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1、 第十一章全等三角形综合复习切记:“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。例1. 如图,四点共线,。求证:。例2. 如图,在中,是ABC的平分线,垂足为。求证:。例3. 如图,在中,。为延长线上一点,点在上,连接和。求证:。例4. 如图,/,/,求证:。例5. 如图,分别是外角和的平分线,它们交于点。求证:为的平分线。例6. 如图,是的边上的点,且,是的中线。求证:。例7. 如图,在中,为上任意一点。求证:。同步练习一、选择题:1. 能使两个直角三角形全等的条件是( )A. 两直角边对应相等B. 一锐角对应相等C. 两锐角对应相等D. 斜边相等2. 根据
2、下列条件,能画出唯一的是( )A. ,B. ,C. ,D. ,3. 如图,已知,增加下列条件:;。其中能使的条件有( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个4. 如图,交于点,下列不正确的是( )A. B. C. 不全等于D. 是等腰三角形5. 如图,已知,则等于( )A. B. C. D. 无法确定二、填空题:6. 如图,在中,的平分线交于点,且,则点到的距离等于_;7. 如图,已知,是上的两点,且,若,则_;8. 将一正方形纸片按如图的方式折叠,为折痕,则的大小为_;9. 如图,在等腰中,平分交于,于,若,则的周长等于_;10. 如图,点在同一条直线上,/,/,且,若,则_;三、解答题
3、:11. 如图,为等边三角形,点分别在上,且,与交于点。求的度数。12. 如图,为上一点,交延长线于点。求证:。答案例1. 思路分析:从结论入手,全等条件只有;由两边同时减去得到,又得到一个全等条件。还缺少一个全等条件,可以是,也可以是。由条件,可得,再加上,可以证明,从而得到。解答过程:,在与中(HL),即在与中(SAS)解题后的思考:本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法:一方面从问题或结论入手,看还需要什么条件;另一方面从条件入手,看可以得出什么结论。再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的联系,从而得出解题思路。小结:本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件
4、,而且告诉我们如何去分析一个题目,得出解题思路。例2. 思路分析:直接证明比较困难,我们可以间接证明,即找到,证明且。也可以看成将“转移”到。那么在哪里呢?角的对称性提示我们将延长交于,则构造了FBD,可以通过证明三角形全等来证明2=DFB,可以由三角形外角定理得DFB=1+C。解答过程:延长交于在与中(ASA 又 。解题后的思考:由于角是轴对称图形,所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。例3. 思路分析:可以利用全等三角形来证明这两条线段相等,关键是要找到这两个三角形。以线段为边的绕点顺时针旋转到的位置,而线段正好是的边,故只要证明它们全等即可。解答过程:,为延长线上一点在与中(SAS
5、)。解题后的思考:利用旋转的观点,不但有利于寻找全等三角形,而且有利于找对应边和对应角。小结:利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法,但有时不容易找到需证明的三角形。这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。例4. 思路分析:关于四边形我们知之甚少,通过连接四边形的对角线,可以把原问题转化为全等三角形的问题。解答过程:连接/,/,在与中(ASA)。解题后的思考:连接四边形的对角线,是构造全等三角形的常用方法。例5. 思路分析:要证明“为的平分线”,可以利用点到的距离相等来证明,故应过点向作垂线;另一方面,为了利用已知条件“分别是和的平分线”
6、,也需要作出点到两外角两边的距离。解答过程:过作于,于,于平分,于,于平分,于,于,且于,于为的平分线。解题后的思考:题目已知中有角平分线的条件,或者有要证明角平分线的结论时,常过角平分线上的一点向角的两边作垂线,利用角平分线的性质或判定来解答问题。例6. 思路分析:要证明“”,不妨构造出一条等于的线段,然后证其等于。因此,延长至,使。解答过程:延长至点,使,连接在与中(SAS),又,在与中(SAS)又。解题后的思考:三角形中倍长中线,可以构造全等三角形,继而得出一些线段和角相等,甚至可以证明两条直线平行。例7. 思路分析:欲证,不难想到利用三角形中三边的不等关系来证明。由于结论中是差,故用两
7、边之差小于第三边来证明,从而想到构造线段。而构造可以采用“截长”和“补短”两种方法。解答过程:法一:在上截取,连接在与中(SAS)在中,即ABACPBPC。法二:延长至,使,连接在与中(SAS)在中, 。解题后的思考:当已知或求证中涉及线段的和或差时,一般采用“截长补短”法。具体作法是:在较长的线段上截取一条线段等于一条较短线段,再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段,称为“截长”;或者将一条较短线段延长,使其等于另外的较短线段,然后证明这两条线段之和等于较长线段,称为“补短”。小结:本题组总结了本章中常用辅助线的作法,以后随着学习的深入还要继续总结。我们不光要总结辅助线的作法,还要知道辅助线为什么要这样作,这样作有什么用处。同步练习的答案一、选择题:1. A2. C3. B4. C5. C二、填空题:6. 47. 8. 9. 1010. 6三、解答题:11. 解:为等边三角形,在与中(SAS)。12. 证明:,在与中(AAS)。