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1、第八章 相似专题实战演练类型一 借助比例端点作平行线1.如图9-1，中，是边上的三等分点，是的中点，交，于，则等于（ ）A.B.C.D.图9-12.如图9-2，在锐角三角形中，为边的中点，为边所在的直线上一点，连接交射线于，已知.问：（1）点此时的位置；（2）求的值图9-23.问题背景已知在中，边上的动点由向运动（与，B不重合），点与点同时出发，由点沿的延长线方向运动（不与重合），连接交于点，点是线段上一点.（1）初步尝试如图9-3（1），若是等边三角形，且点，的运动速度相等。求证：.小五同学发现可以由以下两种思路解决此问题：思路一：过点作，交于点 ，先证，再证，从而证得结论成立；思路二：过点
2、作，交的延长线于点，先证，再证，从而证得结论成立.请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程；（2）类比探究如图9-3（2），若在中，且，的运动速度之比是.求的值；（3）延伸拓展如图9-3（3），若在中，记，且点，运动速度相等，试用含的代数式表示.（直接写出结果，不必写解答过程）（1） （2） （3）图9-3类型二 作垂直4.如图9-4，在轴的上方，直角绕原点按顺时针方向旋转，若的两边分别与函数，的图象交于，两点，则的大小的变化趋势为（ ）A.逐渐变小B.逐渐变大C.时大时小D.保持不变图9-45.如图9-5，矩形中，于，求的面积是_.图9-56.如图9-6，在中，点是上的一点，点是上的一点
3、，沿着直线折叠，使得点恰好落在边上的点.求证：.图9-67.如图9-7（1），在中，点为边的中点，以点为顶点的的两边分别与边，交于点，且与互补.（1）如图9-7（2），若，且，则线段与有何数量关系？请直接写出结论；（2）如图9-7（3），若，那么（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）如图9-7（4），若，探索线段与的数量关系，并证明你的结论.（1） （2） （3） （4）图9-7类型三 借助中位线作平行线8.如图9-8，四边形中，与不平行，分别是，的中点，则的长不可能是（ ）A.3B.2.5C.2D.1.5图9-89.如图9-9，正方形和是以的，为边的正方形
4、，为它们的中心，是的中点，试判断，在数量和位置是有什么关系？并证明你的结论.图9-9类型四 延长线段10.在中，已知，平分交于点，点在的延长线上，且，过作交的延长线于.（1）如图9-10（1），当时，求证：；（2）如图9-10（2），当时，直接写出线段，之间满足的数量关系为；（3）如图9-10（3），当时，请猜想线段，之间满足的数量关系（含），并证明你的结论.（1） （2） （3）图9-1011.如图9-11（1），已知直线，线段在直线上，垂直于交于点，且，是线段上异于两端点的一点，过点的直线分别交，于点，（点，位于点的两侧），满足，连接，.（1）求证：；（2）如图9-11（2），连接，与相交
5、于点.当时，求证：；当时，设的面积为，的面积为，求的值.（1） （2）图9-1112.图9-12，分别是矩形的边，的中点，在边的延长线上取点，交对角线于.证明：平分.图9-12类型五 借助三大变换作辅助线13.如图9-13，在中，分别为的三等分点，为上的中线，分别交，于，.求证：.图9-1314.以平面上一点为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作和，其中.（1）点，分别是，的中点，连接和.如图9-14（1），当点，分别在，的延长线上时，_；如图9-14（2），将图9-14（1）中的绕点沿顺时针方向旋转角，其他条件不变，判断的值是否发生变化，并对你的结论进行证明.（2）如图9-14（3），若，
6、点在线段上，且.点是线段上的一个动点.在将绕点旋转的过程中，线段长度的最小值为_，最大值为_.（1） （2） （3）图9-1415.已知：，都是等边三角形，是与的中点，连接，.（1）如图9-15（1），当与在同一条直线上时，直接写出与的数量关系和位置关系；（2）固定不动，将图1中的绕点顺时针旋转角，如图9-15（2）所示，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，说明理由；（3）固定不动，将图9-15（1）中的绕点旋转角，作于点.设，线段，所围成的图形面积为.当，时，求关于的函数关系式，并写出相应的的取值范围.（1） （2）图9-15思维拓展16.（苏州中考）如图9-16，
7、在平面直角坐标系中，已知点，的坐标分别为，是的中点，过点作轴的垂线，垂足为，动点从点出发，沿向点匀速运动，过点作轴的垂线，垂足为，连接，.当所在直线与所在直线第一次垂直时，点的坐标为_.图9-16拓展.如图9-17，在平面直角坐标系中，已知点，的坐标分别为，是的中点，过点作轴的垂线，垂足为，动点从点出发，沿向点匀速运动，过点作轴的垂线，垂足为，连接，延长与直线交于.则：（1）在运动过程中到直线的距离_（逐渐增大，逐渐减小，先增大后减小，先减小后增大）；（2）若以为圆心，为半径的圆与直线相切，则此时的坐标为_.图9-1717.（广州中考）如图9-18，点为的外接圆上的一动点（点不在上，且不与点，重合），.（1）求证：是该外接圆的直径；（2）连接，求证：；（3）若关于直线的对称图形为，连接，试探究，三者之间满足的等量关系，并证明你的结论.图9-18拓展.如图9-19，点为的外接圆上的一动点（点不在上，且不与点，重合），是该外接圆的直径，.（1）连接，求证：；（2）若关于直线的对称图形为，连接，试探究在取不同值情况下，三者之间满足的关系，并证明你的结论.图9-19
