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1、第二章 静电场,2.1 库仑定律与电场强度2.2 静电场的无旋性与电位函数2.3 静电场中的导体与电介质2.4 高斯通量定理2.5 泊松方程和拉普拉斯方程2.6 分界面上的边界条件2.7 导体系统的电容2.8 静电场能量和静电力,2,真空中静电场的高斯通量定理（积分形式）,高斯通量定理,（2-48）,电位移,定义：,（2-56）,特例：,（2-59）,二、电介质中的高斯定理,2-4 高斯通量定理,一、真空中的高斯定理,1、电力线,2、电通量,3、真空中静电场的高斯定理,1、电位移,2、电介质中静电场的高斯定理,4,一、真空中的高斯定理,高斯定理 (Gauss theorem)讨论的是,封闭曲面
2、的电通量与该曲面内包围的电荷之间的关系,高 斯 （Carl Friedrich Gauss) (17771855) 德国数学家和物理学家,5,2)规 定: A 电力线上每一点的切线方向为该点场强方向 B 对电场中任一点，通过垂直于该点场强方向 单位面积上的电力线条数等于该点场强的大小,1、电力线 (电场线，electric field line ）,1)电力线:电力线是用来形象描述场强分布的空间曲线,通过 的电力线条数,6,+,-,7,3)电力线的性质,匀强电场,(1)电力线起始于正电荷(或无穷远处)， 终止于负电荷，不会在没有电荷处中断； (2)两条电力线不会相交； (3)电力线不会形成闭合
3、曲线。 这些都是由静电场的基本性质和场的单值性决定的。,8,2、电通量 (electric flux) e,1) 均匀电场,通过任一曲面的电力线条数,9,2) 非均匀电场、任意曲面,面积元矢量,把曲面分成许多个面积元每一面元处视为匀强电场,10,通过闭合面的电通量,规定：面元dS方向由闭合面内指向面外,0,0,电力线穿入电力线穿出,1) 点电荷的情况,(1) 通过以点电荷为球心, 半径为R的球面的电通量,与 方向相同,3、真空中静电场的高斯定理,12,(2) 点电荷不位于球面的中心,(3) 任意形状封闭曲面,(4) 点电荷位于封闭曲面外,13,2) 点电荷系的情况,根据场强迭加原理,14,3)
4、 电荷连续分布,15,4) 真空中的静电场的高斯定理（Gauss theorem）,真空中静电场的高斯定理（积分形式）,在真空中的静电场内，通过任一闭合曲面的电场强度 的通量 等于这闭合曲面所包围的电荷量的代数和除以0。,16,高斯散度定理,真空中静电场的高斯定理（积分形式）,真空中静电场的高斯定理（微分形式）,微分形式?,17,18,1.电位移 (电通量密度，electric displacement), 定义:,电位移,量纲,单位: C/m2,二、电介质中的高斯定理,19,SI单位：,r 、e ：(纯数), 介质的相对介电常数(相对电容率),其中，, 、 0 ：C2/Nm2, 介质的电极化
5、率,(F/m), 真空中的介电常数(电容率), 介质的介电常数(电容率),20,21, 性质,(4) 各向同性线性介质,介质方程, 注释,一般定义式，恒成立,各向同性线性介质,(1) 是辅助物理量, 才是真实物理量。,(2) 是一个包含了场与介质极化两种性质的量。,(3) 线只由自由电荷决定。,22,如同引进电力线一样，为描述方便，可引进电位移线，并规定：a) 电位移线的切线方向即为 的方向，b) 电位移线的密度（通过与电位移线垂直的单位面积上的电位移线条数）等于该处 的大小。,* 电位移线,23,2、电力线在介质内外不同，因介质中的场强比真空中的小;,1、电力线从正电荷发出，终止于负电荷；,
6、（自由电荷和束缚电荷）,电位移线从自由正电荷发出，终止于自由负电荷。,电位移线在介质内外是一样的。,* 电力线与电位移线,24,在介质的分界面处： 线连续, 线不连续。,Note:,e.g.,25,2. 的高斯定理,通过任意闭曲面的电位移通量等于该曲面所包围的自由电荷的代数和。（与极化电荷无关）,又称“有电介质时的高斯定理”, “电介质中的高斯通量定理”并且对任何电场都成立。,Note:,（积分形式）,（微分形式）,26,2)静电场-有源场,3)源于库仑定律 高于库仑定律,1)闭合面内、外电荷的对 都有贡献,只有闭合面内的电量对电通量有贡献,27,(2) 高斯定理中的 是高斯面上的场强，该场强
7、是由面内、外空间所有电荷共同激发的。通量仅由面内电荷决定。,(1) 电通量只与闭合曲面( 称“高斯面”)包围的电荷有关，与面外电荷无关，与面内电荷分布无关， 为面内电荷的代数和。,28,3、高斯定理的意义,(1) 说明静电场是有源场，源即电荷。,电场线从+q 出发，+q 是源头；,电场线止于 - q ， - q 是尾闾。,高斯定理不仅适用于静电场， 亦适用于运动电荷的电场和随时间变化的电场，是电磁场基本定理之一。,29,静电场的高斯定理,真 空,电介质,（积分形式）,（微分形式）,（积分形式）,（微分形式）,30,1） 球对称（球体，球面）；2） 柱对称（无限长柱体，无限长柱面）；3） 面对称
8、（无限大平板，无限大平面）。,(2) 常见的具有对称性分布的电荷系统：,4、高斯定理的应用 (重点）,对于电荷分布具有某种对称性的情况下，其电场分布也具有对称性， 利用高斯定理求场强 E 比较方便。,分析静电场问题，求静电场的分布。,(1) 特点：,31,(3) 求电场分布的步骤：,1) 分析带电系统的对称性；,2) 选合适的高斯面：使面上场强的大小处处相等(或部分 相等，部分为零），场强的方向与曲面正交或平行。,3) 利用高斯定理求场强。,32,三、高斯定理的应用,电荷的分布具有某种对称性的情况下利用高斯定理求解 较为方便,33,例1 求电量为Q 、半径为R的均匀带电球面的场强分布。,分析:
9、,34,1) 球面外 ( r R ),分析:,35,2)球面内(rR),36,1) 球面外 ( r R ),解:,2) 球面内 ( r R ),37,例2 求：电量为Q 、半径为R 的均匀带电球体的场强及电位。,解：1、求场强。 选择高斯面同心球面,1）球面外(rR),应用高斯通量定理，有,38,2）球面内(rR),39,40,2、求电位。选取无穷远处为电位参考点，即()=0。,rR :,rR :,41,由高斯定理得：,解法2：,42,(1) 球面外: r R,沿半径方向积分，则 P 点的电势为,由于球内外场强分布不同, 积分必须分段进行， 即,(2) 球面内: r R,2、求电位。,43,
10、结论：,均匀带电球面电场的电势,（1）球面外的电势 = 电量集中于球心处的点电荷的电势；,（2）球面内是等势区，球面是等势面 。,44,解:,对称性分析,例3 无限大均匀带电平面的电场 (已知电荷面密度 ),45, 结论：,无限大均匀带电平面的电场是均匀电场 。,垂直带电平面向外；,垂直指向带电平面。,大小：,46,例4 两平行的无限大带电平板内外的场强。,方向如图,47,例2-7 P62,S左,S右,（即教材上的S下）,（即教材上的S上),48,S左,S右,（即教材上的S下）,（即教材上的S上),S左和S右位于导体内：（电极为导体）,49,例5 求无限长均匀带电圆柱面的电场分布。,解: 作圆
11、柱形高斯面,（单位长度圆柱面的带电量为）,（1）柱面外,（2）柱面内,50, 结论：,无限长均匀带电圆柱面的场强,（1）圆柱面外的场强,（2）圆柱面内的场强处处 = 0 。,均匀带电圆柱体：,思考,= 把电量集中于轴线上的无限长均匀带电直线的场强；,51,例6 求无限长均匀带电圆柱体的场强分布，已知R，。,解：作圆柱形高斯面,（2）柱面外,（1）柱面内,52,例7 一半径为 R 的无限长圆柱形带电体，其电荷体密度为 = A r ( r R )，式中 A 为常数，试求圆柱内、外各点场强大小分布。,q = oR(r) 2 r l dr =2lAoRr2dr=2 lAR3/3 高斯定理： EdS =
12、 q/o 2rlE = 2lAR3/3o E =AR3/3or ( r R ),53,当 r R，圆柱体内，如图作高斯面： EdS = 2 r l E q = or(r) 2 r l dr=2 lA or r2dr =2 lAr3/3 高斯定理： EdS = q/o 2 r lE = 2 lAr3/3o E = Ar2 /3o ( r R ),54,例2-8 P63,电容器： 两个带有等值异号电荷的导体组成的系统。,设内导体外柱表面轴向单位长度上带的电荷为：相当于电荷线密度,则外导体外柱表面轴向单位长度上带的电荷为：相当于电荷线密度,55,同理可得：,解：,作圆柱形高斯面,56,内外导体间的电
13、压：,57,空气,58,即：,（本题其余的内容，请参阅教材P63-64。）,59,1、极化强度与电场强度成正比的电介质称为（ ）。 A. 均匀介质B. 各向同性介质 C. 线性介质D. 可极化介质,选择题,2、真空中电极化强度矢量为（ ）。,A.正电荷指向负电荷B. 负电荷指向正电荷C. 坐标原点指向正电荷D. 坐标原点指向负电荷,3、电偶极子的方向是（ ）。,60,4、均匀电场 与半球面S1的底面的法向平行（球半径为r），则通过此半球面的电通量 为（ ）。,A. B.C. D.,61,1、极化强度与电场强度成正比的电介质称为（ C ）。 A. 均匀介质B. 各向同性介质 C. 线性介质D. 可极化介质,选择题,2、真空中电极化强度矢量为（ D ）。,A.正电荷指向负电荷B. 负电荷指向正电荷C. 坐标原点指向正电荷D. 坐标原点指向负电荷,3、电偶极子的方向是（ B ）。,62,4、均匀电场 与半球面S1的底面的法向平行（球半径为r），则通过此半球面的电通量 为（ B ）。,A. B.C. D.,
