测量不确定度课件.ppt

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1、测量不确定度,目 录,第一章：测量不确定度 误差 第二章：概率统计的基础知识 第三章：标准不确定度的评定 第四章：异常值 系统误差 第五章：合成标准不确定度 第六章：扩展不确定度 第七章：权与不等权测量 第八章：最小二乘法,第一章：测量不确定度 误差,1.1 概述 1.2 误差 1.3 测量不确定度 1.4 小结,第二章：概率统计的基础知识,2.1 概率极其分布 2.2 常用的几种概率分布 2.3 随机变量的数字特征 2.4 X分布,t分布,F分布 2.5 大数定律和中心极限定理,第三章：标准不确定度的评定,3.1 概述 3.2 标准不确定度的A类评定3.3 标准不确定度的B类评定3.4 小结

2、,第四章：异常值 系统误差,4.1 异常值概述 4.2 异常值剔除准则 4.3 系统误差概述 4.4 系统误差的发现 4.5 在测量过程中减小系统误差的常用 方法 4.6 小结,第五章：合成标准不确定度,5.1 概述 5.2 利用方差性质求合成方差 5.3 不确定度传播律 5.4 不相关的输入量 5.5 相关的输入量 5.6 小结,第六章：扩展不确定度,6.1 扩展不确定度的表示方式 6.2 算术平均值的扩展不确定度 6.3 包括因子k值的选择 6.4 有效自由度v 6.5 扩展不确定度的另一种表示方式 6.6 用简便方法选择包含因子k值 6.7 有效自由度是否大于10的判断 6.8 小结,第

3、七章：权与不等权测量,7.1 概述 7.2 权与加权算术平均值 7.3 加权算术平均值的方差 7.4 加权算术平均值的实验标准偏差 7.5 小结,第八章：最小二乘法,8.1 概述 8.2 最小二乘法原理 8.3 线性方程的参数最小二乘估计 8.4 小结,第一章：测量不确定度误差1.1概述,合成标准不确定度u由A类标准不确定度和B类标准不确定度合成而得。A类标准不确定度的评定是基于对物理量的多次测量得到的实验数据。B类标准不确定度的评定是基于测量用仪表的性能、测量环境对测量结果的影响、测量方法的近似性等。置信水平取多大的值由测量工作的要求所决定。,1.2 误差,测量不确定度表示测量结果的不可信度

4、，或者说表示测量的质量。 测量准确度表示测量结果与被测值之间的一致程度。 测量误差是测量结果X减去被测量的（真）值a，即： 注：量子效应排除唯一真值的存在，但以下三种情况是可知的 ： 1、理论真值 2、计量学的约定真值 3、标准器具的约定真值,1.2.1 误差按表示方式分类,1、绝对误差:测量值与被测量的真值之差. 2、相对误差:是绝对误差与被测量的真值之比，即 注：有时可用分贝（dB）误差表示相对误差。 令 例1.1 已知电压比的误差为0.34dB，求相对误 差。 解,1.2.2 误差按其性质分类,随机误差r：测量结果减去在重复条件下对同一被测量实行多次测量结果的平均值，即 （注：是由于对测

5、量结果有影响的量发生不可预测的或随机的时空变化造成的，且不能用修正来补偿，但可以通过改善测量条件和增加测量次数来减小） 系统误差s：在重复条件下对同一被测量实行无限多次测量结果的平均值减去被测量的真值，即 总：测量结果的误差包括随机误差和系统误差，即,用 表示测量结果由于测量误差引起的损失函数，则： 用泰勒级数展开有： 若误差=0，则L(Xk)=L(a)=0不论X比a大或者小，都产生误差，即（），若损失函数是连续，光滑的即（），则,故：损失函数和成正比，减小误差可以显著地减小损失,1.3 测量不确定度,.不确定度的由来 1927年海森堡通过研究微观物理现象,首先提出了指定和测量所能达到的准确度

6、存在一个基本的极限，称之为不确定度关系。1993年国际标准化组织出版了测量不确定度表示导则统一了测量不确定度的评定与表示方法。,.测量不确定度的分类,测量不确定度一般由多个分量组成，把用统计方法评定的分量称为类评定，用其它方法评定称为类评定 、类评定的不确定度称为类不确定度。、类评定的不确定度称为类不确定度。 （注：类和随机，类和系统不一定存在简单的对应关系）,.测量不确定度的来源,、被测量的定义不完整、定义值复现不理想及测量方法不理想。 、测量设备不完善，在数据处理时所引用常数及其他参数值不准确。 、测量环境不理想或测量环境的影响认识不足。 、测量人员技术不熟练。 、在相同测量条件下，对被测

7、量重复观测时存在随机变化。,.小结,测量误差是测量结果减去被测量的值，包括随机误差和系统误差。由于被测量的值在大多数场合是未知的，就要用测量不确定度来表示测量结果的可信程度。测量不确定度小，说明结果可信，反之则不可信。,第二章:概率统计的基础知识,2.1 概率及其分布 2.1.1 频率与概率 随机试验:在相同条件下可以重复进行,而每次所 得结果事前不可预测的试验. 随机事件(事件):随机试验的每一个可能的结果. 频率:若事件A出现的次数为L,各类事件出现总数为N,则L/N称为事件A出现的频率 概率:当各类事件总数N逐渐增多时,频率逐渐稳定于某个客观存在的实常数,处于0与1 之间,称为理论频率,

8、亦即在给定条件下事件A出现的概率,用P(A)表示.,.概率分布,对任意实数x,给出随机变量小于或等于x的概率的一个函数: F(x)=P(x) 称为的分布函数. 性质: , 对任意实数x1 ,x2( x1 x2),有 注: 1、若已知的分布函数F(x),就可求出落在(x1,x2上的概率. 2.单独点的概率在连续情况下通常为0。,对随机变量所有可能的取值x(i=1,2,),若可列出分布函数 P(= x)=pi , i=1,2, 则称为离散型随机变量. 若存在非负函数f（x），且 使随机变量取值于任一区间(a,b)的概率为 则称为连续型随机变量, 称f（x）为的概率密度函数.,概率密度函数性质: 若

9、分布函数F(x)的导数存在,则,2.2常用的几种概率分布,2.2.1 正态分布设连续型随机变量的概率密度函数为则称服从参数为,的正态分布. 记为,当=0,=1时,称服从标准正态分布.其概率密度函数,分布函数分别用(x),(x)表示，即且可证明 (-x)=1 - (x)若随机变量N(，),则其取值于区间(a,b)内的概率为,通过变量替换,令 则为标准正态分布.,呈矩形,则称在区间内服从均匀分布。,2.2.2 均匀分布均匀分布又称为矩形分布，设连续型随机变量在有限区间e,b内取值，其概率密度函数为,2.2.3三角分布,若随机变量1,2都是在-a/2,a/2区间呈均匀分布,且相互独立则(=1+2)

10、的概率密度函数为在区间-a,a呈三角形，简称三角分布,2.2.4 梯形分布,若随机变量在-a,a区间呈均匀分布,在-b,b区间呈均匀分布， 和 相互独立，且ba，则 的概率密度函数为 在区间-b-a,b+a呈梯形分布。,2.2.5 反正弦分布,随机在-a,a区间内服从反正弦分布可表示为As-a,a，其概率密度函数为可以证明,如果U0,2,则asin(+0)As-a,a,其中a, 0为常数.,2.3 随机变量的数字特征,测量不确定度的表示中，数学期望和方差是最基本的特征量。实验数据处理中，基础工作是根据被测量的观测值，求出被测量之数学期望和方差的最佳估计值。2.3.1数学期望定义：若随机变量的分

11、布函数为F(x)，而绝对收敛，则称 为的数学期望，记为E() 。当取值为 的离散型随机变量的概率为若 绝对收敛，则 其总和包括了对所能取的 所有值。,数学期望:数学期望是以概率为权，对被测量的观测的加权平均。性质： 设C是常数，则有E(C)=C ； 设是随机变量，C是常数，则有 E(C )=CE() 设1,2是任意两个随机变量，则有 设1,2是两个相互独立的随机变量，则有,2.3.2方差,设是一个随机变量，若 存在，则称 为的方差，记为2 ，即 对于离散型随机变量 ,有对于连续型随机变量 ,有性质： 设C是常数，则有 V(C)=0 设是随机变量，C是常数，则有 V(C )=C2V () 设 是

12、相互独立的随机变量，则有,2.3.3协方差与相互系数,协方差是度量它们相互依赖性的数字特征。 称为随机变量和的协方差，即 称为随机变量 和 的相互系数或标准协方差， 是无量纲量。协方差也可写为：,性质： Cov(1,2)=Cov(2,1) 设a,b 是常数,则有 Cov(a1,b2)=abCov(1,2) 设1,2和是三个随机变量,则有 Cov(1+2,)=Cov(1+a)+Cov(2+b),2.3.4几种概率分布的期望和方差,把正态分布的概率密度函数 正态分布的期望为，方差为2。标准正态分布的期望为0，方差为1。方差的正平方根 称为随机变量或概率分布的标准偏差。,2.4 分布，t分布，F分布

13、,设n个相互独立的随机变量1,2,n均服从标准正态分布N(0,1) ，则统计量 服从参数为 n的分布，记为 （n）分布的概率密度函数为 f(x)=0, x0注:上式中的 为函数,其通式为 . n 称为 分布的自由度。常用表示。,自由度一般为总和的项数减去总和中受约束的项数。 表示总和的项数为n项.如果对于1,2,n存在一组不完全为0的常数, 使得则称 之间存在一个线性约束条件.如果存在k个约束条件 其中系数 所组成的k行n列矩阵 的秩为k，并且对于任何m(k)个约束条件 行n列矩阵 的秩总不大于k，则称 之间存在k个独立的约束条件。,由线性代数可知，在这种场合 , 中有(n-k)个独立变量。这

14、里k个独立的约束条件也就是总和中有k个受约束的项数，自由度 . 性质： 的数学期望等于自由度,即 的方差等于自由度的两倍,即 设 , ,且他们相互独立,则 统计量的概率积分，即计算 取值超过某给定值 的概率为a，于是有,2.4.2 t分布,设 ,且与独立,则称随机变量 服从自由度为的t分布,记为tt().自由度为的t分布的概率密度函数为,性质： t数学期望（t）=0 t方差 t变量的概率积分,即计算t取值超过某给定值 的概率a为,2.4.3 F分布,设 且U,V 相互独立,则随机变量服从自由度为 的F分布,记为 .F分布的概率密度函数为,F分布具有如下性质: F的数学期望 F的方差 由F分布的

15、定义可知，若随即变量服从 分布，则随即变量 服从 分布.,2.5大数定律及中心极限定理,1.车贝谢夫不等式若随即变量 的方差为V() ,则对任意正数,可证明上式表明，若的方差小，则 |E（）| 发生的概率就小。当V（）=2已知时，不论随机误差 是何种分布，均有,2.贝努里定理,设L是次独立实验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率,则对于任意正数,可证明上式表明,事件发生的频率依概率收敛于事件的概率p.,2.5.2中心极限定理,1.相同分布的中心极限定理若随即变量 有相同的分布，其期望 ，且 。令 ，可证明 在 n趋向无穷大时趋于标准正态分布。,2.一般情况,对任意正数,有其中F

16、i(x)是i的分布函数,则称满足麟德贝格条件.设独立随机变量i(i=1,2,n)满足麟德贝格条件,可证明 在n趋向无限大时趋于标准正态分布.,第3章 标准不确定度的评定,3.1概述根据表示方式的不同，测量不确定在使用中有下述三种不同的说法。标准不确定度：用标准偏差表示的测量结果的不确定度。合成标准不确定度uc：简称为合成不确定度。根据其他一些量值求出的测量结果的标准不确定度等于这些两的方差与协方差加权和的正平方根，权重按测量结果随这些量的变化而确定。扩展不确定度U：用包含因子乘以合成标准不确定度，得到一个区间来表示的测量不确定度。,3.2 标准不确定度的A类评定,3.2.1 算术平均值在相同测

17、量条件下，对被测量X进行次独立重复测量，得观测值Xk,=1,2,，则样本算术平均值：3.2.2 A类评定的基本方法 被测量X的方差,式中k=P(X=Xk),k=1,2,n(n).对于相同条件 下的测量,可视为等概率测量.上式可写为 当不存在系统误差时,上式为由于测量次数是有限的，把,称为总体方差，其正平方根称为总体标准偏差总体标准偏差小，说明任一单次观测值对被测量的期望的分散性小。,3.2.3 自由度,自由度是标准不确定度的不确定度，是评定扩展不确定度的依据。通常情况下，自由度为总和的项数减去总和中受约束的项数。总和是指方差计算中的总和，共项。一般来说，待求参数的个数为受约束的项数。例如则 的

18、自由度为,3.2.4 A类评定的其他方法,标准不确定度A类评定的基本方法是贝塞尔公式,不过,在有些场合要用到其他方法。1.最大误差法 在相同测量条件下,对被测量X进行次独立测量,得观测值k,k=1,2,n.若预先知道或能近似估计出的期望值,计算(Xk-),从中找出绝对值最大的,当X服从正态分布时,可按下式估算(Xk):,2.最大残差法,在个独立重复观测值Xk（=1，2，）满足正态分布的条件下，求出算术平均值及残（余误）差 ，找出最大残差值 ，可得的无偏估计此法用于需要考虑观测值与平均值之差的场合。,3.极差法,在独立重复观测值Xk（=1，2，）满足正态分布的条件下，找出观测值的最大值Xmax及

19、最小值Xmax，它们的差称为极差，即 可得的无偏估计此法用于需要考虑最大值与最小值之差的场合，而且测量次数较小（49次）为宜。,3.3 标准不确定度的B类评定,B类评定与A类评定的区别是，A类评定是对一系列观测值用统计分析标准不确定度评定的方法，B类评定是用其他方法进行标准不确定度评定。3.3.1 概述 当被测量X的标准不确定度不是由重复测量得到时，可用下列信息评定： 有关测量装置（含仪器）和材料的性能； 测量装置制造厂的技术说明书；, 校准或其他证书提供的数据； 手册给出的参考数据及其不确定度和自由度； 以前测量的数据。 为方便起见，把这种方法估计的方 差 和估计的标准不确定度 的值分别称为

20、B类方差和B类标准不确定度。,3.3.2 给出()及的情况,分别知道了A类,B类的标准不确定度及它们的自由度,就可以求出合成标准不确定度uc以及uc的有效自由度 ,从而可以确定包含因子的值,得出扩展不确定度=c.可见给出()及对后面的处理极其方便.,3.3.3 给出及的情况当给出扩展不确定度及包含因子时,标准不确定度()可由下式求得:例3.1 校准证书表明标准值为1000的不锈钢标准砝码的质量 为1000.000325,且该值的不确定度按3倍标准偏差为240.可求得该标准砝码的标准不确定度 为 ,其估计差 .,3.3.4 给出置信水平P及其U的情况,给出置信水平及其U的情况有两种.其一,给出相

21、应于置信水平为90%,95%或99%的扩展不确定度U;其二,给出相应于置信水平为50%或67%的区间范围 ,并且U或 对于被测量X的估计值是对称的,即X落于区间 或 .,3.3.5 给出置信区间的上下限的情况,现在给出X的置信区间的上限 和下限 ,且X落在 和 内的概率为1,而落在该范围外的概率为0.对于这种情况,若没有别的说明，那么只能假设X是按等概率落在该范围的任何地方,即使设X为均匀分布,其期望为 方差为 若 , 则方差,3.3.6 梯形分布的情况,在第2章中已给出梯形分布的标准偏差为 式中为梯形的下底半宽度,为其上底半宽度.当=0时,成为三角分布, ,它的 .若=1,成为均匀分布, .

22、对于置信区间为 的正态分布,当要求置信水平为99.73%时,其 可以把三角分布看成这种正态分布和均匀分布两者的折中.,3.3.7 B类标准不确定度的自由度,为了确定包含因子的值,从而求出扩展不确定度U,除了要知道A类标准不确定度及其自由度外,还需知道B类标准不确定度及其自由度.但直接给出 B类标准不确定度u(x)的自由度 的还比较少,往往要根据B类标准不确定度的不可信程度来判断其自由度.有,用u(x)代替上式中的 和 ,可用于定义自由度式中u(x)指的是B类标准不确定度, , 是B类标准不确定度的相对不确定度,或者说 是B类标准不确定度的标准偏差.,3.4 小 结,对于测量结果的不同准确度要求

23、,需要给出不同层次的测量结果.基本要求(第一层次)是给出估计值(往往是算术平均值).较高要求(第二层次)是给出估计值及其不确定度,即估计值及其不可信度,从而可以知道该估计值可以信任到什么程度.更高要求(第三层次)是除了给出估计值及其不确定度外,还要回答不确定度的不可信度是多大.,第4章 异常值 系统误差,4.1 异常值概述 在一组观测值中，如果其中最大值（或最小值）严重偏离它所属样本的其余观测值，也就是超过了预期的观测值，则称之为异常值，也称差错或坏值。产生异常值的原因是多方面的，一类是客观外界条件的因素，另一类是测量人员的主观因素。,测量完成后为确定数据中是否含有异常值，应采用统计方法进行判

24、别。次方法的原理是，相同条件下的一系列观测值应服从某种概率分布，在给顶一个置信水平（或一个显著性水平）时，确定一个相应的置信区间或置信上，下限（或临界值），凡超过这个界限的观测值，就应该考虑是否属于异常值，从而考虑是否剔除该观测值。,4.2 异常值剔除准则,4.2.1 拉依达准则拉依打(）准则又称3准则. 一组个独立重复观测值中,第次观测值 与该组观测值的算术平均值 之差称为残余误差 ,简称残差,即有一组观测值中,若某一观测值的残差绝对值 大于三倍标准偏差,即则认为该值为异常值,考虑剔除,这就是拉依达准则.,4.2.2 格拉布斯准则,一组个独立重复观测值 其算术平均值为 ,找出最大残差绝对值

25、.设 服从正态分布,格拉布斯导出了 所服从的理论分布，选定置信水平p，得到和有关的临界值 ，即有格拉布斯（Grubbs）准则是，若观测值的最大值或最小值 满足,则认为 是异常值，考虑剔除 。4.2.3 t检验准则 有n个独立重复观测值 即其中 表示观测值被怀疑的异常值。要判断 是否为异常值，先计算不含 的算术平均值,再求出不含 的实验标准偏差然后根据所要求的显著水平 及观测次数n查表4.3得t检验系数 值，若则该 可被认为是异常值，考虑剔除。,4.3 系 统 误 差 概 述,系统误差s是在重复条件下对同一被测量实行无限多次测量结果的平均值减去被测量（真）值。它表现为确定的变化规律。引起系统误差

26、的原因是测量装备不完善，以及对测量有关的物理现象认识不完全。 4.4 系统误差的发现 4.4.1 残差统计法 残差统计法适用于组内数据检验。1.残差正负号的分配检验法,用 表示残差 的符号函数，有令统计量 ，则有若上式不成立，则存在显著的可变系统误差。,2. 和检验法,将观测值按测量先后顺序排列，分为前半组和后半组，并求得前半组残差和，后半组残差和，则有 |前半组残差和后半组残差和| 若上式不成立，则存在显著的可变系统误差。,3. 序差检验法阿贝（Abbe）赫梅特（Helmert）判据,按测量顺序求得各观测值的残差 设 并记则有若上式不成立，则存在显著的可变系统误差。,4. 小样本序差检验法,

27、和上述3类同，设且记 则有 若上式不成立，则存在显著的可变系统误差。,4.4.2 组间数据检验,组间数据检验是对不同组的数据进行分析，判断组间是否存在系统误差。1.正态检验法若进行了独立的m组测量，各组的算术平均值及算术平均值标准偏差为 且任意两个平均值之差服从期望值为0,方差为 的正态分布，则有,当 时， 即在1000次测量中，只有3次例外，因此在测量次数不太多且测量中不存在系统误差时，一般不应出现 的情况。故可用作为检验组间是否存在系统误差的准则。,2. F检验法,对某量独立测量了m组，第i组在相同条件下独立从副测量了n次，且用Xij表示第i组第k次观测值 总算术平均值为,组间残差平方和为

28、组内残差平方和的和为若 服从同一正态分布，即各组无系统误差，则式中 ,即F服从自由度为v1和v2的F分布。,4.4.3 用标准器具检定,用标准器具检定是发现和减少定植系统误差的重要方法。系统误差是否显著，对此可按下述步骤进行：计算算术平均值 ,式中n为测量次数;计算 式中是按贝塞尔方法求得的实验标准偏差;选定置信水平p，按p及自由度 查附录表1得临界值 。,比较|t|与值，若|t| ，按置信水平p，认为样本数据中有系统误差；反之，则没有系统误差。若系统误差显著，按样本估算系统误差的置信范围为如果该范围恒为正值，说明系统误差为正；如果恒为负值，说明系统误差为负；如果该范围有正有负，表示系统误差不

29、太明显。,4.5 测量过程中减少系统误差的常用方法,4.5.1 恒定系统误差的减少1.标准量替代法 在测量装置上对未知量测量后，立即用一个标准量替代未知量并再作测量，以便在相同测量条件下对标准量和未知量比较。如标准量可以连续改变大小，则可直接测出未知量；如标准量不能连续改变大小，则可求出未知量与标准量的差值。,2. 交换法 在一次测量后，把某些测量条件改变一下，以减少该系统的定值系统误差。3. 反向补偿法 若已知存在某种恒定系统误差，又无法从根源上消除，也不知其大小从而难以进行修正，可考虑有否可能用反向补偿法。先在有恒定系统误差的状态下进行一次测量，再在该恒定系统误差影响相反的另一状态下测一次

30、，取其平均值相互抵消。,4.5.2 线形变化系统误差的减少对称测量法 线形变化系统误差往往随时间呈线形变化，因此,将测量顺序对某一时刻对称地进行测量，再通过计算，即可达到减少线形误差的目的。4.5.3 周期性变化系统误差的减小半周期法 对周期性系统误差，可以相隔半个周期进行一次测量，取相继两次读数的平均值，即可有效地减少周期性系统误差。,若周期性系统误差可表示为则相隔半个周期，即时 ，有相继两次读数的平均值,4.6 小结,因测量装置的突然故障，测量条件的突变或读错记错数据等异常情况引起的异常值，应注明原因并剔除，这是剔除异常值的主要方法。在测量完成后不能确切知道数据中是否含有异常值，可采用统计

31、方法判断。 系统误差大多是在测量及数据处理之前就以存在。发现和减小定植系统误差的最好方法是用标准器具或准确度较高的器具进行检定。若无条件用标准器具或准确度较高的器具进行检定，那么发现和减小系统误差的能力取决于对测量技术掌握的熟练程度，以及分析各种测量技术的经验。,第5章 合成标准不确定度,5.1 概述 如果测量结果的标准不确定度包含若干个标准不确定度分量,就要把若干个标准不确定度综合成为合成标准不确定度,用符号 表示.用Y 和N 个输入量 有函数关系 则可通过测得的 的输入估计值 求得 Y的估计值y 即 则求Y合成标准不确定度 有以下两种方法:,(1)不确定度传递律法:分别求得 的算术平均值的

32、实验标准偏差,再用不确定度传递律求 .(2)输出量估计方差法:对于 第k次观测值 ,求出 .若 都测量了n次,即k=1,2,n ,那么类似地可求出 ,得到被测量Y的估计值 , 是n个 的算术平均值,并由式可求出y的标准不确定,5.2 利用方差性质求合成方差,例5.2 在t1时刻启动秒表,t2时刻停止秒表,启动和停止秒表的标准不确定度均为0.03s,求测量时间间隔为时,由于启动,停止秒表所引起的标准不确定度.解 启动秒表的标准不确定度是由于持表人看(听)到信号与按秒表的不一致所产生,与持表人使用秒表的熟练程度有关.停止秒表的标准不确定度的产生原因也类似.由于 ,t2和t1互相独立,因此对上式取方

33、差,得,又因为 所以,5.3 不确定度传递(播)律,对于初等函数 ,不确定度传递律可表示为其中 是 的输入估计值。式中估计的相关系数 y是Y的估计值, 是 的协方差的估计值,偏倒数 是在 时的 ,表示输出估计值 y如何随输入估计值 的变化而变化,成为灵敏系数。,5.4 不相关的输入量,当 之间不相关时,也即 为0时, 不确定度传递(播)律 式可简化为使计算合成标准不确定度比较方便.例5.3 继续第3章的例3.6.被测量V的估计值是 ,其中 , ,附加修正值 , 求合成标准不确定度 .,解 由 得 由式(5.11),V的合成方差得合成标准不确定度 .之所以把 和 看为不相关的,是由于 是用统计分

34、析进行评定的,是A类标准不确定度; 是按仪表制造厂的技术说明书的信息进行评定的,是B类标准不确定度。,5.5 相关的输入量,5.5.1相关性的判断1.下列情况可判断为不相关 是在相同测量条件下，不同的独立实验中不同时测得的量，或者他们代表的是独立进行的不同评定的结果量。 量中的任一个可以作为常数处理。 增大时 可正可负， 减小时 可正可负. 虽互有影响，但可认为其影响甚微，允许近似处理 . 对 估计值，评定其协方差的信息不足。,2.下列情况可判断为相关 若测量或估计 时采用同一台测量器具、测量标准、参考数据或具有相当大不确定度的测量方法则输入量 常常是相关的。 有正线性关系，此时 有负线性关系

35、，此时 增大时 也增大， 减小时 也减小,5.5.2 相关系数求法,1.直接计算法 相关系数的估计值为式中 是 的估计值2.经验估计式若输入估计值 是相关的,且 变化 ，使 发生变化 ，则 的相关系数可由下式近似估计若已知 值，则可利用上式求 。,3.数点计算法在相同测量条件下,独立重复测得 ,把n对观测值绘在直角坐标上，然后作平行于纵轴的直线A，使得A线把图中全部点数左右均分；做平行于横轴的直线B，B线把图中全部点数上下均分，尽量使A,B线上无点，A线和B线所划分四个象限内的点数分别记为 ，则可按下式求相关系数估计值注：点数较少时，该法不准确。,5.5.3 使观测值之间无关的实验处理措施,为

36、了使观测值之间无关，可在实验和处理数据是采取下述措施： 若各个观测值都存在一个固定的系统误差，则它们之间有一定程度相关。若将固定的系统误差修正后，则上述各观测值就可能不相关。 用同一个调零进行多次测量，则各读数之间有一定的相关。因此在每次读数之前重新调零再读数，则得到的观测值之间就可能不相关了 。 在较长时间间隔测量时，要注意是否存在漂移，扣除漂移，则各读数之间可能不相关。实验室中的公共值，可用不同的恒源器接至各个仪器，隔断公共值对不同仪器的影响，而使其观测值之间不相关。,5.6 小结,利用方差性质求合成方差只适用于函数关系极其简单的情况。对于间接测量，当输入量的测量次数均相等时。利用函数关系

37、求出输出量各组相应值，再求出输出值的实验标准偏差。是既方便又准确的。不确定度传递律是通用的方法。对于不相关的输入量，通过适当的变量置换，可以把相关的输入量置换为另外的不相关输入量。,第6章 扩展不确定度,6.1 扩展不确定度的表示方式 扩展不确定度又称为总不确定度,常用符号U表示.它是由合成标准不确定度 乘以包含因子k得到,即 k值通常在23之间. 测量结果在给定区间的置信水平也可用被测量Y的值在给定区间内的频率表示,这里的频率是观察值在给定区间内的次数与观察值总次数之比.,6.2 算术平均值的扩展不确定度,若被测量是简单的单个正态分布量X,即Y=X,且X是用它的n次独立重复观测值xk的算术平

38、均值估计的，其实验标准偏差为 ,则Y的最佳估计值是 ，估计值的实验标准偏差是 . 是按t分布，其自由度为=n-1。式中是X的期望,因Y=X,所以也是Y的期望。 算术平均值的扩展不确定度 确定了一个区间 ,可期望以置信水平p使Y值落于该区间中.,6.3 包含因子k值的选择,若已知Y的分布函数，按所要求的置信水平p，可以求出k值。另一种求k值的办法是用卷积积分。对于 线性函数，式中 均为常数，若 的概率分布已知，则Y的概率分布可用卷积积分求得，所要求置信水平的值也可求得。由于卷积积分的复杂性，通常并不被采用，而是假设变量， 服从t分布，其自由度为 （称为有效自由度），即 。这样在求得 值后，修约为

39、整数，按所要求的p值，查t分布表。就可得 值。即有 。,6.4 有效自由度,计算 即 式中 的自由度。如果计算所得的 值不是一个整数，通常用内插或截尾（舍位）的方法得到临近的值较底的整数。,在某些应用中,A类和B类评定的标准不确定度分别有两项或更多项合成,分别表示为 .它们的有效自由度分别为 ,则它们的合成方差 ,合成不确定度的有效自由度满足6.5扩展不确定度的另一种表示方式另一种表达式,式中 取自t分布在自由度为 和置信水平p=95%时的值。 只考虑在本次测量中由重复观测统计评定得到的那些标准不确定度分量si, .并且 , 此时考虑到所有其他的不确定度分量，其中 相对与其最佳估计值的准确值的

40、上限和下限。若按式（6.3）和式（3.25）推荐的方法评定具有95置信水平的区间的扩展不确定度，则用式 代替式(6.8).上式中 包含所有的不确定度分量。,6.6 用简便方法选择包含因子值,可取k=2,其所形成的区间 具有置信水平约为95%；若取其所形成的区间 具有置信水平约为99%。 被测量Y的估计值y是由适当个输入量的估计值得到的，可用概率分布很好描述，例如正态分布和均匀分布； 这些输入量的估计值的标准不确定度，可以由A类或B类评定. 由不确定度的传递律隐含的线性近似是适当的. 的不确定度是很小的，即其有效自由度具有足够大的值，具体来说满足条件 。,6.7 有效自由度是否大于10的判断,6

41、.7.1 判断的 公式式中 这N个 的自由度中最小的值。对于之间不相关的情况，,可得 若 则若 则可用简便方法选择包含因子k值，即对于p=95%，取k=2；当p=99%，取k=3。在有些测量情况中 ，那么按上述公式就不能判断了。,6.7.2 快捷判断,当已知A类标准不确定度 及其自由度和B类标准不确定度 及其自由度时,有 故有在 的条件下,有 若已知 的值，则能判断是否 .快捷判断 列于附录表3。,6.8 小结,要含有扩展不确定度 ，已知合成标准不确定度 后，要给出U（也即选择k值）。理论上,是要确切知道被测量的概率分布或进行卷积积分等复杂计算，求出k值。但实际上很少采用，而一般是假设 服从t

42、分布，其自由度为 而后采用简便方法求k因子。,第7章 权与不等权测量,7.1 概述 在相同测量条件下，即测量方法，测量设备，测量环境和测量人员相同时，获得的观测值称为等权测量。实际操作中，有时不能满足相同的测量条件，所获得的观测值为不等权测量。重要的物理量需要把各个实验室在不同时期获得的观测值加以综合，以便给出最可信的测量结果，就属于不等权测量。,7.2 权与加权算术平均值,对于n个不等权的观测值（或n组不等权的测量结果） 其方差分别为 ,如何求其真值a的最佳估计值X。一维随机变量进行n次测量得到的n个观测值，可以看作n维独立的随机变量进行一次测量得到的n个观测值。n维随机变量其子样 ; 的联

43、合概率密度由似然函数给出，即式 中 的概率密度函数。,对于正态分布，似然函数成为,极大似然法估计，a的最佳估计值，即加权算术平均值为对于等权测量，则有,7.3 加权算术平均值的方差,的方差， 是不等权测量中第k个观测值 的方差，而 是单位权方差。,对于等权测量，测量次数越多，权越大，可信度越大。 因为通常不知道k的值,而仅仅知道sk的值, 即用实验标准偏差sk代替k,用 代替 ,则知道各个观测值的实验方差，就可求出加权算术 平均值的实验方差。,7.4 加权算术平均值的实验标准偏差,单位权方差的无偏估计值为则测得第k个观测值的方差估计值为得加权算术平均值的方差估计值,所以算术平均值的标准偏差为

44、只有n足够大时，上式才能得到较精确的 值，但一般n不会太大，只能得到近似的值。,7.5 小 结,测量分为等权测量和不等权测量。当系统误差不大时，可以用不等权测量测量的公式求加权算术平均值极其标准偏差。单位权方差2是当观测值的权为1时的方差，的值可选为任意正数，选择时以计算方便为原则。一旦的值选定，不能在有变动。,第8章 最小二乘法,8.1 概述最小二乘法，在数据处理和不确定度估计中,被广泛应用。最小二乘法估计值与观测值所服从的概率分布无关。因而当概率分布的形式并不能严格知道，无法用极大似然法估计时。采用最小二乘法是合适的。 8. 最小二乘法最小二乘法原理 ：假设Y和 及m个待估参数 的函数关系

45、为 对Y和 作了n次相互独立的测量,得 和 ，i=1,2,N，而,k=1,2,n，且nm。那么如果对应于观测 值的真值为 ,则有 其中 k=1,2,n . 的误差 。当参数 分别等于最佳估计值 时, 的估计值 可写为,之差称为残差，即最小二乘法要求当参数 分别等于 时，残差 的加权平方和为极小，即中 是第k次测量值的权，或写为 对于等权测量则为 。,8.3 线性方程的参数最小二乘估计,8.3.1 直线方程 若已知X和Y呈线性关系 ,对X和Y作了n次测量,得观测值 ,而n大于待求参数的个数,为等权测量,那么我们可求出,的估计值 及它们的方差。,8.3.2 一般线性方程的参数最小二乘估计,假设Y和m个变量 及m个参数 (j=1,2,m)的线性方程为 已测得n组观测值 ,而k=1,2,n，且nm，那么可求出m个参数 的最小二乘估计。若 的n个观察值的标准偏差为 ，k=1,2,n，那么 的权为 ，k=1,2,n式中 是单位权方差。,8.4 小结,最小二乘估计值是方差最小的无偏估计，是最常用的参数估计方法之一。应用最小二乘法题解的常用步骤如下：列出残差方程；写出正规方程；求待估计的参数；求单位权标准偏差的估计值；求待估参数的标准偏差估计值。 若要求给出待估参数的扩展不确定度,那么按所要求的置信水平p,自由度=n-m,查附录表1得 值,并取包含因子 , 的扩展不确定度 。,