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1、第二章 张量分析,2.1基础知识,则梯度为：,标量函数：,展开后有：,原式,左梯度,其中：,右梯度,两者关系,左梯度,右梯度,写成矩阵形式为：,设T为任意二阶张量 它的左梯度gradT定义为：,T的右梯度定义为：,一般地,矢量场的左散度定义为：,原式,右散度表示为：,显然,今后对于矢量场的左散度和右散度不加区别,关于二阶张量场 的左散度定义为：,展开后有：,原式,关于二阶张量场 的右散度定义为：,一般地， ，当T为对称张量的时候，两者相等,原式,展开后有：,左旋度：,右旋度：,设T为任意二阶张量，则它的左旋度定义为：,其中：,右旋度定义为：,其中：,小结：,哈密顿算子,梯度,散度,旋度,展开后
2、有：,原式,2.2 Laplace算子,公式：,2.3 物质导数,若,则：,2.4 积分定理,有向面积：,根据Gauss定理有：,左边,右边,根据Stokes定理有：,左边,右边,2.5 曲线坐标 基矢量 度量张量,设空间中任一点P，其位置可用矢径P表示。在曲线坐标系中，指标可为上标或下标。,在曲线坐标系 中，若雅可比(Jacobi)行列式J不为零，即,则坐标变换具有逆变换，即有,连续介质力学中最常用的正交曲线坐标系，是柱面坐标系和球面坐标系。现叙述如下。,设直角坐标系为 曲线坐标系为则式 的具体形式取为：,其中,由此可见，不是 的线性函数，故 属于曲线坐标系。这种坐标变换的雅可比行列式为,除
3、 外， ，故有逆变换的具体形式如下：,由此可得坐标曲面：,这种坐标系称为柱面坐标系,和坐标曲线：,设直角坐标系为 ，曲线坐标系 则式 的具体形式取为：,其中,由此可见， 不是 的线性函数，故 属于曲线坐标系，这种坐标变换的雅可比行列式为,除 ， ， 外， ，故有逆变换的具体形式如下：,由此可得坐标曲面：,(i) (常数)为中心在原点的球面(当 时，即为原点)； (ii) (常数)为以原点为顶点的圆锥(当 或 时变为直线，当 时为 面)；,(iii) (常数)为通过 轴的平面；,和坐标曲线： (i) 和 的交线( 线)是圆； (ii) 和 的交线(r线)是直线； (iii) 和 的交线( 线)是
4、半圆。 这种坐标系称为球面坐标系。,给定曲线坐标之后，过空间任意一点沿每一族坐标曲线可以得到一个切矢量：,取 为,，则,在斜角坐标系中，设其协变基矢量为,由于 是常数，故有,对于一个矢量a可有两种类型的分量 和 ，设其对应的基矢量为 和 ，则,由 的定义可知，下列混合积等式成立：,这两个量定义为爱丁顿(Eddington)张量并分别记为 和 。由此定义可知,对于矢量 ，则有,令,它们分别称为协变度量张量、逆变度量张量和混合度量张量,考虑到矢量a的任意性,可知：基矢量 与 是正交的，它们称为互逆基矢量,互逆基矢量间具有下列关系：,由于,故知 和 互为逆阵。因为它们均为正定矩阵，故行列式,可以证明
5、这样的等式：,爱丁顿张量可以写成下列形式：,在直角坐标系下， ，故有,在曲线坐标系中，任意张量例如二阶逆变一阶协变张量可表示成下列四种记法：(1)不变性记法 (2)分量记法 (3)并矢记法 (4)基张量记法,2.6 克里斯托弗尔符号,定义：,性质：,由于,根据偏导数的性质,同理可得：,和 的指标可用度量张量升降。,事实上,同样地,事实上，因为在斜角和直角坐标系中基矢量和均为常量，故 和 。,事实上，由于,对指标进行轮换，则有,另外,由于,于是,2.7 协变导数逆变导数,其中：,称为张量 的协变导数,不难证明下列结果,对于矢量a，这是特殊情形。此时，我们可写出,可见，度量张量和爱丁顿张量对于 或
6、 有如常数可以移进或移出于其内或外。,另一方面，我们也可以写出,由于协变导数的指标是张量指标，故可应用逆变度量张量把它的指标升高而得到逆变导数如下：,2.8 不变性微分算子,若T为矢量a，则：,即,考虑到：,若T为矢量a，则有,若f为标量，则有,2.9 内禀导数,设区域内的曲线C定义为：,对于任意张量，例如，对于二阶混合张量 而言，则有,对于度量张量，由于,故度量张量可以移进或移出内禀导数记号之内或外。,若矢量a还和t显示相关，亦即,对于任意张量，例如，对于二阶混合张量 而言，则其物质导数为,对于度量张量，由于g 和g 和t没有显示关系，所以,2.10 非完整系物理标架下的微分算子,几何意义：
7、非完整物理标架下的克里斯托弗尔符号表示 在 轴上的投影，即,由,由此可见 的后两指标具有反称性。,注意到,将指标轮换 ， ， 得,再轮换,可以得到：,显然，在 、 、 互不相等时,总之，不为零的克里斯托弗尔符号只有,设标量函数 ，则它在非完整系物理标架下的梯度 定义为一个矢量,其并矢形式为:,这就是标量函数f的梯度在非完整系物理标架下的表达式,设矢量场 ，则它在非完整系物理标架下的左梯度 定义一个二阶张量,它的并矢形式为：,其中,类似地，我们还可以定义 的右梯度， ，可以证明,设二张量场 ，则它在非完整系物理标架下的左梯度 定义为一个三阶张量,一般情况下,其展开形式为：,其并矢形式为:,这是
8、的分量形式。,设任意矢量场 ，则它的左旋度定义为一个矢量,其并矢形式为,设任意二阶张量场 ，则它的左旋度定义为一个二阶张量,其并矢形式为,这就是 的分量形式,定义：二阶张量 的右旋度,拉普拉斯(Laplace)算子定义为,当拉普拉斯算子作用于标量函数 时，即,当拉普拉斯算子作用于矢量场 时，则,称为双重哈密顿算子,设f为任一标量函数，双重哈密顿算子对f作用，则有：,设 为一个矢量场，双重哈密顿算子对a的点积作用为,设 是关于标性变量(例如时间)位置矢量 的标量值函数，则它的物质导数定义为：,将物质导数写成分量形式，则,对于矢量值函数 ，它的物质导数 定义为：,其并矢形式为：,这就是矢量函数a的物质导数的分量形式。,习 题,一、给出下列张量符号的意义,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,二、Kronecker符号,（1）,（2）,(3),(4),(5),三、置换符号,（1）,（2）,四、求下列矢量表达式的分量,（1）,（2）,（3）,五、证明,七、证明,（1）,（2）,（3）,一、给出下列张量符号的意义,（1）,（2）,（3）,（4）,二、Kronecker符号,（1）,（2）,(3),(4),(5),（5）,三、置换符号,（1）,（2）,（1）,（2）,（3）,四、求下列矢量表达式的分量,五、证明,
