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1、向量向量的数量积及应用1.平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有，（）。即：=注意：向量的夹角必须同起点！ 规定：2向量数量积的运算律(1)abba； (2)(a)b(ab)a(b)； (3)(ab)cacbc.3.归纳：7、“投影”的概念：作图 定义：叫做向量在方向上的投影8、与三角形“四心”相关的向量问题三角形的内心（内切圆圆心） 三角形的外心（外接圆圆心） 三角形的垂心 三角形的重心 内心性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等外心性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等垂心性质：三角形的垂心与顶点的连线垂直于该顶点的对边.重心
2、性质：（1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离为:（2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。（3）重心坐标：（4）重心向量表达：BACD附：角平分线的性质：如右图：三角形各心的向量表示：1、 O是的重心；2、 O是的垂心；3、 O是的外心(或)；诊断自测1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)两个向量的夹角的范围是.()(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量()(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量()(4)若abac(a0)，则bc.()2.设向量a，b满足|ab|，|ab|，则ab_.3已知向量a(3，2)，b(1，0)，向量a
3、b与a2b垂直，则实数的值为_4.已知a(2，1)，b(，3)，若a与b的夹角为钝角，则的取值范围是_考点1：平面向量的数量积的运算例1.(1) (2018常州调研)已知向量e1，e2，则e1e2_考点2：平面向量夹角与模等问题(高频考点)例2(1)已知向量，则ABC_.(2)已知三个向量a、b、c两两所夹的角都为120，|a|1，|b|2，|c|3，求向量abc与向量a的夹角训练：已知非零向量a、b、c满足abc0，向量a、b的夹角为120，且|b|2|a|，则向量a与c的夹角为_例3 (1)(2017全国卷)已知向量a(2，3)，b(3，m)，且ab，则m_(2)(2018洛阳一模)已知平
4、面向量a，b满足|a|2，|b|1，a与b的夹角为，且(ab)(2ab)，则实数的值为_例3 (3)若向量a(k，3)，b(1，4)，c(2，1)，已知2a3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是_训练2 (1)(2018广东省际名校联考)已知向量a，b满足|a|2|b|2，且(a3b)(ab)，则a，b夹角的余弦值为_(2)(2016全国卷)设向量a(m，1)，b(1，2)，且|ab|2|a|2|b|2，则m_例4(2018莆田三月检测)在直角梯形ABCD中，A90，ADBC，BC2AD，ABD的面积为1，若，BECD，则_训练1 (1)(2018武汉三调)在平行四边形ABCD中，点M，N分别
5、在边BC，CD上，且满足BC3MC，DC4NC，若AB4，AD3，则_训练1 (2)(2017天津卷)在ABC中，A60，AB3，AC2，若2，(R)，且4，则的值为_考点三平面向量的模及其应用例3 (2017全国卷)已知向量a，b的夹角为60，|a|2，|b|1，则|a2b|_训练3 (1)(2018湖北七市联合调考)平面向量a，b，c不共线，且两两所成的角相等，若|a|b|2，|c|1，则|abc|_训练3 (2)已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的动点，则|3|的最小值为_考点四：平面向量与其他知识的综合例5：(2017高考江苏卷)已知向量a(co
6、s x，sin x)，b(3，)，x0，(1)若ab，求x的值；(2)记f(x)ab，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值课后作业：1(2018无锡质检)已知向量a(2，1)，b(5，3)，则ab的值为_2等边三角形ABC的边长为1，a，b，c，那么abbcca_3已知|a|3，|b|4，且a与b不共线，若向量akb与akb垂直，则k_4如图，菱形ABCD的边长为2，BAD60，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点(含边界)，则的最大值为_5已知平面向量a(1，2)，b(4，2)，cmab(mR)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m_.6(2018南通市高三第一次调研测试)在ABC中，
7、若2，则的值为_7(2018南京高三模拟)在凸四边形ABCD中，BD2，且0，()()5，则四边形ABCD的面积为_8(2018台州月考)平面向量a，b满足|a|2，|ab|4，且向量a与向量ab的夹角为，则|b|为_9在ABC中，AB10，AC6，O为BC的垂直平分线上一点，则_10已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为_；的最大值为_11.如图，在OAB中，已知P为线段AB上的一点，xy.(1)如果2，求x，y的值；(2)如果3，|4，|2，且与的夹角为60时，求的值12已知ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m(a，b)，n(sin B，sin A)
8、，p(b2，a2)(1)若mn，求证：ABC为等腰三角形；(2)若mp，边长c2，角C，求ABC的面积1已知a(，2)，b(3，2)，如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是_2(2018江西省师大附中联考)在直角三角形ABC中，ACB90，ACBC2，点P是斜边AB上的一个三等分点，则_.3.如图，在平行四边形ABCD中，已知AB8，AD5，3，2，则的值是_4(2018苏锡常镇四市高三调研)在ABC中，已知AB1，AC2，A60，若点P满足，且1，则实数的值为_5在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a(1，2)，又点A(8，0)，B(n，t)，C(ksin ，t).(1)若a，且|，求向量；(2)若向量与向量a共线，当k4，且tsin 取最大值4时，求.6已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m(sin A，sin B)，n(cos B，cos A)，mnsin 2C.(1)求角C的大小；(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且()18，求c边的长
