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1、第六章 布朗过程,布朗运动，有时称为维纳过程，是应用概率论中最有用的随机过程之一，以发现它的英国植物学家罗伯特.布朗命名，是悬浮微粒不停地做无规则运动的现象。首次解释是爱因斯坦于1905年给出，他证明，假设浸没的粒子连续不断受到周围介质的分子的冲击，布朗运动即可解释。1918年，维纳给出了布朗运动的简介定义。自它被发现以来以来，有效的应用于一些领域，如拟合优度的统计检验，分析股票市场的价格水平及量子力学。迄今，普遍的观点仍认为，股票市场是随机波动的，随机波动是股票市场最根本的特性，是股票市场的常态。,1 基本概念和性质,对称随机游动：每个单位时间等可能的向左或向右走一个单位步子。加速此过程，在
2、越来越小的时间间隔中走越来越小的步子。若以正确的方式趋于极限，得到的就是布朗运动。,由式（1）和中心极限定理，得到X(t)的一些性质：（1）X(t)是正态的，均值为0，方差为（2）（3）,布朗运动性质：（1）马尔可夫性；（2）标准布朗运动：,显然，条件分布是正态分布，均值和方差为,例3：在有两人比赛的自行车赛中，以Y(t)记当100t的竞赛完成时，从内道出发的竞赛者领先的时间秒数，且假设Y(t)可以有效地用方差参数为 的布朗运动建模。求：（1）如果在赛道的中点，内道竞赛者领先 秒，问他取胜的概率是多少？（2）如果内道竞赛者在竞赛中领先 秒获胜，问他在竞赛中点领先概率是多少？,解：（1）（2）需
3、要计算,（3）布朗运动的联合分布是多元正态的，所以布朗运动是高斯过程。,由于多元正态分布完全由边际均值和协方差决定，布朗运动也完全由其均值和协方差决定。,（几何布朗运动在股票相对于时间的价格的建模中有用，当感觉价格百分比变化是独立同分布时。例如，假设Xn是某个股票在时刻n的价格，那么假设 是独立同分布也许是合理的。,击中时刻,最大值的极限平均值,（六）积分布朗运动,1、显然，遵循普通（漂移）布朗运动的变量X是关于时间和dz的动态过程，其中第一项 为确定项，它意味着X的期望漂移率是每单位时间为 。第二项 是随机项，它表明对X的动态过程添加的影响（噪音）。这种噪音是由标准布朗运动的 倍给出的。2、在任意时间长度T后x值的变化也具有正态分布特征，其均值为 ，标准差为 ，方差为 。3、标准布朗运动的漂移率 为0,方差率为1。,漂移布朗运动（普通布朗运动）,补充： 伊藤(Ito)过程,它的漂移率为,方差率为,Black-Scholes定价公式,期权在时刻T的期望价值为,时间t以固定价格X购买股票的期权定价为,利用ST为几何布朗运动，可计算c的结果为书P498，（10.12）式。称为期权价格公式，依赖于股票初始价格，期权执行时间，期权执行价格，折扣因子和波动率。,Thank You !,
