的形式,于是，对保守系统，拉格朗日方程可写成,.,用函数L表示系统的动能T与势能V之差，即 L = TV,L称为拉格朗日函数或动势。,则在保守系统中，用动势表示的拉格朗日方程的形式为,.,1.拉格朗日方程是解决具有完整约束的质点系动力学问题
6、的普遍方程，是分析力学中的重要方程。,2.拉格朗日方程是标量方程，以动能为方程的基本量，是用广义坐标表示的运动微分方程。,3.拉格朗日方程形式简洁，运用时只需要计算系统的动能；对于保守力系统，只需要计算系统的动能和势能。,.,1.静力学：对受完整约束的多自由度的平衡问题，根据虚位移原理，采用广义坐标，得到与自由度相同的一组独立平衡方程。这种用分析方法建立的平衡条件，避开了未知的约束反力，使非自由质点系的平衡问题的求解变得简单。,2.动力学：对受完整约束的多自由度的动力学问题，可以根据能量原理，采用广义坐标，推导出与自由度相同的一组独立的运动微分方程。这种用广义坐标表示的动力学普遍方程，称为拉格
7、朗日第二类方程，简称为拉格朗日方程。,.,1.确定系统的自由度数（广义坐标数）；,2.选广义坐标；,3.计算系统的动能T，且用广义速度来表示动能；,4.计算广义力（对保守系统可计算势能）；,5.代入拉格朗日方程即可得质点系运动微分方程。,.,例1 位于水平面内的行星轮机构中，质量为m1的均质细杆OA，可绕O轴转动，另一端装有质量为m2、半径为r的均质小齿轮，小齿轮沿半径为R的固定大齿轮纯滚动。当细杆受力偶M的作用时，求细杆的角加速度 。,.,解：,研究整个系统，选广义坐标，,则,系统的动能为,T = TOA+ T轮,.,又关于广义坐标的广义力为,代入Lagrange方程：,于是得,.,例2 质
8、量为m的质点悬在不计质量的软线上，线的另一端绕在半径为R的固定圆柱上。设在平衡位置时，线的下垂部分长度为l。求此摆的运动微分方程。,m,.,m,系统的动能为,选=0处为系统势能的零势点，则,V = mg（l+Rsin）（lR）cos,系统的动势为,解：此摆为单自由度保守系统，选广义坐标，,.,已求得,将式上式代入保守系统的拉氏方程,得摆的运动微分方程,.,例3 已知质量为m1的三棱柱放在光滑水平面上，质量为m2的均质圆柱体O由静止沿三棱柱的斜面向下纯滚动。求三棱柱的加速度。,.,(设圆柱o的半径为r),选x1、x2为广义坐标，,圆柱中心的速度为,圆柱的角速度为,解：系统具有两个自由度，,所以，
9、系统的动能为,.,联立解得：,代入L程：,系统关于广义坐标x1 、x2的广义力分别为：,.,例4 图示均质杆AB质量为m1，长为3l，B端铰接一质量为m2，半径为r的均质圆盘。杆AB在O处为铰支，两弹簧的刚性系数均为k；杆在水平位置平衡。求系统的微幅振动的固有频率。,.,解：系统具有两个自由度，且为保守系统。,选1、2为广义坐标，,则杆的角速度为,圆盘的角速度为,所以，系统的动能为,.,系统的势能为,k,l,l,l,l,2,r,B,重力与振动方向相同，,系统受力如图，,系统的动势为,取平衡位置处为零势点，,弹性力变形从平衡位置处计算，可以不计重力势能！,.,代入保守系统的拉氏方程,可见，圆盘的
10、角加速度为零！,圆盘作平动！系统的固有频率为,得,所以,k,l,l,l,l,2,r,B,.,例5 杆OA与AB以铰链相连，且OA=a，AB=b，O悬挂于圆柱铰链上， A、B处质点质量分别为 m1和m2，各处摩擦及两杆质量均不计，求系统微幅摆动的微分方程。,m1,b,a,m2,O,A,B,.,则,解 系统具有两个自由度， 选1、2为广义坐标，,系统动能为,系统作微幅摆动，,cos(21)1,.,系统受力如图。,求系统关于广义坐标2的广义力：,给1，则,给2，则,求系统关于广义坐标1的广义力：,.,代入Lagrange方程：,化简得,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,3. 动能的广义速度表达
11、式,质点系的动能,.,由于r是广义坐标及时间的函数,所以akj, bk, c也是广义坐标及时间的函数。,令,.,于是,动能T可表示为,再设,.,.,.,4. 拉格朗日方程的初积分(首次积分）,由于势能函数 V 仅是广义坐标和时间的函数，因此它是广义速度的零次函数。设 L2 = T2， L1 = T1， L0 = T0 - V,拉格朗日函数可表示为 L = T V = T2 + T1 + T0 V,显然，L2，L1和L0分别是广义速度的二次齐次函数、一次齐次函数和零次齐次函数，得 L=L2+L1+L0,.,将主动力为有势力时的拉格朗日方程式乘以 ，并将这N个式子相加，得,其中,带入上式得：,当拉
12、格朗日函数不显含时间t（则 ），即时有：,带入上式得：,.,从而有：,E 为积分常数,再根据欧拉齐次式定理(P56)有：,带入上式得：,（2L2+L1）-（L2+L1+L0）= E,.,进一步得到：,这一结果称为以拉格朗日变量表示的广义能量积分，又称雅可比积分。,*由于约束是非定常的，系统的机械能并不守恒。*,为广义能量,系统称为广义保守系统。,.,如果约束是定常的，则,可知 bk = 0,c = 0,因此得 T1=0，T0=0，,于是得 T=T2,广义能量积分变为,这一结果称为以拉格朗日变量表示的能量积分，上式即为保守系统的机械能守恒定律表示式。这就是能量积分的物理意义。,.,.,.,.,.
13、,拉格朗日函数一般是广义坐标、广义速度和时间的函数。若 L 中不显含与某一广义速度对应的广义坐标，则该坐标称为循环坐标，或称可遗坐标。,即：,则：,所以：,其中Cj 为积分常数。上式称为循环积分，或称可遗积分。当然，系统有几个循环坐标就有几个循环积分。,由于L=T-V，而且势能 V 中不显含广义速度，因此,其中 称为广义动量.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,5. 碰撞问题的拉各朗日方程,由拉格朗日方程式来推导碰撞问题的拉各朗日方程,以 dt 乘上式, 并对碰撞时间 t 积分, 即,其中左边第一项 表示在碰撞时间内广义动量发生的变化.,左边第二项是动能相对广义坐标的改变量, 是有限量.
14、 设它在碰撞时间内的最大值为M, 根据中值定理,由于碰撞时间极短, 所以与第一项相比可以略去.,.,为广义力Qj 在碰撞时间内的广义冲量,以 表示, 即,则,即碰撞过程中, 广义动量的增量等于相应的广义冲量.,.,.,.,.,.,6. 拉格朗日方程的应用举例,*应用拉格朗日方程解题的步骤：,1.确定系统的自由度数（广义坐标数）；,2.选取广义坐标；,3.计算系统的动能T，且用广义速度来表示动能；,4.计算广义力（对保守系统可计算势能）；,5.代入拉格朗日方程即可得质点系运动微分方程。,6.求解运动微分方程，得到用广义坐标表示的系统的运动规律。,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,本章结束！,.,
