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1、高斯定理摘要：高斯定理是电磁学的一条重要定理，它不仅在静电场中有重要的应用，而且也是麦克斯韦电磁场理论中的一个重要方程。本文比较详细的介绍了高斯定理，并提供了数学法、直接证明法等方法证明它，总结出应用高斯定理应注意的几个问题，从中可以发现高斯定理在解决电磁学相关问题时的方便之处。最后把高斯定理推广到万有引力场中去。关键词：高斯定理；应用；万有引力场Gaussian theoremAbstract: Gaussian theorem is an important theorem of electromagnetism. It not only has important application
2、 in electrostatic field, but also is an important equation in Maxwell electromagnetic field theory. This thesis introduces the Gaussian theorem in detail and proves it by using many methods such as the mathematical method and the direct proof method etc.It also introduces the several problems that w
3、e should pay attention to when we apply and use Gaussian theorem. It can be found convenient when we use the Gaussian theorem to solve the problems related to the electromagnetism. The last part of this thesis is to introduce the Gauss Theorem to the Gravitational Field.Key words: Gaussian theorem;
4、Application; Gravitational field目 录1 高斯定理的表述11.1数学上的高斯公式11.2静电场的高斯定理11.3磁场的高斯定理22.1.1静电场的高斯定理22.1.2磁场的高斯定理42.2高斯定理的直接证明52.3高斯定理的另一种证明63 高斯定理的应用84将高斯定理推广到万有引力场中114.1静电场和万有引力场中有关量的类比114.2万有引力场中的引力场强度矢量114.3万有引力场中的高斯定理125 结束语12参考文献14谢辞15引言高斯定理又叫散度定理，高斯定理在物理学研究方面，应用非常广泛，应用高斯定理求曲面积分、静电场、非静电场或磁场非常方便，特别是求电
5、场强度或者磁感应强度。虽然有时候应用高斯定理求解电磁学问题很方便，但是它也存在一些局限性，所以要更好的运用高斯定理解决电磁学问题，我们首先应对高斯定理有一定的了解。1 高斯定理的表述1.1数学上的高斯公式 设空间区域由分片光滑的双侧封闭曲面所围成，若函数在上连续，且有一阶连续函数偏导数，则 11其中的方向为外发向。11式称为高斯公式1。1.2静电场的高斯定理一半径为的球面包围一位于球心的点电荷，在这个球面上，场强的方向处处垂直于球面，且的大小相等,都是。通过这个球面的电通量为 其中是球面积分，等于。从此例中可以看出，通过球面的电通量只与其中的电量有关，与高斯面的半径无关。若将球面变为任意闭合曲
6、面，由电场线的连续性可知，通过该闭合曲面的电通量认为。若闭合曲面内是负电荷，则的方向处处与面元取相反，可计算穿过面的电通量为。若电荷在闭合曲面之外，它的电场线就会穿入又穿出面，通过面的电通量为零2。如果闭合面内有若干个电荷，由场强叠加原理可知，通过面的电通量为 此式表明，在真空中的静电场内，通过任意一闭合曲面的电通量，等于包围在该面内的所有电荷的代数和的分之一，这就是真空中的高斯定理。通常把闭合曲面称为高斯面，对于连续分布的电荷，电荷体密度为，则上式可以表述为1.3磁场的高斯定理 由于磁力线总是闭合曲线，因此任何一条进入一个闭合曲面的磁力线必定会从曲面内部出来，否则这条磁力线就不会闭合了。如果
7、对于一个闭合曲面，定义向外为正法线的指向，则进入曲面的磁通量为负，出来的磁通量为正，那么就可以得到通过一个闭合曲面的总磁通量为零。这个规律类似于电场中的高斯定理，因此也称为高斯定理。用式子表示： 与静电场中的高斯定理相比较，两者有着本质上的区别。在静电场中，由于自然界中存在着独立的电荷，所以电场线有起点和终点，只要闭合面内有净余的正或者负电荷，穿过闭合面的电通量就不等于零，即静电场是有源场；而在磁场中，由于自然界中没有单独的磁极存在，极和极是不能分离的，磁感线都是无头无尾的闭合线，所以通过任何闭合面的磁通量必等于零，即磁场是无源场2。2 高斯定理的证明2.1高斯定理的数学证明2.1.1静电场的
8、高斯定理静电场中高斯定理的证明主要分以下四种情况：(a)点电荷在球面中心，点电荷的电场强度为 球面的电通量为 21(b)点电荷在任意闭曲面外，闭曲面的通量为 22根据高斯公式 23并考虑到在内有连续一阶偏导数，故22式可以用高斯公式计算。将22式代入23式得(c)点电荷在任意闭曲面内在任意闭曲面内以点电荷为球心作一辅助球面，其法向朝内，根据21式可知点电荷在闭曲面的电通量为零，即： 24其中式24中和大小相等，法向相反。(d)点电荷系在闭曲面内外设闭曲面内的点电荷为；闭曲面外的点电荷为根据上述讨论可得 这就是静电场中的高斯定理3。2.1.2磁场的高斯定理磁场中高斯定理的证明主要分以下四种情况：
9、(a)电流元在球面中心由磁通量的定义和毕奥萨法尔定律为了方便，把简写为，则可得电流元的磁感应强度对球面的磁通量为因为，所以(b)电流元在任意闭曲面外电流元的磁感应强度对闭曲面的磁通量为 因为，并设，则代入原式得 根据高斯公式 同理可得 (c)电流元在任意闭曲面内以此类推，在闭曲面内，以电流元为球心作一辅助球面，因为所以 (d)电流元在闭曲面上由上述易知，所有的电流元在闭曲面上的磁通量也为零，即这正是磁场的高斯定理4。2.2高斯定理的直接证明图1如图1所示，电荷量为的带电体中任一点处的电荷密度为,则由电场强度定义知该带电体在空间点产生的电场强度为 25式中为原点位矢，为原点到场点的位矢。将对任意
10、闭合曲面求面积分，即得 26由25式可得由于算符是对的微分算符，与 无关，故 27式中最后一步用到了函数的筛选性，将式27代入式25中得：(1)当电荷包含在闭合曲面内时，则 (2)当电荷的不包含在闭合曲面内时，则由此高斯定理得证。2.3高斯定理的另一种证明图2如图2所示，设有一电量为孤立的正点电荷，现以点电荷所在处为球心，任意为半径作一球面为高斯面，球面上任意点的场强为 方向沿径向离开球心，和球面上该点的法线正方向相同。通过该闭合曲面的电通量为 与半径无关。这一结果根据电通量的定义表明, 电量为的正点荷发出条电场线, 由于电通量与半径无关, 说明电场线是不间断的；若为负电荷, 则表明有条电场线
11、汇集到这个负点电荷上, 同样这些电场线也是不间断的。由于电场线是不间断的, 面外电荷不影响闭合曲面的电通量。现在我们设想这个点电荷不位于球心而位于球面内任意点处,那么据以上分析同样得穿过这个闭合球面的电通量亦为。现在我们进一步设想, 电量为的点电荷不是位于球面内而是位于任意的闭合曲面内, 则同样得到结论, 通过这个闭合曲面的电通量。若一闭合曲面内包含个点电荷, 其中个是正的, 个是负的。设个正点电荷所带的总电量为, 则这个点电荷发出条不间断的电场线；个负点电荷所带的总量为， 则这个负点电荷汇集条不间断的电场线，据电通量的定义,发出的即穿出闭合曲面为正, 汇集的即进人闭合曲面的为负, 所以通过闭
12、合曲面的电通量为 即 这里有可能出现面内一些正电荷发出的电场线没有穿出闭合曲面而直接汇集到负电荷上，也就是说，负电荷汇集的电场线不是由闭合曲面外来的，而是由闭合曲面内来的，这并不影响我们的结论。因此就一般情况而言，若任一闭合曲面内包围的净余电荷为，则穿过这个闭合曲面的电通量为 由此，高斯定理得证5。3 高斯定理的应用高斯定理的一个重要应用，是用来计算带电体周围电场的电场强度。虽然高斯定理的适用范围很广，但用它求带电体的电场分布时有很大的局限性，只对那些电荷分布高度对称的带电体，才能使用高斯定理求场强。在选择高斯面时，应注意：场强是面积元处的，随的不同，也不同；场强是全部带电体系中（无论在高斯面
13、内还是在高斯面外）所有电荷产生的总场强，而只是对高斯面内的电荷求和，这是因为高斯面外的电荷对总通量没有贡献，但不是对场强没有贡献；高斯面内所包围的电荷等于零时，不一定等于零，只说明通过高斯面的电通量等于零；高斯定理虽由库仑定律引申而来，但它的适用范围广，而不论对静止电荷还是运动电荷都适用，但应用时，必须在电场具有某种对称性时（球、轴、面对称），才有可能；在应用高斯定理时，除应注意到场强具有对称性外，对高斯面的选取还应注意到：所选高斯面应平行电场线或垂直电场线；当高斯面法向与电场线平行时，高斯面上的场强的大小应处处相等，这样可提出积分号外，积分被简化为对面元的取和。利用高斯定理求场强的一般步骤：
14、（1）进行对称性分析，即由电荷分布的对称性，分析电场分布的对称性，判断能否用高斯定理来求电场强度的分布（常见的对称性有球对称性、轴对称性、面对称性等），这是解题的关键，也是解题的难点；（2）根据场强分布的特点，作适当的高斯面，要求：待求场强的场点应在此高斯面上，穿过该高斯面的电通量容易计算；一般地，高斯面各面元的法线矢量与平行或垂直，与平行时，的大小要求处处相等，使得能提到积分号外面；（3）计算电通量和高斯面内所包围的电荷的代数和，最后由高斯定理求出场强。应该指出，在某些情况下（对称），应用高斯定理是比较简单的，但一般情况下，以点电荷场强公式和叠加原理以相互补充，还有其它的方法，应根据具体情况
15、选用。利用高斯定理，可简捷地求得具有对称性的带电体场源（如球型、圆柱形、无限长和无限大平板型等）的空间场强分布。计算的关键在于选取合适的闭合曲面高斯面。高斯定理的应用举例例一：求无限长均匀带电直线的电场分布，已知线上线电荷密度为。图3解法一：（利用库仑定律求解） 如图3所示，我们选择电荷元为长度上所带电量，即，在点产生的元场强的大小 为计算该积分，首先必须统一积分变量。为便于计算，将变量 和统一用表达。由图3可知，由又可以得，代入及后，可得 对于每一个正 轴上的长度，一定存在另一个对称的负轴上的，这两个长度上的电荷元在点产生的场强分量相互抵消，因此求总场强时我们只需对积分。注意，积分限为和，则
16、有待添加的隐藏文字内容2图4解法二：（利用高斯定理求解） 带电直线的电场分布具有轴对称性，考虑离直线距离为的一点处的场强（如图4所示）。由于空间各向同性而带电直线为无限长，且均匀带电，所以电场分布具有轴对称性，因而点的电场方向唯一的可能是垂直于带电直线而沿径向，并且和点在同一圆柱面（以带电直线为轴）上的各点的场强大小也都相等，而且方向都沿径向。作一个通过点，以带电直线为轴，高为的圆筒形封闭面为高斯面，通过面的电通量为 在面的上、下底面（和）上，场强方向与底面平行，因此，上式等号右侧后面两项等于零。而在侧面（）上各点的方向与各该点的法线方向相同，所以有 此封闭面内包围的电荷 由高斯定理得 由此得
17、 由上所述，解法一与解法二的结果相同，由解法一和解法二比较可知，当条件允许时，利用高斯定理计算场强分布要简便得多。4将高斯定理推广到万有引力场中4.1静电场和万有引力场中有关量的类比静电学中的库仑定律： 41牛顿万有引力定律： 42 以上41、42两式在数学形式上完全等同。比较两式可得如下结论：电学中相当于力学中的，为了记忆的方便，我们记为（下同）于是有 43 上式中电学中电荷相当于力学中的质量，于是有 444.2万有引力场中的引力场强度矢量 静电场中点电荷在电场中受到的电场力为 45 经典力学中质点在引力场中受到的重力为 46和电场强度类似，在万有引力场中定义一个引力场强度矢量（以下简称引力
18、场强），则 47 且规定：试探质点在引力场中某点受到的力与其质量之比定义为引力场中该点的引力场强 48如果已知引力场中某点的引力场强，则质点在该处受到的引力可由下式给出 494.3万有引力场中的高斯定理一般说来，引力场中的某点的是该点位置的矢量函数，对于多个质点产生的引力场，引力场强满足叠加原理。有了万有引力场强的定义后，就可以仿照电通量的概念，在引力场中定义引力场强通量。对某面积微元的引力场强通量：。其中是引力场强与面积微元的夹角，因此，对某面的总引力场强通量为 410 有了引力场强通量的概念，就可以讨论穿过闭合曲面引力场强通量的问题。仿照电场中高斯定理的证明过程可以证明引力场中的高斯定理。
19、由43、44、47式，并考虑到闭合曲面面积微元的法线正方向定义后，不难得到穿过某闭合曲面的引力场强通量应满足 411上式称为万有引力场中的高斯定理，与静电场中的高斯定理具有相似的形式。根据散度的定义，我们可以将411式写成相应的微分形式 412此式说明万有引力场是一种有源场，它的源可认为就是质量分布6。5 结束语根据上述分析可知，对于电电磁学中重要的基本定理之一的高斯定理，我们可以运用数学法、直接法等方法来证明，在电磁学中，当条件允许时，利用高斯定理可以很方便的解决相关的问题。参考文献1 高等数学第二册（第三版）M.北京：高等教育出版社，1996年第3版：2342352 张丹海、宏小达.简明大学物理（第二版）M.北京：科学出版社，2008年第2版：173176 1962003 籍延坤.大连铁道学院学报J.2004年9月第25卷第3期：13-154 梁灿彬、秦光戎等.电磁学（第二版）M.北京：高等教育出版社，2004年第二版：1424 1821855 郭慧成.吉林师范大学学报（自然科学版）J.2006年5月第2期：1036 陈国云.骆成洪等.南昌大学学报J.2008年12月第30卷第4期：354358
