控制系统的状态空间描述课件.ppt

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1、2022/12/5,1,第一章控制系统的状态空间描述,2022/12/5,2,1、状态空间描述2、状态空间表达式的线性变换3、传递函数矩阵4、离散系统的数学描述5、用MATLAB进行数学建模和模型转换,第一章 控制系统的状态空间描述,2022/12/5,3,第一节 状态空间描述1.1.1 状态空间描述的基本概念1.1.2 状态空间方程的建立1.1.3 化高阶微分方程为状态空间方程,2022/12/5,4,动力学系统能储存输入信息的系统，系统中要有储能元件。,术语： 状态：指系统的运动状态（可以是物理的或非物理的）。状态可以理解为系统记忆，t=to时刻的初始状态能记忆系统在 tto时的全部输入信

2、息。,状态变量：指足以完全描述系统运动状态的最小个数的一组变量。 完全描述：如果给定了t=to时刻这组变量值，和 t=to时输入的时间函数，那么，系统在t=to的任何瞬间的行为就完全确定了。最小个数：意味着这组变量是互相独立的。减少变量，描述不完整，增加则一定存在线性相关的变量，毫无必要。,2022/12/5,5,状态空间：以状态变量 为坐标轴所构成的n维空间。在某一特定时刻 ，状态向量 是状态空间的一个点。,状态轨迹：以 为起点，随着时间的推移， 在状态空间绘出的一条轨迹。,状态向量：把 这几个状态变量看成是向量 的分量，则 称为状态向量。记作：,或：,2022/12/5,6,状态方程：由系

3、统的状态变量构成的一阶微分方程组，称为状态方程。反映系统中状态变量和输入变量的因果关系，也反映每个状态变量对时间的变化关系。方程形式如下：,其中n是状态变量个数，r是输入变量个数； 是线性或非线性函数。,通式为：,2022/12/5,7,将通式化为矩阵形式有：,状态向量,输入向量,系数矩阵,输入矩阵,2022/12/5,8,输出方程：在指定输出的情况下，该输出与状态变量和输入之间的函数关系。反映系统中输出变量与状态变量和输入变量的因果关系。方程形式如下：,其中n是状态变量个数，r是输入变量个数，m是输出变量个数， 是线性或非线性函数。,通式为：,2022/12/5,9,将通式化为矩阵形式有：,

4、输出向量,输出矩阵,关联矩阵,2022/12/5,10,(2)状态空间表达式非唯一性,这是和传递函数明显区别的地方。状态变量非唯一，导致矩阵A,B,C,D非唯一。,(1)为描述系统方便，经常用 代表一个动力学系统。,说明：,动态方程或状态空间表达式：将状态方程和输出方程联立，就构成动态方程或状态空间表达式。一般形式如下：,其中：A、B、C、D矩阵含义同上。,2022/12/5,11,(3) 定常系统： A,B,C,D各元素与时间无关； 时变系统： A,B,C,D中的各元素一部分或全部是时间的函数； 定常系统 ； 时变系统,(5)系统输出与状态的区别： 系统输出：希望丛系统中测得的信息，物理上可

5、以量测到； 系统状态：描述系统内部行为的信息，物理上不一定可观测。,(4)非线性系统状态空间表达式： 和 是x与u的某类非线性函数。可以用线性系统来近似,2022/12/5,12,常用符号：,系统动态方程的模拟结构图：,注:负反馈时为,注：有几个状态变量，就建几个积分器,积分器,比例器,加法器,2022/12/5,13,状态变量的选取：建立状态空间表达式的前提,系统储能元件的输出系统输出及其各阶导数使系统状态方程成为某种标准形式的变量（对角线标准型和约当标准型）,一、从系统物理机理建立动态方程：,1.1.2 状态空间方程的建立,2022/12/5,14,【例1】如下图所示电路， 为输入量， 为

6、输出量。,建立方程：,和 可以表征该电路系统的行为，就是该系统的一组状态变量,2022/12/5,15,可以改写为,取状态变量,指定,作为输出,有,或,2022/12/5,16,电路微分方程也可以写为,取状态变量,矩阵形式为,状态空间表达式非唯一,状态变量选取非唯一,2022/12/5,17,练习,建立右图所示系统的状态空间表达式,根据牛顿第二定律,选择状态变量,机械系统的状态空间表达式,2022/12/5,18,练习 R-C-L 网络如图所示。e(t)-输入变量， -输出变量。试求其状态空间描述,解：1.)确定状态变量 两个储能元件C和L，故选 和 为状态变量，组成状态向量 x= ,2022

7、/12/5,19,2)根据克希荷夫电压定律，列写2个回路的微分方程：,将 代入上式，消去中间变量 ，并整理得：,所以状态方程为：,2022/12/5,20,右电路图可知:,所以输出方程为：,所以系统各矩阵为：,2022/12/5,21,例2电枢控制式电机控制系统原理如图1-3所示，试建立电动机的状态空间方程。,图1-3 电枢控制式电机控制系统原理图,2022/12/5,22,1、根据电机原理，电机转动时，将产生反电动势 ，其大小为,2、在磁场强度不变的情况下，电动机产生的力矩与电枢电路的电流成正比，即,3、根据基尔霍夫定律，电枢电路有下列关系：,4、对电机转轴，根据牛顿定律，有,2022/12

8、/5,23,取电枢回路电流 、转角 及其电机轴角速度 为系统的三个状态变量 ，取电机轴转角 为系统输出，电枢控制电压 为系统输入，我们有,或,这是一个三阶系统,2022/12/5,24,如果我们对电机轴转角 不感兴趣，在本例中我们可以取电枢电路电流 及电机轴角速度 为系统的两个状态变量 ，取电机轴角速度 为系统输出，电枢控制电压 为系统输入，我们有,或,这是一个二阶系统,2022/12/5,25,例3设有一倒立摆安装在马达驱动车上，如图1-4所示。控制力u作用于小车上。假设倒立摆只在图1-4所在的平面内运动，摆杆的重心就是摆球的重心，试求该系统的数学模型。,2022/12/5,26,解：设小车

9、和摆杆的质量分别为和 ，摆杆长 ，所以摆杆重心的水平位置为 ，垂直位置为 。按照物理定律，摆杆和小车的运动方程如下：,摆杆的转动方程：,摆杆重心的水平运动：,2022/12/5,27,摆杆重心的垂直运动,小车的水平运动：,2022/12/5,28,因为我们必须保持倒立摆垂直，所以可假设 和 的量值很小，因而使得 ， 并且,由于摆杆的转动惯量很小，可看作,对以上方程线性化，可以推导出系统微分方程数学模型：,2022/12/5,29,若定义状态变量,系统的输出量,系统模型,2022/12/5,30,1.1.3 化高阶微分方程为状态空间方程,线性定常系统的状态空间表达式为,在经典控制理论中,控制系统

10、的时域模型为：,解决问题:选取适当的状态变量,并由 定出相应的系数矩阵A、B、C、D.,两类问题：1、微分方程中不包含输入函数的导数项2、微分方程中包含输入函数的导数项,2022/12/5,31,微分方程形式:,1、微分方程中不包含输入函数的导数项,2.）将上两边对t求导，化为状态变量 的一阶微分方程组.,2022/12/5,32,3.）化为向量矩阵形式： 状态方程为: 输出方程为:,2022/12/5,33,5. ）说明：状态变量是输出y及y的各阶导数系统矩阵A特点：主对角线上方1个元素为1，最下面一行为微分方程系数的负值，其它元素全为0，称为友矩阵,4.）画模拟结构图：,2022/12/5

11、,34,例1 设系统输入-输出微分方程为下式，求其状态空间表达式。,解：若选 ，可导出系数矩阵A，B，C,2022/12/5,35,2、微分方程中包含输入函数的导数项,微分方程形式：状态变量选择原则： 使导出的一阶微分方程组右边不出现u的导数项。,分析： 如果仍按照微分方程中不包含输入函数的导数项的方法，将输出及输出的各阶导数选为状态变量，则得到的状态方程的模拟结构图如下，,2022/12/5,36,1.）选择状态变量:为了使系统状态方程中不出现u的导数项，状态变量可以这样选择：,式中系数 是待定系数.,整理(2)式得:,由结构图可以看出:,2022/12/5,37,2022/12/5,38,

12、联立(3)式和(4)式，即可求得状态空间表达式为：,输出方程:,状态方程:,A仍然是友矩阵,从中可以看出，状态空间表达式中不含有u的各阶导数了,2.）求,思路:由式(2)可以看出，将y表示成u的各阶导数和x的形式，并代入 原始微分方程式(1)中 ，根据u及其各阶导数的系数相等的原则求解：,2022/12/5,39,由式(2)可以得到下式：,2022/12/5,40,将式(5)和式(7)代入原始微分方程式(1)中，根据左右等式中u及其各阶导数的系数相等的原则可得到：,为便于记忆，将上式写成：,2022/12/5,41,例2 系统输出-输入微分方程为下式，求其状态空间表达式。,解：系数:,按(8)

13、式求得：,2022/12/5,42,写出状态空间表达式:,说明： 这种形式很繁琐，需要记忆的东西太多。 解决方法：一般将微分方程转换为传递函数，由传递 函数来实现。,状态方程：,输出方程：,2022/12/5,43,1.2 状态空间方程的线性变换 1.2.1 状态向量线性变换 1.2.2 化系数矩阵为对角标准形 1.2.3 化系数矩阵为约当标准形,2022/12/5,44,线性非奇异变换：,如果P非奇异阵，则将 变换称为线性非奇异变换。,用途 通过线性非奇异变换，可以将状态方程变成对角线或约当标准型。,系统状态空间表达式的非唯一性：,含义：同一系统的不同状态变量可以通过线性变换互相得到。,1.

14、2.1 状态向量线性变换,2022/12/5,45,两组状态变量的关系：,其中：,例：关于非奇异变换阵和状态方程的非唯一性,考虑系统 为：,非奇异变换后,，,等价系统方程,2022/12/5,46,1）若选择非奇异变换阵P为：,结论：不同的非奇异变换阵，对应不同的状态方程，非唯一性,2）若选择非奇异变换阵P为：,对角线矩阵,2022/12/5,47,对于系统矩阵A，若存在一非零向量 ，使得：,系统的特征值和特征向量,则：,矩阵A对应于特征值 的特征向量,矩阵A的特征值（A特征方程的根）,矩阵A的特征方程,矩阵A的特征矩阵,矩阵A的特征多项式,使 ，则称 为A的对应于 的特征向量.,设 为A的一

15、个特征值，若存在某个n维非零向量 ，,由定义可知：,2022/12/5,48,一个n维系统的 方阵A，有且仅有 n 个独立的特征值。,特征值及传递函数阵的性质：,对系统作线性非奇异变换，其特征值和传递函数阵不变。 （特征值和传递函数阵的不变性）,A为实数方阵，则其n个特征值或为实数，或为共轭复数对。,系统2: 特征多项式 ， 传递函数阵,系统1: 特征多项式 ， 传递函数阵,2022/12/5,49,4）设 为系统矩阵A的特征值, 是A属于特征值的特征向量。当 两两相异时， 线性无关，因此由这些特征向量组成的矩阵Q必是非奇异的。,2022/12/5,50,5）若系统矩阵A具有形式：,则其特征多

16、项式为：,特征方程为：,2022/12/5,51,特征向量的计算：,1）先求出系统矩阵A的所有特征值。,2）对于每个特征值，计算其特征向量。,例： 求下列矩阵A的特征向量。,解：1)计算特征值 A的特征方程为：,A的特征值：,2022/12/5,52,时特征向量：,时特征向量：,2）计算特征向量,时特征向量：,2022/12/5,53,一、将状态方程化为对角线标准型,1、状态方程化为对角线标准型的步骤：,1）先求出系统矩阵A的所有特征值。,2）对于每个特征值，计算其特征向量。并由此组成非奇异变换阵P。,3）由变换矩阵P和矩阵A，B，C求出 ，其中对角阵 可以由特征值直接写出，只需求出 即可。,

17、2022/12/5,54,定理1： 对于线性定常系统 ，如果A特征值 互异，则必存在非奇异变换矩阵P，通过变换 ，将原状态方程 化为对角线规范形式 。,其中：,2022/12/5,55,证明：,1）找非奇异变换阵由特征值性质 4)知，由A特征向量构成的矩阵 是非奇异的，故可以选择P为变换阵, 其中,2）求,2022/12/5,56,特征值定义,上式两端左乘 得：,证毕！,2022/12/5,57,例 将线性定常系统 化为对角线标准型. 其中：,当 时，,2)确定非奇异矩阵P,解:1)求其特征值:,2022/12/5,58,取:,当 时，,取:,同理当 时， 得:,取任意数,2022/12/5,

18、59,3）求,对角线标准型为：,2022/12/5,60,证明：略(提示，根据特征值和特征向量的定义证明)。,定理2：对线性定常系统，如果其特征值 互异，且系数矩阵A是友矩阵，则将系统状态方程化为对角线标准型的非奇异矩阵P是一个范德蒙矩阵，具有如下形式：,2022/12/5,61,例：线性定常系统 ，其中将状态方程化为对角线标准型.,解：1）确定系统特征值.,由：,得：,2022/12/5,62,2)确定非奇异变换阵P,系统状态方程对角线标准型为：,3)求,2022/12/5,63,定理3 对于线性定常系统，当矩阵A具有重特征值，但独立的特征向量的个数仍然为n个。这时可以通过 变换，将A阵化为

19、对角标准形。,例 己知矩阵 ，试化A为对角标准形,解：1、求系统特征值,有重根,2022/12/5,64,2、确定非奇异变换阵P,当 时,当 时,2022/12/5,65,由于系统有3个独立特征向量，故原系统状态空间方程可化为对角标准形。对应线性变换阵P可求出为,3、化对角标准形,2022/12/5,66,二、 化系数矩阵A为约当标准形,定理1-4 当矩阵A具有m个重特征值，且对应于每个互异的特征值，只存在一个独立的特征向量，则必存在一个非奇异矩阵P，将A阵化为约当标准形,其中 为约当块，其形式为,2022/12/5,67,其中 称为对应于 的广义特征向量,此时非奇异矩阵P的求法,假设系统有n

20、个重特征值，设为 ，对应特征向量为,。由特征向量的定义，得到,。,此时变换矩阵为,2022/12/5,68,说明如果n阶矩阵A有m个重特征值 ,n-m个互异特征值 .为确定线性变换矩阵P，可以按上述方法求出对应于 的m个特征向量 。按前面求对角标准形的方法求出其余对应于 的n-m个特征向量故对应线性变换矩阵为,2022/12/5,69,小结：状态方程化为约当标准型的步骤：,1）先求出系统矩阵A的所有特征值。,2）对于每个特征值，计算其特征向量，对于重特征值，还要计算其广义特征向量。并由此组成非奇异变换阵P。,3）由变换矩阵P和矩阵A，B，C求出，其中约当矩阵 可以由特征值直接写出，只需求出 即

21、可。,2022/12/5,70,例 己知矩阵 ，试化A为约当标准形,解：1、求系统特征值,2、确定非奇异变换阵,当,2022/12/5,71,再将,代入,，有,当,时，,2022/12/5,72,所以有,，,3、化约当标准形,2022/12/5,73,定理1-5：如果系数矩阵A是友矩阵 如果其特征值 是n重根，则将系统状态方程化为Jordan约当标准型的非奇异矩阵P，其形式为：,2022/12/5,74,例 己知矩阵 ，试化A为约当标准形,解：1、求系统特征值,2、确定非奇异变换阵,系统有三重特征值，且系数矩阵为友矩阵,2022/12/5,75,求出变换阵,3、化约当标准形,2022/12/5

22、,76,1.3 传递函数矩阵1.3.1 由状态空间方程转换成传递函数阵 1.3.2 子系统串并联与闭环系统传递函数阵,2022/12/5,77,一、传递函数阵的引入：,2）MIMO系统，多输入对多输出，故引入传递函数阵G(s) ，G(s)是一个矩阵，可以表征多个输入对系统输出的影响；,状态空间表达式：,二、传递函数阵定义：,根据传递函数定义，式(1)拉氏变换，并令 ，得式(2)：,1）SISO系统，一输入对一输出，用传递函数G(s)描述， G(s)是一个元素；,整理（2）式得：,2022/12/5,78,注意矩阵求逆,定义传递函数阵：,说明：,1）dim(G(s)=mr，其中dim()表示的维

23、数。m是输出维数，r是输入维数。,3）同一系统，不同的状态空间表达式对应的G(s)是相同的。,2022/12/5,79,例 已知系统 求系统的G(s),解：,2022/12/5,80,例 求由 表述系统的G(s),解：,根据矩阵求逆公式：,由传递函数阵公式得：,2022/12/5,81,求得：,求得传递函数阵为：,2022/12/5,82,传递函数阵：,子系统 的动态方程为：,子系统 的动态方程为：,1.3.2 子系统串并联与闭环系统传递函数阵,传递函数阵：,2022/12/5,83,则有：,子系统并联的前提：,组合系统状态空间表达式求法：,2022/12/5,84,1、状态空间表达式,结论：

24、当两系统并联时，组合系统的传递函数阵等于各子系统传递函数阵之和。,2022/12/5,85,两个子系统串联联结时：,则有：,子系统串联的前提：,1、状态空间表达式,2022/12/5,86,2、传递函数阵为：,回顾：分块矩阵求逆,结论：当两系统串联时，组合系统的传递函数阵等于后一子系统的传递函数阵乘以前一子系统的传递函数阵。由于矩阵左右乘不等，注意顺序。,2022/12/5,87,两个子系统反馈联结时：,不失一般性，令,则有：,2022/12/5,88,1、状态空间表达式,2、传递函数阵为：,注意：上式存在的条件是至关重要的。,2022/12/5,89,例 已知系统结构如图所示，求该组合系统结

25、构图。,2022/12/5,90,解：该系统可看作两个子系统反馈连接。由图可知，,所以有,或,2022/12/5,91,假定离散时间是等间隔的，采样周期为T。用 代表 ，用 代表 ，分别表示系统的输入序列和输出序列。,1.4 离散系统的数学描述,1.4.1 离散系统状态空间方程,一般的计算机控制系统或采样控制系统多属离散控制系统。,2022/12/5,92,离散系统一般用差分方程表示其输入输出信号的关系，分两种情况,一、差分方程中不含输入量差分项,依次选取 为状态变量可得到系统的状态方程为,2022/12/5,93,输出方程为,二、差分方程中含有输入信号的差分项,2022/12/5,94,同样

26、采用和前面1.1.3节线性系统相同的分析方法，可得到系统的状态空间描述为,2022/12/5,95,例1-14 将高阶微分方程,变换为状态空间方程。,解：,2022/12/5,96,例1-15 将高阶微分方程,变换为状态空间方程。,解：,2022/12/5,97,系统状态空间方程为,2022/12/5,98,1.4.2 脉冲传递函数矩阵,z变换,x(0)=0,2022/12/5,99,例1-16 已知线性定常离散系统方程为,求其脉冲传递函数矩阵。解：,2022/12/5,100,1.5 用MATLAB进行数学建模和模型转换,MATLAB是美国MathWorks Inc.开发的一个用于科学和工程

27、计算的大型综合软件，具有强大的数值计算和工程运算功能，完美的图形可视化数据处理能力，标准的开放式可扩充结构，极多的工具箱。目前在工程和非工程领域的科研、教学和开发中已得到广泛地应用。对控制领域，MATLAB是应用最广的首选计算机工具。,1.5.1 MATLAB简介一、使用MATLAB的窗口环境,2022/12/5,101,MATLAB的窗口环境,2022/12/5,102,MATLAB的程序类型包括脚本文件和函数（function）文件，它们都是以“.m”为扩展名的文本文件。脚本文件是一些MATLAB的命令和函数的组合，类似DOS下的批处理文件。函数文件是有输入输出参数的M文件。函数接受输入参

28、数，然后执行并输出结果。用help命令可以显示它的注释说明。文件名必须与函数名一致。,MATLAB命令、函数和文件,MATLAB的命令和函数很多，容易遗忘。这时可以用help或lookfor加函数名的方式获取帮助；也可以打开帮助窗口求助；另外还可以打开示例窗口学习。,2022/12/5,103,二、MATLAB基本数学运算,（1）MATLAB的变量、表达式和运算符MATLAB的变量不需要在使用前声明，并且会自动给变量分配适当的内存。MATLAB的变量必须用字母开头，由字母、数字和下划线组成，字母区分大小写。MATLAB的表达式由运算符、变量、函数和数字组成。格式形式有两种：一种是在提示符以后直

29、接输入表达式，运算后的结果系统会自动地赋给变量ans，并显示在屏幕上。 ans是默认的变量名，会在以后类似的操作中被覆盖掉。另一种格式是：变量表达式，等号右侧计算后结果赋给等号左侧的变量后放入内存中并显示在屏幕上。在运算式中，MATLAB通常不需要考虑空格；多条命令可以放在一行中，它们之间需要用分号隔开。在表达式的末尾加上分号则禁止结果显示,2022/12/5,104,MATLAB的运算符有三种类型：算术运算符、关系运算符、逻辑运算符。它们的处理顺序依次为算术运算符、关系运算符、逻辑运算符。主要的算术运算符有：（加法）、（减法）（幂）、*（乘）、/（左除）、（右除）等；关系运算符有：（大于）、

30、=（大于等于）、=（等于）、= （不等于）等；逻辑运算符有：&（与）、|（或）、（非）。（2）矩阵的输入Matlab是以矩阵为基本运算单元。矩阵输入时，整个矩阵以方括号 作为首尾，行和行之间必须以分号或Enter键分隔，每行中元素用逗号或空格分隔。,2022/12/5,105,1.5.2 控制系统的数学描述一、连续系统的传递函数描述 有理函数形式的传递函数模型表示,这时系统在MATLAB中可以方便地由分子和分母系数构成的两个向量唯一地确定出来,零极点形式的传递函数模型表示,可以变量z、p、k分别表示系统的零点、极点和增益向量,2022/12/5,106,二、状态空间描述对状态方程,在MATLA

31、B中，用（A,B,C,D）矩阵组表示。由函数ss( )可输入并显示出系统状态空间方程。,三、离散时间系统模型,输入离散传递函数模型和连续传递函数模型一样，只需要分别按要求输入系统分子和分母多项式系数，就可以利用tf( )函数将其输入到MATLAB环境中。或输入G、B、C、D矩阵，用ss函数实现。唯一区别的是，同时还需要输入系统的采样周期T。,2022/12/5,107,1.5.3 模型的转换一、不同模型之间转换模型转换的函数包括：num,den=ss2tf(A,B,C,D,iu)：状态空间描述转换为传递函数模型，iu用于指定变换所使用的输入量。z,p,k=ss2zp(A,B,C,D,iu)：状

32、态空间描述转换为零极点增益模型A,B,C,D=tf2ss(num,den)：传递函数模型转换为状态空间描述z,p,k=tf2zp(num,den)：传递函数模型转换为零极点增益模型A,B,C,D=zp2ss(z,p,k)：零极点增益模型转换为状态空间描述num,den=zp2tf(z,p,k)：零极点增益模型转换为传递函数模型,2022/12/5,108,二、状态空间描述的线性变换（1）线性变换函数ss2ss( ) 实现状态空间描述的线性变换，调用格式为At,Bt,Ct,Dt=ss2ss(A,B,C,D,T)T用于指定变换所使用的线性变换矩阵，转换方式为AtT-1AT，Bt=T-1B，CtCT

33、，Dt= D，注意这与式（116）有所不同。,（2）化约当标准形使矩阵A化为约当形有相应的函数，调用格式为 T, J = jordan ( A )其中返回变量T为相应于矩阵A的特征向量和广义特征向量的非奇异变换矩阵,2022/12/5,109,（3）、化对角标准形在MATLAB中求特征值的函数eig( )，当返回双变量格式时，可以完成对矩阵A的对角化。调用格式为 T, At =eig( A )其中返回变量T为相应于矩阵A的特征向量的非奇异变换矩阵，At为变换后的对角形阵,且AtT-1AT。另外，也可以采用函数canon( )来实现，调用格式为At,Bt,Ct,Dt,T=canon(A,B,C,D,mod),2022/12/5,110,1.5.4 模型的连接模型的连接包括并联、串连和反馈几种形式。分别用以下函数实现：G=parallel(G1,G2) 并联连接两个系统G=series(G1,G2) 串联连接两个系统G=feedback(G1,G2,sign) 反馈连接两个系统，sign用来指示系统2输出到系统1输入的连接符号，sign缺省时，默认为负反馈。以上这些函数对离散控制系统也都适用。,