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1、第二十一章 重积分,1 二重积分的概念,2 直角坐标系下二重积分的计算,3 格林公式曲线积分与路线的无关性,4 二重积分的变量变换,5 三重积分,6 重积分的应用,1 二重积分的概念,一、 平面图形的面积,二、 二重积分的定义及其存在性,三、二重积分的性质,一 平面图形的面积,1.内、外面积（约当，黎曼外内测度）的概念,（2）,(3),于是由（3）可得,使得（2）式成立但,所以,定理212 平面有界图形P可求面积的充要条件是：P的边界K的面积为零,证 由定理211，P可求面积的充要条件是：,由于,还可证明得到：,特点：平顶.,柱体体积=？,特点：曲顶.,曲顶柱体,曲顶柱体的体积,二 二重积分的
2、定义及其存在性,播放,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,解：,对区域D进行网状分割（如图）,曲顶柱体的体积,一曲顶柱体其顶为曲面 底面为平面区域 D,求此曲顶柱体的体积。,曲顶柱体的体积,3）求和：所有小区域对应小曲顶柱体体 积之和为,4）取极限：,2）近似：,则每个小曲顶柱体的体积近似为：,其中,2 平面薄片的质量,2）取点,3）作和,4）取极限,3.二重积分的概念,积分区域,积分和,被积函数,积分变量,被积表达式,面积元素,3 ） 二重积分的几何意义：,（其中xoy面上方柱体的体积取正， xoy面下方柱体的体积取负）。,例：用定义计算二重积分,解：用直线网,
3、分割该正方形 , 在每个正方形上取其右上顶点为介点 .,4. 可积条件 :,可积的必要条件：,上和与下和：,令,=,定理216 有界闭区域D上的连续函数必可积,又记,性质,当 为常数时，,性质,（二重积分与定积分有类似的性质）,三、二重积分的性质,性质,对区域具有可加性,性质,若 为D的面积，,性质,若在D上,特殊地,则有,解：在区域 D内，显然有,故在D内,解：,BC的方程 x+y=2,D内,所以,证明：,因为,由性质5,所以,例2,解：,在D内的最大值为4，最小值为1,区域D的面积为2,所以由性质6得,性质7(中值定理),D连续，,之面积,则在D上至少存在一,使得：,证明：由性质6得，,点
4、,在闭区域,根据据闭区域上连续函数的介值定理，在D上至少存在一点,即,解,解,解,二重积分的定义,二重积分的性质,二重积分的几何意义,（曲顶柱体的体积）,（和式的极限）,四、小结,思考题,将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.,定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数,思考题解答,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动
5、画演示,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,2 直角坐标系下 二重积分的计算,复习：曲顶柱体的体积,求以曲面 为顶，底面为矩形 的曲顶柱体的体积。,求曲顶柱体体积步骤如下：, 分割：将矩形 任意分为 n 块可求面积的小块,其面积仍记为 。相应地将曲顶柱体分割成 n 个小曲顶柱体，分别记为, 近似代替：在每一小块上任意取一点 则小曲顶柱体的体积 可用直柱体的体积近似代替，
6、即, 求和：把 n 个小曲顶柱体的体积相加，便得到所求曲顶柱体体积的近似值,取极限，如果该极限存在，那末此极限值就定义为曲顶柱体的体积。这个和式的极限正好就是上一章引进的二重积分，故所求曲顶柱体的体积，等于相应的二重积分的值：, 取极限：记 在和式中令,由于此曲顶柱体的底面是一矩形，所以此曲顶柱体的体积还可以用另一种方法来计算。,先复习定积分应用中的一个结果：设空间立体位于平面 与平面 之间，用与 轴垂直的平面截立体，截得截面的截面面积为 ，则此立体的体积为,化二重积分为二次积分,作与 轴垂直的平面，设截得曲顶柱体截面的面积为,立体位于平面与平面 之间，,则曲顶柱体体积为,而 就是平面 上，
7、由曲线 与直线 所围成的曲边梯形的面积，所以,从而,因此,类似地，也可以用与 轴垂直的平面来截曲顶柱体，同样可得,从上面的分析，可以得到下列结果：,定理21.8 设 在矩形 上可积，含参变量积分 存在，则,设 在矩形 上可积，含参变量积分 存在，则,类似地可以给出先对 后对 积分的结果：,设 在矩形 上连续，则,我们经常使用的是连续函数，对连续函数有下列结果：,定理21.9,前面讨论了矩形区域上的二重积分的计算方法，下面考虑一般区域上二重积分的计算。,根据积分区域的特点，分三种情况讨论。,这种区域的特点是：与 轴垂直的直线与区域的边界至多有两个交点，或者有部分边界是平行于 y 轴的直线段。,这
8、时二重积分可化为先对 后对 的二次积分。,第一种情形：积分区域 D 由两条曲线及两条直线围成，即,作包含此积分区域的矩形,令,于是,第二种情形：积分区域 D 由曲线及直线围成，即,这时二重积分可化为先对 后对 的二次积分。,这种区域的特点是：与 轴垂直的直线与区域的边界至多有两个交点，或者有部分边界是平行于 x 轴的直线段。,第三种情形：一般情形，这时可用平行于 轴与平行于 轴的直线将积分区域分成上述两种情形求解。,X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,若区域如图，,在分割后的三个区
9、域上分别使用积分公式,则必须分割.,解,积分区域如图,解,积分区域如图,解,原式,解,解,解,解,曲面围成的立体如图.,例8 求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体积V.,解 设这两个直交圆柱面的方程为：,由图形的对称性,=8,=8,=8,=,二重积分在直角坐标下的计算公式,（在积分中要正确选择积分次序）,小结,Y型,X型,思考题,思考题解答,3 格林(Green)公式曲线积分与路径无关的条件,一、区域连通性的分类,二、格林公式,三、简单应用,四、曲线积分与路径无关的定义,一、区域连通性的分类,设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连
10、通区域.,复连通区域,单连通区域,设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域;,如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.,一维单连通二维单连通,一维单连通二维不连通,一维不连通二维单连通,二、格林公式,定理1,边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.,证明(1),同理可证,证明(2),两式相加得,G,F,证明(3),由(2)知,L,1. 简化曲线积分,三、简单应用,2. 简化二重积分,解,(注意格林公式的条件),3. 计算平面面积,解,其中L是曲线|x|+|y|=1围成的区域D的正向边界。,格林
11、公式的应用,（格林公式）,从,证明了：,练习1,计算积分,解,练习2,求星形线,所界图形的面积。,解,D,L,1,1,-1,-1,重要意义：,1.它建立了二重积分与曲线积分的一种等式关系,2.它揭示了函数在区域内部与边界之间的内在联系,4.它的应用范围可以突破右手系的限制，使它的应用,3.从它出发，可以导出数学物理中的许多重要公式,更加广泛，而这只需要改变边界的正向定义即可。,四、曲线积分与路径无关的定义,如果对于区域 G 内任意指定的两点 A、B 以及 G 内从点 A 到点 B 的任意两条曲线 L1，L2 有,=,=,=0,所以,=,=,=,于是，在 内,应用格林公式，有,与路径无关.,L,
12、与路径无关,解,因此，积分与路径无关。,则 P，Q 在全平面上有连续的一阶偏导数，且,全平面是单连通域。,取一简单路径：L1 + L2.,解,因此，积分与路径无关。,则 P，Q 在全平面上有连续的一阶偏导数，且,全平面是单连通域。,取一简单路径：L1 + L2.,解,例7 验证：在 xoy 面内，,是某个函数,u (x, y) 的全微分，并求出一个这样的函数。,这里,且,在整个 xoy 面内恒成立。,即，,因此，在 xoy 面内，,是某个函数,u (x, y) 的全微分。,解,1.连通区域的概念;,2.二重积分与曲线积分的关系,3. 格林公式的应用.,格林公式;,五、小结,与 路 径 无 关
13、的 四 个 等 价 命 题,条件,等价命题,作业：P231: 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7.,若区域 如图为复连通域，试描述格林公式中曲线积分中L的方向。,思考题,思考题解答,由两部分组成,外边界：,内边界：,4 重积分的变量变换,一、 二重积分的变量变换公式,二、利用极坐标系计算二重积分,一 二重积分的变量变换公式,则区域的面积,=,=,（6）,=,（7）,=,=,令,=,因此,=,于是,=,=,=,0，,则,=,例1,解,=,作变换,=,=,=,=,=,例3,解,二、利用极坐标系计算二重积分,面积元素,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,区域特征如图,二重积分化为二次
14、积分的公式（）,区域特征如图,极坐标系下区域的面积,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,例4 将,化为在极坐标系下的二次积分。,（1）,解,在极坐标系中，闭区域,D 可表示为,（2）,在极坐标系中，闭区域,D 可表示为,（2）,在极坐标系中，闭区域,D 可表示为,（3）,在极坐标系中，闭区域,D 可表示为,（3）,在极坐标系中，闭区域,D 可表示为,（4）,在极坐标系中，闭区域,D 可表示为,（4）,在极坐标系中，闭区域,D 可表示为,解,例6,解,例8、求球体,被圆柱面,所截得的（含在圆柱面内部的）立体的体积.,解：由对称性,体积,在极坐标系下,故,解,例10 求椭球体,的体积.,解,应用广义极坐标变换,时得到球的体积,当,=8,=8,=,解,解,解,解,解,二重积分在极坐标下的计算公式,三、小结,（在积分中注意使用对称性）,思考题,思考题解答,
