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1、第一章,微商,华中农业大学理学院,2022/12/5,2,第二节 预备知识 (preliminaries),一、逻辑符号 (sign of logic),华中农业大学理学院,二、邻域 (neighbourhood),2022/12/5,3,三、重要的不等式：,1：,华中农业大学理学院,2022/12/5,4,3：,4：,华中农业大学理学院,2022/12/5,5,四、数列极限,华中农业大学理学院,2、数列极限定义,2022/12/5,6,要记住，要理解。,华中农业大学理学院,2022/12/5,7,2022/12/5,8,2022/12/5,9,3 数列极限的四则运算法则,华中农业大学理学院,
2、2022/12/5,10,华中农业大学理学院,2022/12/5,11,2022/12/5,12,特点：,2022/12/5,13,4 性质,2）有界性,1）惟一性,华中农业大学理学院,3）两边夹法则,2022/12/5,14,2022/12/5,15,2022/12/5,16,2）单调数列,华中农业大学理学院,2022/12/5,17,3） 单调有界定理,华中农业大学理学院,2022/12/5,18,2022/12/5,19,2022/12/5,20,1）,2）,3）,2022/12/5,21,2022/12/5,22,四、基本初等函数,2022/12/5,23,1.幂函数,2022/12/
3、5,24,2.指数函数,2022/12/5,25,3.对数函数,2022/12/5,26,4.三角函数,正弦函数,2022/12/5,27,余弦函数,2022/12/5,28,正切函数,2022/12/5,29,余切函数,2022/12/5,30,正割函数,2022/12/5,31,余割函数,2022/12/5,32,5.反三角函数,2022/12/5,33,2022/12/5,34,2022/12/5,35,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.,2022/12/5,36,华中农业大学理学院,2022/12/5,37,华中农业大学理学院,2022/12/5,38
4、,华中农业大学理学院,2022/12/5,39,华中农业大学理学院,2022/12/5,40,华中农业大学理学院,2022/12/5,41,第三节 函 数 (function),一、函数的概念(function notation),二、函数的运算(operate of function),三、函数的改变量(increment of function),四、复合函数 初等函数,五、函数的基本性质,2022/12/5,42,注意,1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;,2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,2022/12/5,43,一般说来, 分段函数不是初等函数.,但有个别分
5、段函数例外，例如,2022/12/5,44,故该幂指函数是一个初等函数.,例4、,2022/12/5,45,单调性,有界性,奇偶性,周期性,五、函数的基本性质,六、 函数模型,经济管理中的函数模型,需求函数D(p),供给函数S(p),均衡价格,成本函数C(x),收益函数R(x),保本点,收益函数R(x) = xp(x) = pD(p)利润函数P(x) = R(x) C(x),2022/12/5,48,第四节 函数的极限 (limit of function),三、函数极限的运算与性质,二、函数的单侧极限,四、无穷大量与垂直渐近线,五、第一个重要极限,2022/12/5,49,例题：,2022/
6、12/5,50,在极限定义中：,1) 与 和x0 有关,即 = ( ,x0). 一般说来, 值越小,相应的 值也越小.,2) 不等式 | f (x)a | 0 , 同时也要对 x x0 以任何方式进行都成立.,3) 函数 f (x) 以 a 为极限, 但函数 f (x) 本身 可以不取其极限值 a.,2022/12/5,51,定理,利用 | x x0 | x x0 和极限的定义, 即可证得.,2022/12/5,52,y = f (x),x,O,y,1,1,在 x = 1 处的左、右极限.,解,例1、,2022/12/5,53,解,例2、,2022/12/5,54,解,例3、,2022/12/
7、5,55,例4、,2022/12/5,56,华中农业大学理学院,例5、,2022/12/5,57,例6、,2022/12/5,58,定理,2022/12/5,59,解,例7、,2022/12/5,60,2022/12/5,61,例8、,2022/12/5,62,例9、,2022/12/5,63,2022/12/5,64,第五节 函数的连续性(contiunity of function),一、连续与间断的定义,二、初等函数的连续性,三、闭区间上连续函数的性质,2022/12/5,65,例2、,2022/12/5,66,例3、,2022/12/5,67,2022/12/5,68,例4、,2022
8、/12/5,69,例5、,2022/12/5,70,函数间断点的分类,函数的间断点,2022/12/5,71,一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,定义区间：指包含在定义域内的区间.,基本初等函数在定义域内是连续的.,定理,定理,2022/12/5,72,初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;,2. 初等函数求极限的方法-代入法.,2022/12/5,73,因为函数y 在0点邻域内没有定义.,例题：,2022/12/5,74,连续性给极限运算带来很大方便.,求,解,例8、,2022/12/5,75,证明方程 x5 3x =1, 在 x =1 与 x =2 之间,令 f (x)
9、 = x5 3x 1, x1, 2,则 f (x)C( 1, 2 ),又 f (1) = 3, f (2) = 25, f (1) f (2) 0,即 方程在 x =1 与 x =2 之间至少有一根.,故 至少存在一个 (1, 2), 使得 f ( ) = 0,至少有一根.,证,例9、,2022/12/5,76,证,由零点定理,例10、,2022/12/5,77,设 f (x)C ( a, b ),证明: 至少存在一点 （a, b）, 使得,a x1 x2 xn b,例11、,2022/12/5,78,证,由介值定理, 至少存在一点 ( x1 , xn ), 使,2022/12/5,79,第六
10、节 函数在无穷远处的极限 （limit at infinite),2、水平、斜渐近线。,3、第二个重要极限。,1、 时函数的极限。,2022/12/5,80,例1、,2022/12/5,81,可证得：,2022/12/5,82,例4、,2022/12/5,83,例5、,2022/12/5,84,1.7 无穷小量及其比较,一、 无穷小量,无穷小是极限为0的变量，,不是很小很小的数。,2022/12/5,85,5、无穷小是（极限定义中的）。,2022/12/5,86,思考题,任何两个无穷小量都可以比较吗？,2022/12/5,87,2022/12/5,88,思考题解答,不一定,例当 时,都是无穷小
11、量,但,不存在且不为无穷大,故当 时,2022/12/5,89,2022/12/5,90,2022/12/5,91,2022/12/5,92,例 求下列函数的极限,2022/12/5,93,2022/12/5,94,2022/12/5,华中农业大学理学院,94,2022/12/5,95,2022/12/5,华中农业大学理学院,95,2022/12/5,96,2022/12/5,华中农业大学理学院,96,2022/12/5,97,第八节 微 商 （differential quotient）,一.导数产生的背景,二.导数的概念,三.可微性与连续性,微商也叫导数,2022/12/5,98,（k 0
12、为常数.),如果函数 f (x) 在点 x0 处可导,则,2022/12/5,99,2022/12/5,100,定理,2022/12/5,101,2022/12/5,102,2022/12/5,103,例6,2022/12/5,104,导数的几何意义,切线方程为,法线方程为,2022/12/5,105,解,2022/12/5,106,函数 f (x) 在点 x0可导的必要条件是,它在点 x0 连续.,只是必要条件！,定理 凡可导函数都是连续函数.,2022/12/5,107,连续函数不存在导数举例,例如,注意: 该定理的逆定理不成立.,2022/12/5,108,例9,解,2022/12/5,
13、109,解：由导数的几何意义, 得切线斜率为,所求切线方程为,法线方程为,2022/12/5,110,2022/12/5,华中农业大学理学院,110,2022/12/5,111,2022/12/5,华中农业大学理学院,111,2022/12/5,112,2022/12/5,华中农业大学理学院,112,2022/12/5,113,2022/12/5,华中农业大学理学院,113,2022/12/5,114,在点 x = 0 处的连续性和可导性.,又, 当 nN 时, 函数在点 x = 0 处连续.,解,例9,2022/12/5,115,当 n =1 时,不存在,故 n =1 时, 函数在 x = 0 处不可导.,当 n 1 时,故 n 1时, 函数在 x = 0 处可导. 其导数为,
