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1、初中数学变式教学艺术及案例 广西师大附属外国语学校黄英俊,一、基本问题理解什么是变式教学？变式教学的精髓是什么？变式教学的关键处,所谓“变式教学”，是指以培养学生灵活转换、独立思考能力为目的，在教学过程中教师精心设计一些不断变更问题情景或改变思维角度，由简到繁，由易到难的数学问题，使事物的非属性属性时隐时现，而事物的本质属性却始终保持不变的教学形式。变式教学的精髓就是由浅入深，多角度思考，分层次推进，使不同层次水平的学生都得到最大的发展。它实际上是教师有目的地通过变式为学生组织了一个引导思维的活动。,变式教学,变式教学的关键处,为什么要变,变什么,怎样变,变到什么程度,问题可以来自课本、来自辅
2、导书上，也可以来自一些经典的中考题和学生的考试题，还可以是从学生已有的数学知识提炼出来的新问题，而且该问题应隐含所学内容的有关概念、判定、性质及应用等一系列知识，它应具目的性、科学性、实用性、趣味性、典型性和可拓展性等特点。,案例分析,案例1：来自课本重要知识,课题：探究反比例函数和 一 次函数的图形面积问题,变式主线: 图形变化,重点:应用反比例函数性质 探究面积问题,探究反比例函数和一次函数与图形面积的关系,如图所示：矩形PAOB的面积是,2,矩形PAOB的面积是_,2,矩形P1COD的面积是_,2,如图所示， 矩形PAOB的面积是多少？,如图所示：POA的面积是, PAO的面积是,1,1
3、,如图所示：三角形POA的面积是多少？,两个基本模型,1. 如图，设矩形PBOA的面积为S1，S1= ,问题探究,2.在X轴正半轴上截取BB1= OB，过点B1作X轴的垂线与反比例函数交于点P 1 ，过 点 P1作PB的垂线，垂足为 A1 ，设矩形P1B1BA1的面积为S2，则 S2 =_,3.在X轴正半轴依次截取B1B2=B2B3=BB1，过点B2 ，B3分别作X轴的垂线与反比例函数图象交于点P 2 ，P3 得矩形P2B2B1A2和矩形P3B3B2A3，设面积为S3，S4，求S3=_，S4=_,Sn= .,1.如图，点P是双曲线上一点，过点P作X轴的垂线，交X轴于点A，若设POA的面积为S1
4、，则S1=_,变式一,2.截取AA1=OA,过点A1作X轴的垂线交双曲 线于点P1，若设P1AA1的面积为S2， 则S2=,3.继续截取A1A2=A2A3=A1A,用类似的方法作直 角三角形P2A2A1,直角三角形P3A3A2,，设其面积 分别为S3,S4,则S3=_.S4=_,变式二,1. 如图，点P是双曲线上的一点，点A在X轴上，PO=PA，设等腰三角形POA的面积为S1，则S1=,1,2. 如图，在X轴正半轴上截取AA1=OA,作等腰三角形P1AA1， P1A=P1A1,设等腰三角形P1AA1的面积为S2，则S2=,3. 如图;继续在X轴正半轴上截取A1A2=AA1=OA,作等腰三角形P
5、2A1A2， P2A1=P2A2,设等腰三角形P2A1A2的面积为S3，则S3=,变式三,正方形 BOAP,B1P1A1A,B2P2A2A1按如图所示的方式放置，设面积分别为 S1,S2,S3 点P,P1,P2和点A,A1,A2分别在直线 和X轴上,(1) 求点P的坐标。,（2）求正方形PBOA的面积。,变式四,1.等腰直角三角形POA按如图所示的方式放置，直角顶点P在直线 上，点A在X轴正半轴上，,(1) 求点P的坐标。,(1) 求点P的坐标。,（2）求POA的面积。,（3）求点P1的坐标。,（4）你能求出P1AA1的面积吗？,2.如图所示，继续作等腰直角P1AA1，点A,A1在X轴上，直角
6、顶点P1在直线上。,3.按上述方法作等腰直角P2A1A2，若点P2的纵坐标为m,则P2A1A2的面积可求吗？,求矩形PAOB的面积,设计思路,问题,变式1,变式2,变式3,变式4,案例2：来自课本习题,对顶三角形,A+B= C+D,问题一：平面上有A、B、C、D、E五处食物，一只蚂蚁想去吃食物，如果它按直线方向走而且爬行的路线为：ABCDEA，你会画出它的图形吗？,求A+B+C+D+E,一题多解,对顶三角形,对顶三角形的应用,问题一:(计算题) 图形变式1：,A+B+C+D+E +F=？,360,图形变式2：,A+B+C+D+E +F +G=？,540,图形变式3：,A+B+C+D+E +F
7、+G +H=？,720,问题二：(证明题)（1）如图，B=30，D=40 ，AE、CE分别平分BAD和BCD，你能求E的大小吗？,（2）你能把它一般化吗？你会证明如下结论吗？E=1/2（B+D）,（3）若B：E： D=3：x：5，求x。,问题三:(作图题) 如图，P是ABC内一点，连结PC、PB，问：点P在哪处时有BPCA？,（1）在射线BD上是否存在一点P，使得BPC=A？,（2）点P在射线BD的哪些位置上，使得BPCA？,（3）点P在射线BD的哪些位置上，使得BPCA？,思考：若把射线BD变成直线BD，情况会怎样呢？,计算题,证明题,作图题,（08广州）如图，在梯形ABCD中，ADBC，A
8、B=AD=DC=2cm，BC=4cm，在等腰PQR中，QPR=120，底边QR=6cm，点B、C、 Q、R在同一直线l上，且C、Q两点重合，如果等腰PQR以1cm/秒的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动，t秒时梯形ABCD与等腰PQR重合部分的面积记为S平方厘米,A,案例3 来自中考题,1）当t=4时，求S的值 2）当 ，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值,图形运动与面积重叠问题,问题 ： 如图 ABC和 DEF是两个形状大小完全相同的等腰直角三角形，且AB4，B=DEF90，点B、C、E、F在直线EF上。现从点C、E重合的位置出发，让 ABC在直线EF上向右做匀速运动， DEF不动，设两个
9、三角形重合部分的面积为y,运动的距离为x，请写出y与x的函数关系式。,P,问题 ： 如图 ABC和 DEF是两个形状大小完全相同的等腰直角三角形，且AB4，B=DEF90，点B、C、E、F在直线EF上。现从点C、E重合的位置出发，让 ABC在直线EF上向右做匀速运动， DEF不动，设两个三角形重合部分的面积为y,运动的距离为x，请写出y与x的函数关系式。,问题 ： 如图 ABC和 DEF是两个形状大小完全相同的等腰直角三角形，且AB4，B=DEF90，点B、C、E、F在直线EF上。现从点C、E重合的位置出发，让 ABC在直线EF上向右做匀速运动， DEF不动，设两个三角形重合部分的面积为y,运
10、动的距离为x，请写出y与x的函数关系式。,P,理解点：,2、运动过程中重叠部分的图形形状,1、理解运动的距离的意义,3、确定分类的情形,变式1 ： 若将“问题”中的两个等腰直角三角形变成边长为4的等边三角形，其他条件不变，你能求出y与x之间的函数关系式吗？,P,变式1 ： 若将“问题”中的两个等腰直角三角形变成边长为4的等边三角形，其他条件不变，你能求出y与x之间的函数关系式吗？,变式1 ： 若将“问题”中的两个等腰直角三角形变成边长为4的等边三角形，其他条件不变，你能求出y与x之间的函数关系式吗？,P,变式2 ： 若将“问题”中的两个等腰直角三角形变成一个正方形和一个直角三角形。已知正方形A
11、BCD的边长为5，RtEFG中， G90FG4，EG3，其他条件不变，你能求出y与x之间的函数关系式吗？,变式2 ： 若将“问题”中的两个等腰直角三角形变成一个正方形和一个直角三角形。已知正方形ABCD的边长为5，RtEFG中， G90FG4，EG3，其他条件不变，你能求出y与x之间的函数关系式吗？,P,变式2 ： 若将“问题”中的两个等腰直角三角形变成一个正方形和一个直角三角形。已知正方形ABCD的边长为5，RtEFG中， G90FG4，EG3，其他条件不变，你能求出y与x之间的函数关系式吗？,变式2 ： 若将“问题”中的两个等腰直角三角形变成一个正方形和一个直角三角形。已知正方形ABCD的
12、边长为5，RtEFG中， G90FG4，EG3，其他条件不变，你能求出y与x之间的函数关系式吗？,P,变式2 ： 若将“问题”中的两个等腰直角三角形变成一个正方形和一个直角三角形。已知正方形ABCD的边长为5，RtEFG中， G90FG4，EG3，其他条件不变，你能求出y与x之间的函数关系式吗？,三角形与三角形 分类 三角形与四边形 三角形与圆 四边形与圆,总结,3、三角形与圆 4、四边形与圆,1、三角形与三角形有： （1）两个直角三角形； （2）两个等腰三角形； （3）一个直角三角形和一个等腰三角形。,2、三角形与四边形有：（1）三角形与正方形；（2）三角形与矩形；（3）三角形与梯形等。,变
13、式3： 如图， 若将“问题”中的两个等腰直角三角形变成一个长宽分别为6和2的矩形与一个底边长为6的等腰直角三角形，其他条件不变，你能求出y与x之间的函数关系式吗？,P,变式3： 如图， 若将“问题”中的两个等腰直角三角形变成一个长宽分别为6和2的矩形与一个腰长为6的等腰直角三角形，其他条件不变，你能求出y与x之间的函数关系式吗？,P,变式3： 如图， 若将“问题”中的两个等腰直角三角形变成一个长宽分别为6和2的矩形与一个腰长为6的等腰直角三角形，其他条件不变，你能求出y与x之间的函数关系式吗？,变式3： 如图， 若将“问题”中的两个等腰直角三角形变成一个长宽分别为6和2的矩形与一个腰长为6的等
14、腰直角三角形，其他条件不变，你能求出y与x之间的函数关系式吗？,变式3： 如图， 若将“问题”中的两个等腰直角三角形变成一个长宽分别为6和2的矩形与一个腰长为6的等腰直角三角形，其他条件不变，你能求出y与x之间的函数关系式吗？,变式3： 如图，若将“问题”中的两个等腰直角三角形变成一个长宽分别为6和2的矩形与一个腰长为6的等腰直角三角形，其他条件不变，你能求出y与x之间的函数关系式吗？,案例4：来自竞赛题,(x2 -5x+4)(x2 -x-2) - 7,分解因式：,基本题:x2-2x-15,变式一(指数变):x4-2x2-15,变式二(字母变): x2-2xy-15y2,因式分解：,变式四(形
15、式变):(x2-3x-4)(x2-3x+2)-7,变式三(项数变):(x2-3x)2-2 (x2-3x)-15,变式五(形式变):(x-4)(x+1)(x-2)(x-1)-7,变式五(形式变):(x2-5x+4)(x2-x-2)-7,改变角度:变式七(求值): 已知:x2+5x=1,求(1+x)(2+x)(3+x)(4+x)+1的值,变式八(不等式):求证:(1+x)(2+x)(3+x)(4+x)+10,变式八(证明): (1+x)(2+x)(3+x)(4+x)+1是一个完全平方式.,变式九(解方程)： (1+x)(2+x)(3+x)(4+x)+1=25,基本题,指数变,字母变,形式变,类型变
16、,项数变,求值,不等式,方程,求证,要根据不同的教学实际和需要,考虑采用哪些变式，比如概念变式，公式变式，引伸变式，作图变式，问题变式，解法变式，情景变式以及图形变式等等，这是变式教学的关键，只有明确了教学的实际，我们才能知道哪些是本质的特征，哪些是非本质特征，从而确定什么可以变，什么不可以变。,二、变式拓展时应注意的几个方面,教学内容实际和需要,问题变化的深度、广度和难度应考虑学生的承受能力和适应能力.，不能跳越太大，要让学生跳一跳就能摘到桃子，遵循从特殊到一般的原则，注意知识的横向和纵向联系，使学生真正达到将知识学活、用活。只有这样，我们才能让学生的思维依据教学目的的要求循序渐进。只有确定
17、好一定的“度”，我们才能做到因材施教,因人施教,才能使好、中、差各类学生都有不同程度的提高。,问题的层次性,在问题设计中要考虑学生的参与度，这是变式教学的设计要求，教师要引导学生大胆的进行思考和猜想,师生共同参与，通过展示数学思维过程，使学生学会主动学习，并从中感受数学知识的形成和创新；把握学生思维脉络，在学生已有的认识基础上，使学生不至于感到生硬和突然，使思维平衡和谐地发展.。,考虑学生的参与度,三、师生同思，培养能力,解题时要深入研究问题的解法、规律及引伸等，注重解题后的问题思考，从中寻求可能隐藏在他们背后的某些规律，形成数学技能和技巧。如探究反比例函数和一次函数的面积问题。,思规律,题目中已知什么条件？要求什么结论？用到 了哪些知识、哪些方法？解题的关键是什么？解完题不妨再回顾一下，然后思考：是否还有别的解法或别的更加灵活、巧妙、简捷的方法？对于同一个问题 ，要从不同的角度去思考、观察、联想，有可能发现多种解法。,思多解,求A+B+C+D+E的度数。,坚持一题多变的训练，可使我们随时根据变化了的情况积极思维，从而防止和消除呆板和僵化，培养思维的灵活性，使教学更富于创造性。,思多变,我们不能为教学而教学，教学完后要多想想该教内容所涉及的有关概念、数学知识、思想方法及其内在联系，进行横向或纵向比较，以求得深化掌握其规律，起到事半功倍的效果。,思联系,谢谢,
