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1、两个随机变量的函数的分布,在第二章中，讨论了一维随机变量函数的分布，现在进一步讨论:,先讨论两个随机变量的函数的分布问题，然后将其推广到多个随机变量的情形.,当随机变量X1, X2, ,Xn的联合分布已知时，如何求出它们的函数 Yi=gi(X1, X2, ,Xn), i=1,2,m的联合分布?,两个随机变量的函数的分布,离散型随机变量的函数的分布一般情形求随机变量函数分布的方法和的分布极值分布商的分布,二维离散型随机变量函数的分布律,设二维离散型随机变量（X，Y），(X, Y)P(Xxi, Yyj)pij ，i, j1, 2, 则 Zg(X, Y)PZzk pk , k1, 2, ,例1 设随
2、机变量X与Y独立，且均服从0-1 分布，其分布律均为 X 0 1 P q p (1) 求WXY的分布律;(2) 求Vmax(X, Y)的分布律；(3) 求Umin(X, Y)的分布律。(4)求w与V的联合分布律。,0,1,1,2,0,1,1,1,0,0,0,1,一、离散型分布的情形,若X、Y独立，P(X=k)=ak , k=0,1,2, P(Y=k)=bk , k=0,1,2, ,求Z=X+Y的概率函数.,解:,=a0br+a1br-1+arb0,由独立性,此即离散卷积公式,r=0,1,2, ,解,由卷积公式,i=0,1,2,j=0,1,2,由卷积公式,即Z服从参数为 的泊松分布.,r=0,1
3、，,设X和Y相互独立，XB(n1,p),YB(n2,p),求Z=X+Y 的分布.,同样，Y是在n2次独立重复试验中事件A出现的次数,每次试验中A出现的概率为p.,若X B(n1,p),则X 是在n1次独立重复试验中事件A出现的次数,每次试验中A出现的概率都为p.,故Z=X+Y 是在n1+n2次独立重复试验中事件A出现的次数，每次试验中A出现的概率为p，于是Z是以（n1+n2，p）为参数的二项随机变量，即Z B(n1+n2, p).,一般情形求多维随机变量函数分布的方法,分布函数法 若(X1, X2, , Xn)f (x1, x2, , xn), (x1, x2, , xn)Rn, Y=g(X1
4、, X2, , Xn), 先求Y的分布函数:,然后再求出Y的密度函数:,和的分布已知(X, Y)f(x, y), (x, y)R2, 求ZXY的概率密度,和的分布,若X与Y相互独立，则ZXY的密度函数,称为卷积公式,例 1,例 1（续）,在应用卷积公式时，应特别注意 zx 的取值范围要满足fy 的非零范围。,！,课本例2,习题17,课本例 1,结 论：,第三章 随机变量及其分布,一般地，设随机变量X1, X2，., Xn独立且Xi服从正态分布N(i ,i2),i=1,.,n, 则,思考题：课本例3,商的分布,返回主目录,（1）,（2）,补充结论：,极值分布,当X1,Xn相互独立且具有相同分布函
5、数F(x)时, 常称,M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn),为极值 .,由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的作用和实用价值.,特别，当X1, X2, , Xn独立同分布(分布函数相同)时，则有 FM(z)F(z)n; FN(z)11F(z)n. 若X1, X2, , Xn独立且具相同的密度函数f (x)，则M和N的密度函数分别由以下二式表出 fM(z)nF(z)n1f (z)； fN(z)n1F(z)n1f (z).,例 设系统L由两个相互独立的子系统联接而成，联接的方式分别为(i)串联，(ii)并联，（iii）备用，如图所示设L1,L2的寿命分别为X与Y，已知它们的概率密度分别为,其中0，0,试分别就以上三种联结方式写出L的寿命Z的概率密度,课本习题24,设随机变量X，Y相互独立，且服从同一分布。证明：,作业,习题20（选作）习题21,
