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1、角的平分线综合应用教学设计一、教学内容分析本节课是八年级上册第十一章全等三角形中角的平分线的性质学习后对角平分线的概念及其性质的综合应用练习课，主要内容是复习角的平分线的概念及其性质，综合应用角的平分线的概念及其性质、三角形的内角和及外角定理等基础知识进行解题训练，促进学生对角平分线的概念及其性质的理解与掌握，进一步规范学生几何证明的书写步骤。本节课蕴含的数学思想方法主要有：数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。通过本节课的教学，可以进一步发展学生的空间想象能力、猜想与归纳的合情推理与逻辑推理与论证能力。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃軔朧。二、学生情况分析学生在七年级上册学习了角的平分线的概念
2、，对角平分线的概念还是比较熟悉的。通过两条直线平行的判定与性质及三角形全等的判定与性质等内容的学习，学习对平面几何命题的证明的步骤及书写格式有了一定的认识，但推理与证明仍是几何学习的难点，初中生在逻辑推理方面仍不够严谨，往往会出现“跳步”、表述不规范或无法从问题情境中找到各数学对象间的相互联系与解决问题的突破口而无从下手等现象，应及时加以指导、强调与纠正。聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸測樅。三、教学目标分析知识与技能目标：进一步加深对角平分线概念及其性质、三角形的内角和定理、三角形的外角定理的理解，进一步完善知识结构体系，会从“角度”和“距离”两种视角结合问题情境较灵活地运用角平分线的概念及其性质解决
3、一些简单的计算与证明等问题。残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟婭骒東。过程与方法：通过课本例、习题的变式逐步引导学生从“角度”及“距离”两个视角探究三角形的内、外角的平分线的夹角的大小，采用猜证结合、算证结合等方法，引导学生自主学习和合作交流，进一步渗透数学思想和方法。酽锕极額閉镇桧猪訣锥顧荭钯。情感态度价值观：通过实验、猜想、探究，激发学生学习兴趣，进一步端正学习态度，提高数学学习的兴趣与自信心，培养严谨求真的科学思维品质。彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑诒尔肤。四、重、难点分析重点：以“角度”视角为主，以“距离”视角为辅，探究角的平分线的概念及其性质的综合应用；难点：结合题意，分析各数学对象间的联系，找到解题思路并
4、规范完成几何题的证明与计算。五、教学媒体方法手段分析采用导学案引导学生进行课前的预习，提高预习的效率与效果；采用几何画板的实时计算功能进行数学实验与探究，突破认知的难点；采有变式教学，提高课堂教学的容量，提升学生对知识的理解与能力培养。謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔點鉍杂。六、教学过程一、复习回顾：问题一、角的平分线的概念是什么？性质有哪些？问题二、三角形内角和定理的内容是什么？三角形的外角定理的内容是什么？问题三、直角三角形全等的判定的内容是什么？问题四、邻补角的概念是什么？有什么性质？特别强调：AOB的平分线OCOC平分AOB二、新课讲授：问题一：从“距离”入手如图1，在ABC中，ABC的平分线和A
5、CB的平分线相交于点P，连接AP求证：AP是BAC的平分线厦礴恳蹒骈時盡继價骚卺癩龔。证明：证：如图1，过点P分别作AB,BC,AC的垂线，垂足别为D,E，F。因为BP平分ABC所以PE=PD同理，PE=PF所以PD=PF所以AP是BAC的外角的平分线。图2问题二：从“角度”入手如图2，在ABC中，ABC的平分线和ACB的平分线相交于点P.请猜想P与A的等量关系并加以证明茕桢广鳓鯡选块网羈泪镀齐鈞。结论：证法一：证：如右图，因为BP,PC分别是ABC，ACB的平分线所以，又因为，在中，又因为，在中，所以，= =证法二：证：如右图，延长BP交AC于点D，因为BP,PC分别是ABC，ACB的平分线
6、所以，又因为，又因为，所以，= =证法三：证：如右图，连接AP并延长交BC于点D,因为BP,PC分别是ABC，ACB的平分线所以，又因为，又因为，所以，= =证法四：证：如右图，过点P作DEAB分别交BC,AC于点D,E,因为BP,PC分别是ABC，ACB的平分线所以，又因为，,又=,所以= =变式1：把“ACB的平分线”变为“ACB的外角的平分线”，如图2，猜想P与A的等量关系并加以证明变式1的命题变更变式图【2】证法一：证：因为BP,PC分别是ABD，ACD的平分线所以，因为且所以，=证法二：证：记BP与AC的交点为E,因为BP,PC分别是ABD，ACD的平分线所以，又因为，所以=证法三：
7、过点C作CF平分ACB交BP于点F,由问题二易知，,因为CF,PC分别是ACB，ACD的平分线所以，所以，又因为，所以=变式2：如图，在ABC中，ABC的平分线与ACB的外角ACD的平分线交于A1 。图【4】(1) A1BC与A1CD的平分线交于A2，A2BC与A2CD的平分线交于A3，如此继续下去可得A4，An，请写出A6与A的数量关系；请写出An与A的数量关系。变式2的拓展延伸变式鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴縈诘聾。(2) 如图5，若E为边BA上一点（不与点A重合），连EC，AEC与ACE的平分线交于Q。当改变A大小时有下面两个结论：Q+A1的值为定值；Q-A1 的值为定值，其中有且只有一个是正确
8、的。请猜想出该定值的值并写出正确的结论，不必证明。变式1和2的综合变式籟丛妈羥为贍偾蛏练淨槠挞曉。 (3) 如图，若E为BA延长线上一点，（2）中所得的结论是否仍然成立？请说明理由。解答：，；小结：从“角度”的视角，AOB的平分线OCOC平分AOB三、归纳梳理：以上题组中涉及到知识点有哪些？AOB的平分线OCOC平分AOB（从“角度”的视角）（从“距离”的视角）求解方法是否相同?涉及的数学思想方法有哪些？化归与转化思想；分类与整合思想；数形结合思想学好几何的策略1.分解策略：将复杂的图形分解为一些简单图形，逐个击破后再整合解决问题。2.逼近策略：认真审题，分析已知条件，弄明求解目标，不断缩小条
9、件与目标之间的差异，找到解决问题的突破口。預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴買闥龅。3.联想策略：不断挖掘与已知条件相关的信息，分析相互关的联系，从中得到多种解题方向与思路，实现一题多解，发散思维。渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦鋇絨钞。4.优化策略：不断完善解题过程的表述，力求简洁、清晰、规范。四、课后作业：必做习题：(1)如图,在ABC中，ABC和ACB的外角的平分线相交于点P，连接AP,求证：AP是BAC的外角的平分线。铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡缝勵罴。（2）如图，在ABC中，ABC和ACB的外角的平分线相交于点P，请猜想P与A的等量关系并加以证明擁締凤袜备訊顎轮烂蔷報赢无。选做习题：如图，在ABC中，ABC和ACB的外角的平分线相交于点P，过点P分别作于F，于G。若PB=PC,求证：BG=CF。贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷鯛汉鼉。六、板书设计：略
