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1、第5章 常微分方程初值问题的数值解法,微分方程常微分方程一阶常微分方程 定阶条件：初值问题,数值解法： 给定点a=x0 x1xn=b, 将初值问题离散化为差分方程,求出解函数(积分曲线) y(x) 在这些点的近似值y1 ,y2 ,yn 。 所求得的近似值y1 ,y2 ,yn称为微分方程数值解。,第5 章 常微分方程初值问题的数值解法5.1 欧拉法5.2 龙格-库塔法5.3 线性多步法5.4 收敛性与稳定性5.5 微分方程组和高阶微分方程,5.1 欧拉法和改进的欧拉法5.1.1 欧拉公式5.1.2 局部截断误差和阶5.1.3 隐式（后退）欧拉公式和两步欧拉公式5.1.4 梯形公式5.1.5 改进
2、的欧拉法(预报-校正公式),5.1 欧拉法5.1.1 欧拉公式,3 欧拉法数值微分推导 用差商代替导数,设,等距，步长,令x=xn , x+h=xn+1 , y(xn)yn ，y(xn+1 ) yn+1 ,初值问题离散化为,初值问题,(欧拉公式),，,局部截断误差和阶：数值公式的精度 定义 局部截断误差：假设第n步是准确的，即 y(xn )=yn， 将y(xn+1 ) - yn+1定义为数值方法的局部截断误差。 由于实际上yn不是准确值，因此它的误差会传播下去。实际计算时，每一步都可能产生舍入误差。 定义 若局部截断误差为O(hp+1), p为正整数，则称数值公式是p阶公式。,欧拉公式的截断误
3、差是O(h2)，公式是1 阶的。,二阶泰勒公式,两式相减，由设 yn=y(xn ) ，有,欧拉公式的局部截断误差和阶,5.1.3 两步欧拉公式 1 隐式（后退）欧拉公式,2 两步欧拉公式：中点方法,5.1.3 梯形法,对微分方程y=f(x,y) 两边求xn到xn+1 的定积分，有,利用梯形公式计算积分，有,将y(xn ) 、y(xn+1 )分别用yn、yn+1 代替，构造数值公式,1. 公式的构造,5.1.4 改进的欧拉法(预报-校正公式) 欧拉法 ，显式，计算量小，精度低。梯形公式 是隐式公式 ,计算量大，精度高。 实际计算时，将二者综合之，先用欧拉公式计算出yn+1作为初始值,初始值精度不
4、高，取作预报值，代入梯形公式，得到校正值yn+1。写成预报-校正公式,预报-校正公式又常常写成一步嵌套显式形式,或写成平均化形式,预报-校正公式的局部截断误差y(xn+1)- yn+1=O(h3),预报-校正公式的局部截断误差,假设 yi=y(xi), 解函数在x=xi处的泰勒公式为,在改进的欧拉公式中，,设,则有,求出在h=0处的泰勒公式，整理后得,上式h 和h2 项的乘数应为零，于是,因而改进的欧拉法是二阶的。,预报-校正公式的框图,用改进欧拉法解初值问题,其中,，取步长h=0.1，有,=0,用欧拉预报-校正公式求解初值问题,要求步长,，计算,的近似值。,7.2 龙格-库塔（Runge-Kutta)法7.2.1 基本思想7.2.2 二阶龙格-库塔法7.2.3 经典龙格-库塔法,5.2 龙格-库塔（Runge-Kutta)法,5.2.3经典（四阶）龙格-库塔法仿照上述的讨论，可导出四阶经典龙格库塔公式,经典龙格库塔公式每步要四次计算函数值，具有四阶精度，局部截断误差是O(h5) .,四阶经典龙格库塔法的框图,框图,例,
