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1、 沁乐教育 沁心学习 乐在其中2015年秋季九年级数学辅导资料 第二讲函数图像性质及应用 学校： ： 二次函数的图象与基本性质（一）、知识点回顾【知识点一：二次函数的基本性质】yax2yax2kya(xh)2ya(xh)2kyax2bxc开口方向顶点对称轴最值增减性【知识点二：抛物线的图像与a、b、c关系】（1） a决定抛物线的开口方向：a0，开口向 _ ；a0，图像与y轴的交点在_；c=0，图像与y轴的交点在_；c0，图像与y轴的交点在_；（3）a，b决定抛物线对称轴的位置，我们总结简称为：_；（4）b24ac决定抛物线与_交点情况： b24ac【知识点三：二次函数的平移】设，将二次函数向右
2、平移m个单位得到_；向左平移m个单位得到_；向上平移n个单位得到_；向下平移n个单位得到_。简单总结为_，_。（注意：要用以上方法对二次函数图象进行平移，要先化成顶点式再操作）【知识点四：二次函数与一元二次方程的关系】二次函数，当时，即变为一元二次方程，从图象上来说，二次函数的图象与x轴的交点的横坐标x的值就是方程的根。【知识点五：二次函数解析式的求法】（1） 知抛物线三点，可以选用一般式：，把三点代入表达式列三元一次方程组求解；（2） 知抛物线顶点或对称轴、最大（小）值可选用顶点式：；其中抛物线顶点是；（3） 知抛物线与x轴的交点坐标为可选用交点式：，特别：此时抛物线的对称轴为直线（二）、感
3、悟与实践例1： （1）求二次函数yx24x1的顶点坐标和对称轴.（2）已知二次函数y2x28x6，当_时，y随x的增大而增大；当x_时，y有_值是_变式练习1-1：二次函数yx2mx中，当x3时，函数值最大，求其最大值例2：已知二次函数的图象如图1所示，则有： y-1x图1图4x=1（1）a _0,b_0 ,c_0（2）b24ac_0（3）a+b+c_0 图2（4）a-b+c_0 变式练习2-1：已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图2所示，其对称轴x=1，给出下列结果：b24ac；abc0；2a+b=0；a+b+c0；ab+c0，则正确的结论是 （ ） A、B、 C、 D、变式练习2-2
4、：已知二次函数的图像如图3所示，那么一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像大致是（）A B图3 C D例3：（2012）将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为（）Ay=x21By=x2+1Cy=（x1）2Dy=（x+1）变式练习3-1：（2012）将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（）A BC D例4：二次函数的部分图象如图4所示，则关于x的一元二次方程的一个解，另一个解=（）A、1 B、 C、 D、0图4 图6yxBACO变式练习5-1：（）如图6，二次函数（）的图象与轴交于两点，与轴交于点，的面积为（1）求该
5、二次函数的关系式；二次函数的性质的综合应用例1. 已知抛物线（或）（1） 把它配方成的形式；（2） 写出抛物线的开口方向，顶点的坐标、对称轴方程；(3)求函数的最大值和最小值，并求出相应的自变量的值。(4)当-2x1时，求函数y的最值（4） 当1x4时，求函数y的取值围；（6）求出与轴交点N的坐标及与轴的交点P,Q的坐标（点P在点Q的左边）（7）作出函数的大致图像（8当取何值时，函数值y随增大而增大，随值的增大而减小；（9）图像过点A（，）、B（0，）、C（6，）、D（4，）比较，的大小（10）观察图象，当取何值时，；（11）当x取何值时，y2; （12）求PQM的面积。（13）求四边形PQM
6、N的面积例2. 已知抛物线，根据下列条件，求k的值。(1) 抛物线过原点；(2) 顶点在x轴上；(3) 顶点在y轴上；(4) 顶点在y轴左侧；(5) 当x=1时，函数有最小值；(6) 关于直线x=-1对称；(7) 函数y的值恒大于0；(8) 顶点在x轴上方；(9) 抛物线在x轴上截得的线段长为1；8.如图，抛物线与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点， （1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使PBC的面积最大
7、？，若存在，求出点P的坐标及PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.二次函数应用题归类【基本思想】一、转化思想实际问题中的最优化问题转化为求二次函数的最值问题。1、方案设计最优问题：费用最低？利润最大？储量最大？等等。2、面积最优化问题：全面观察几何图形的结构特征，挖掘出相应的在联系，列出包含函数，自变量在的等式，转化为函数解析式，求最值问题。二、建模思想从实际问题中发现、提出、抽象、简化、解决、处理问题的思维过程。1、建立图像模型：自主建立平面直角坐标系，构造二次函数关系式解决实际问题。2、方程模型和不等式模型：根据实际问题中的数量关系，列出方程或不等式转化为二次函数解决问题。3、根据实际问
8、题情境抽象出二次函数模型。三、运动思想图像上的动点问题及几何图形的形状的确定。四、分类讨论的思想二次函数与其他知识的综合题时经常用到。【最值的确定方法】1二次函数在没有围条件下的最值：二次函数的一般式()化成顶点式，如果自变量的取值围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）2二次函数在有围条件下的最值：如果自变量的取值围，如果顶点在自变量的取值围，则当，如果顶点不在围，则需考虑函数在自变量的取值围的增减性2014年中考第23题分类汇总分析一、分段函数型1.【四月调考】某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价
9、每上涨1元，则每个月少卖1件；如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件.设每件商品的售价为x元，每个月的销售量为y件.（1）求与的函数关系式并直接写出自变量的取值围；（2）设每月的销售利润为W，请直接写出与的函数关系式；（3）每件商品的售价定位多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？二、与不等式结合型2.【2009四月调考】某商场将进货价为30元的书包以40元售出，平均每月能售出600个。调查表明：这种书包的售价每上涨1元，其销售量就减少10个。（1）请写出每月售出书包的利润y（元）与每个书包涨价x（元）间的函数关系式；（2）设某月的利润为10000元，此利润是否为
10、该月的最大利润，请说明理由；（3）请分析并回答售价在什么围商家获得的月利润不低于6000元? 3.某商品的进价为每件40元，售价为每件60元时，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件设每件商品的售价为x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）当售价的围是是多少时，使得每件商品的利润率不超过80%且每个月的利润不低于2250元？三、前期投入，亏损、盈利型4.【2011年四月】杰瑞公司成立之初投资1500万元购买新生产线生产新产品，
11、此外，生产每件该产品还需要成本60元。按规定，该产品售价不得低于100元/件且不得超过180元/件，该产品销售量（万件）与产品售价（元）之间的函数关系如图所示。(1)求与之间的函数关系式，并写出的取值围；(2)第一年公司是盈利还是亏损？求出当盈利最大或者亏损最小时的产品售价；(3)在(2)的前提下，即在第一年盈利最大或者亏损最小时，第二年公司重新确定产品售价，能否使两年共盈利达1340万元，若能，求出第二年产品售价；若不能，请说明理由。四、面积有关问题5.【2010年中考】星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成。已知墙长为18米（如图所示）
12、，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米。（1）若平行于墙的一边长为y米，直接写出y与x的函数关系式及其自变量x的取值围；（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；（3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图象，直接写出x的取值围。五、二次函数与建模(高频型)6.2015调考要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根2.25m的水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3m(1)建立适当的平面直角坐标系，使水管顶端的坐标为(0，2.25)，水柱的最高点的坐标为(1，3)，求出此坐标系中抛物形水柱
13、对应的函数关系式（不要求写取值围）；(2)如图；在水池底面上有一些同心圆轨道，每条轨道上安装排水地漏，相邻轨道之间的宽度为0.3 m，最轨道的半径为r m，其上每0.3 m的弧长上安装一个地漏，其它轨道上的地漏个数与最轨道上的个数相同，水柱落地处为最外轨道，其上不安装地漏，求当r为多少时池中安装的地漏的个数最多？六、细节变化、陷阱题 9.中百超市每天购进一种水产品300千克，其进货成本（含运输费）是每千克3元，根据超市规定，这种水产品只能当天销售，并且每千克的售价不能超过10元，一天没有销售完的水产品只能按2元处理给食品深加工公司，而且这种水产品每天的损耗率是10%，根据市场调查这种水产品每天
14、在市场上的销售量y(单位：千克，y0）与每千克的销售价x(元)之间的函数关系如下图所示：（1）求出每天销售量y与每千克销售价x之间的函数关系式；（2）根据题中的分析：每天销售利润w最多是多少元？（3）请你直接回答：当每千克销售价为多少元时，每天的销售利润不低于960元？【巩固练习】A组：1. 二次函数y=x2-2x-6的图象开口方向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ；2、抛物线与x轴的一个交点的坐标为（l,0), 则它与x轴的另一个交点的坐标是_3、二次函数y=2的图像的对称轴是直线_. 4、抛物线y2bx3的对称轴是直线x1，则b的值为_；若抛物线y=形状与它一样，则a=_5抛物线的顶点坐标是（
15、）A（2，3） B（2，3） C（2，3） D（2，3）6二次函数的最小值是（ ） A2 B1 C3 D 7抛物线（是常数）的顶点坐标是（ ）ABCD8、若抛物线+c的图像经过点P(m,m),则此抛物线也经过点（ ）A(-m,n) B(m,-n) C(n,m) D(-n,m)9、二次函数的图象的顶点坐标是（）ABCD10、二次函数的图象上最低点的坐标是A(-1，-2)B(1，-2)C(-1，2)D(1，2)11、若把代数式化为的形式，其中为常数，则=.12、已知、是抛物线上位置不同的两点，且关于抛物线的对称轴对称，则点、的坐标可能是_（写出一对即可）13、函数，当为 时，函数的最大值是 ；14
16、、若二次函数 的最大值为，则常数；B组：1.向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2+bx。若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则再下列哪一个时间的高度是最高的？()A. 第8秒 B. 第10秒 C. 第12秒 D. 第15秒 。2抛物线的对称轴是直线（ ）ABCD3函数取得最大值时，_4、已知二次函数若，则其图象与轴的位置关系是 （ ）A 只有一个交点 B 有两个交点 C 没有交点 D 交点数不确定5.(2010)如图，点A，B的坐标分别为（1, 4）和（4, 4）,抛物线的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为，则
17、点D的横坐标最大值为( ) A3 B1 C5 D8 yxO第5题图第6题图第 第7题图6.如图，两条抛物线、与分别经过点,且平行于轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为_7.(2010株洲）已知二次函数（为常数），当取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”下图分别是当，时二次函数的图象.它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是 .二次函数应用题练习1.九五股份在汉口北投资新建了一商场，黄有商铺30间，据预测，当每间的年租金为10万元时，可全部租出；每间的年租金每增加5000元，少租出商铺一间，该公司要为租出的商铺每年交各种费用1 万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元。（1）当租金为1
18、3万元时，能租出多少间商铺？（2）当每间商铺的年租金定为多少时，该公司的年收益最大？（3）若公司要求收益不低于275万元，则年租金定在什么围？2.一种进价为每件20元的护眼台灯销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系：设经销商每月获得利润为w（元）（1），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？最大利润是多少元？（2）如果经销商想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果经销商想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？3.如图，足球场上守门员在处开出一高球，球从离地
19、面1米的处飞出（在轴上），运动员乙在距点6米的处发现球在自己头的正上方达到最高点，距地面约4米高，球落地后又一次弹起据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式（2）足球第一次落地点距守门员多少米？（取）（3）运动员乙要抢到第二个落点，他应再向前跑多少米？（取）4.有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天如果放养在塘，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去假设放养期蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹1000 kg放养在塘，此时市场价为每千克30元，据测算
20、，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需支出各种费用为400元，且平均每天还有10 kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元(1)设x天后每千克活蟹的市场价为p元，写出p关于x的函数关系式；(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000 kg蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数关系式(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=Q收购总额)？5. 随着绿城近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图12-所示；种植花卉的利润与投资量成二次函
21、数关系，如图12-所示(注：利润与投资量的单位：万元)（1）分别求出利润与关于投资量的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？6. 一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图16所示)，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图17所示)，求抛物线的解析式；（2）求支柱的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？说明你的理由7. 已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积。8.用19米长的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，CD长表示窗框的宽，EF=0.5米(铝合金条的宽度忽略不计)（1）求窗框的透光面积S（平方米）与窗框的宽x（米）之间的函数关系式；（2）如何设计才能使窗框的透光面积最大？最大面积是多少？（3）当窗框的面积不小于10平方米时，试结合函数图象，直接写出x的取值围
