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1、五线性系统的频域分析法5-1 引言第三章，时域分析，分析系统零、极点与系统时域指标的关系；典型二阶系统极点或和与时域指标、和、及稳态误差等的关系，及高阶系统的近似指标计算；第四章，根轨迹分析，研究系统某一个参数变化对系统闭环极点的影响；本章讨论系统零、极点对系统频率域指标的关系，频域指标又分开环频域指标和闭环频域指标，它们都是在频域上评价系统性能的参数。频域分析是控制理论的一个重要分析方法。5-2 频率特性1 频率特性的基本概念理论依据定理：设线性定常系统的输入信号是正弦信号，在过度过程结束后，系统的稳态输出是与输入同频率的正弦信号，其幅值和相角都是频率的函数，即为。证明：为书写简便，不妨设无
2、重极点，显然所有极点均具有负实部。；即 ；记，则，。在过度过程结束后，有。 证毕。幅频特性：，输出信号与输入信号幅度的比值。描述幅度增益与频率的关系；相频特性：，输出信号的相角与输入信号相角的差值。描述相移角与频率的关系；频率特性：，幅频特性和相频特性的统称。传递函数频率特性。2 频率特性的几何表示法(图形表示方法)图形表示的优点是，直观，易于了解整体情况。a) 幅相频率特性曲线幅相频率特性曲线简称为幅相曲线或极坐标图、Nyquist曲线等。横轴为实轴，纵轴为虚轴，当频率从零变到无穷大时，点在复平面上留下频率曲线。曲线上的箭头表示频率增大的方向；例典型一阶系统，；。参见图5-5(P174)幅相
3、频率特性曲线的缺点：不易观察频率与幅值和相角的对应关系。b) 对数频率特性曲线对数频率特性曲线又称伯德图。伯德图将幅频特性和相频特性分别绘制在上下对应的两幅图中；横轴为频率轴，单位是弧度，对数刻度；幅频特性的纵轴为对数幅度增益轴，单位是分贝，均匀刻度；相频特性的纵坐标为相移轴，单位是度(也可以用弧度)，均匀刻度。例典型一阶系统。参见图5-7(P175)c) 对数幅相曲线(略)对数幅相曲线又称尼科尔斯图。将对数幅频特性和相频特性绘制在同一幅图中，纵轴为对数幅度增益轴，单位是分贝，均匀刻度；横轴为相移轴，单位是度，均匀刻度。5-3 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线绘制反馈控制系统的开环传递
4、函数通常易于分解成若干典型环节串联，了解典型环节的频率特性，有助于掌握系统的开环频率特性。1 典型环节：最小相位环节，幅值相同滞后相角最小的环节；1.1 比例环节；1.2 积分环节； 1.3 惯性环节 ；1.4 振荡环节 ；1.5 一阶微分环节 ；1.6 二阶微分环节 ；1.7 微分环节非最小相位环节，环节的零点或极点在S平面的右半部。1.8 ；1.9 ；1.10 ；1.11 ；1.12 ；2 典型环节的频率特性及幅相曲线：，；2.1 放大环节和对应的非最小相位环节；，；2.2 积分环节和微分环节；，；和，；2.3 惯性环节和对应的非最小相位环节；，；，；概略作图：01/T01/T|G(j)|
5、10.7070|GF(j)|10.7070G(j)0 o-45 o-90oG(j)-180 o-135 o-90o1/T100j100j1/T2.4 振荡环节和对应的非最小相位环节；，；振荡环节的幅值可能会大于1，由，计算得， ，；将谐振频率代入幅值计算式，(相对)谐振峰值。振荡环节的幅相曲线形状随阻尼比而改变。01/T01/T|G(j)|11/(2)0|GF(j)|11/(2)0G(j)0 o-90 o-180oG(j)-360 o-270 o-180o2.5 一阶微分环节和对应的非最小相位环节；，；01/T01/T|G(j)|11.414|GF(j)|11.414G(j)0 o45 o90
6、oG(j)-180 o-225 o-270o2.6 二阶微分环节和对应的非最小相位环节；，；01/T01/T|G(j)|12|GF(j)|12G(j)0 o90 o180oG(j)0 o-90 o-180o3 开环幅相曲线绘制：开环传递函数是若干典型环节串联而成，开环幅频特性的幅值是典型环节幅值的乘积，开环相频特性的相移角是典型环节相角之和。绘制开环幅相曲线时，无法利用已知的典型环节的幅相曲线(曲线相乘和相加)。幅相曲线是为分析系统而作，不作计算用；一般只需概略绘制，但是，关键部位要准确：起点；()；与负实轴的交点位置；终点。例5-1 ，；：，；：，；从K单调递减到0，从0o单调递减到-180
7、o；与负实轴无交点。参见P183，图5-18。例5-2 ，；：，；：，；从单调递减到0，从-90o单调递减到-270o；与负实轴有交点(为实数)，交点处，交点为。参见P184，图5-19。例5-3 ，；：，；：，；从变化到0，从-90o变化到-180o；与负实轴可能有交点(为实数)，令的分子和分母同乘，然后分母虚部为零，在，幅相曲线与实轴有交点，交点处，。例5-4 ，；，：，；：，；从1单调递增到/T，从0o先增大到极值再减小到0o；与负实轴无交点。例5-5 ，；，：，；：，；从1单调递减到/T，从0o先减小到极值再增大到0o；与负实轴无交点。关于开环幅相曲线的小结： ；起点：；终点：，；与负
8、实轴的交点：时，与负实轴无交点；K值变化仅改变幅相曲线的幅值和与负实轴交点的位置，不改变幅相曲线的形状；开环传递函数其它参数的变化改变幅相曲线的形状和与负实轴的交点位置。4 开环对数频率特性曲线：绘制开环幅相曲线很难利用已知的典型环节的幅相曲线，绘制对数开环频率特性曲线能够方便的利用已知的典型环节的对数频率特性曲线。典型环节的对数频率特性曲线比例环节；积分环节；惯性环节；振荡环节；一阶微分环节；二阶微分环节；渐近幅频特性曲线(对数幅频渐近特性曲线)：相频特性：转折(交接)频率：20logK0.1 1 10 dB0o200.1 1 10 dB-90o-20-20/dec0o0.1 1 10 dB
9、-90o-20-20/dec-45o-3dB0o0.1 1 10 dB90o2020/dec45o+3dB0o0.1 1 10 dB-180o-40-40/dec-90o-20log20o0.1 1 10 dB180o4040/dec90o20log2对数开环频率特性曲线绘制步骤：(1) 将开环传递函数各典型环节从左向右按转折频率从小到大排列；(2) 将转折频率在对数频率特性图中以虚线标出；(3) 从最左侧开始绘制，在转折频率处按环节特性改变直线斜率；例5-6 已知反馈系统的开环传递函数为，试绘制系统的伯德图。解：(1)开环传递函数在频域的标准形式(2) 转折频率：；，；-20dB/dec0d
10、B/dec-20dB/dec-60dB/dec-45o-90o-135o-180o-225o-270o40 2 5 10(3)-20dB/dec；0dB/dec；-20dB/dec；-60dB/dec。(decade)c， ，。注：因最小相位系统的相频特性唯一确定，一般仅绘制其渐近幅频特性，不必绘制相频特性；并据该特性粗略分析系统性能。剪切频率：，定义。对数幅频特性曲线与频率轴的交点频率，本例，；近似计算，渐近幅频特性曲线与频率轴的交点频率，本例，据解析几何知识有 。；,；5 延迟环节和延迟系统(纯)延迟环节是非最小相位环节。；该环节的相位滞后角随频率线性增加，在开环系统频率特性中仅改变相移角
11、，在幅相图中改变与负实轴的交点；在对数频率特性中，不改变幅频特性，只影响相频特性。6 传递函数的频域实验确定(略)(1) 频率响应实验(2) 实验数据处理，渐近幅频特性例5-7 见P191的图5-27，确定传递函数结构，；参数确定，的20dB直线过点，得；由 ；得；由 ；得；由 ； 传递函数为 。5-4 频率域稳定判据1 Nyquist 稳定判据的数学基础(1) 幅角原理(保角原理)设是复变量S的单值有理函数， 是S平面上的一条不经过的极点和零点的闭合曲线。S平面上的点s沿曲线顺时针运动一周，它(曲线)在平面上的象轨迹是一条闭合曲线F，曲线F包围平面原点的圈数为，式中 P是曲线包围的极点个数；
12、Z是曲线包围的零点个数；R0表示曲线F逆时针包围原点R次，R0表示曲线F顺时针包围原点R次，R=0表示曲线F不包围原点；简要说明：S平面上的点s在平面上的象为，现主要关注相角变化情况，。在s沿曲线顺时针运动一周，的值因的位置不同而不同；若被曲线包围值为，否则值为0。则有，因逆时针一周为，所以得。图解例。(2) 复变函数的选取已知开环传递函数的闭环系统的特征多项式为，另一种形式为，要求闭环系统稳定，则闭环极点，即的零点必须都在S平面的左半部；的极点也就是开环的极点未作限制，对闭环系统稳定性有影响。(3) S平面闭合曲线的选取在S平面上选取的闭合曲线为：包围整个S平面右半部的闭合曲线；若在原点处有
13、开环极点，闭合曲线以无穷小半径的右半圆弧绕过原点，对应的象是半径无穷大的圆弧，弧度为，为在原点处的极点个数； 若在虚轴上有共轭极点，同样以无穷小半径的右半圆弧绕过极点。因为的零点都在S平面的左半部，所选取的闭合曲线只包围在S平面右半部的极点，也就是在S平面右半部的P开环极点(4) 绘制开环传递函数的闭合曲线G由于所选取的闭合曲线在S平面上关于实轴对称，则闭合曲线G在平面上也关于实轴对称。通常，只需绘制的半条F曲线。(即幅相曲线，Nyquist曲线。)(5) 闭合曲线G包围原点的圈数计算考虑到，在平面上的闭合曲线G与平面的闭合曲线F形状完全相同。只是平面的原点等价于平面上的点。这样，F包围原点的
14、次数R等于G包围点的次数。或等于半条G包围点的次数乘2。讲解图5-32。2 Nyquist 稳定判据Nyquist 稳定判据： 反馈控制系统稳定的充要条件是闭合曲线G逆时针包围临界点的次数R等于在S平面右半部的开环极点个数P。(若曲线G穿过点，系统可能是临界稳定的，工程上认为系统是不稳定的。)简记：；例5-8：时，闭环系统稳定；开环幅相曲线与负实轴的交点为，； ；因此，该系统有三个临界稳定的开环增益分别记为K1、K2和K3。设开环增益为K1时，；则有K1/K=1/2；K1=5；设开环增益为K2时，；则有K2/K=1/1.5；K2=20/3；设开环增益为K3时，；则有K3/K=1/0.5；K3=
15、20；，闭环系统稳定；，闭环系统不稳定；，闭环系统稳定；，闭环系统不稳定。例5-9：已知，确定使闭环系统稳定的值范围。解：计算临界稳定的值。半G曲线只有一次穿过临界点，。，；，。结论：在时，闭环系统稳定。3 对数频率稳定判据(略，针对对数频率曲线使用Nyquist 稳定判据)根据对数频率特性曲线概略绘制幅相曲线，再应用Nyquist 稳定判据。概略绘制幅相曲线时，注意曲线与负实轴的交点位置。例5-10 已知负反馈系统的开环传递函数为，式中 。其对数频率特性曲线和相应的概略幅相曲线如下：- + -60dB0dB0o-45o-90o-135o-180o-225o-270o12345-1 0 0Re
16、Im注：；，。(1) G曲线逆时针包围临界点，系统不稳定。(2) ，系统不稳定。(3) ，；，；参见例5-8。4 条件稳定系统系统可调参数的变化能够改变系统稳定性的系统，称为条件稳定系统。例如例5-8。5-5 稳定裕度(相对稳定性)在工程实践中，系统的稳定性是最重要的性能指标。正常运行系统的负载大小波动、环境条件改变等许多因素都会改变系统的工作点，即系统的参数会变化。一个可靠的系统，必须保证在参数可能的变化范围内都是稳定的。稳定裕度：表示系统在设计的工作点(设计参数)运行时，到系统处于临界稳定的距离(余地)。相对稳定性常用相角裕度和幅值裕度来度量。判断一个系统稳定裕度大(稳定性高)或小(低)必
17、须同时考虑相角裕度和幅值裕度。稳定系统的Nyquist曲线距离临界稳定点越远稳定裕度越大，相反越近稳定裕度越小。为讨论问题方便，这里给出最小相位系统的相角裕度和幅值裕度计算方法和有关结论。Nyquist曲线穿过临界点的相角条件是，幅值条件是。1 相角裕度相角裕度定义：(幅值穿越频率) 。物理意义：稳定闭环系统的开环频率特性还有度的相角裕度，若某种因素使附加滞后相角达到或超出度，则系统不能正常工作。2 幅值裕度相角穿越频率：。幅值裕度定义： ，或 。物理意义：稳定闭环系统的开环增益K还有增大的裕度，但增大的倍数达到或超过，则系统不能正常工作。一个稳定裕度大的最小相位系统要求相角裕度和幅值裕度都大
18、于零。工程上常用，。计算要点：先计算和的值。例5-12： ，(1) ； (2) 。解：相角穿越频率与K值无关，；：； ；。：；。结论：该系统是最小相位系统，时，相角裕度和幅值裕度都大于零，闭环系统稳定，且具有满意的稳定裕度；时，用相角裕度或用幅值裕度判断，闭环系统不稳定。例5-13 (略)该例讨论典型二阶系统的相角裕度(和幅值裕度)与系统参数的关系。解：，；。记住结论：阻尼比增大剪切频率减小，相角裕度增大；无阻尼自振频率增大剪切频率增大。例5-14 (略)该例说明，在对数频特性图上能清楚地看出开环增益变化对系统稳定裕度的影响。开环频率特性指标：剪切频率，反映系统的响应速度；相角裕度和幅值裕度，
19、标志系统相对稳定性；5-6 闭环系统的频域性能指标反馈控制系统的闭环传递函数一般表示为，频率特性为。优良系统的标准：系统输出能够快速跟踪输入信号，不受干扰信号影响。实际系统中有用信号的最高频率通常比干扰信号频率低。那么，理想的和实际的闭环系统频率特性如下图所示：0b|(j)|(0)|R(j)|W(j)|0b|(j)|(0)|r0.707Mr1 控制系统的频带宽度(闭环系统频域指标)系统能够跟踪的信号频率宽度。控制系统跟踪信号的最低频率为0，最高频率为；即系统带宽0b，截止频率。1.1 系统带宽0b，截止频率；定义：；1.2 谐振频率；1.3 相对谐振峰值；。截止频率和谐振频率都对应系统的响应速
20、度，频率高系统响应快。2 系统带宽选择(略)带宽选择的原则：不失真地跟踪输入信号，即要求系统频带尽可能宽；有效抑制干扰信号，要求谐振频率低于干扰信号的最低频率。大多数情况要据信号频谱分析作折中处理。3 确定闭环频率的图解方法(略)现代计算工具能力很强，可用数值计算得到结果。例5-15 说明采用试探法计算截止频率、谐振频率和谐振峰值，只不过是用表格和曲线记录了计算过程，得到较多的信息。4 系统的频域指标和时域指标对应关系仅讨论典型二阶系统的指标对应关系，高阶系统若能近似为二阶系统，可近似使用该对应关系。4.1 时域指标；4.2 开环频域指标；4.3 闭环频域指标，；，解得，。一些简要结论(典型二
21、阶系统)：(1) ；都随阻尼比增大而减小；(2) 工程上常采用的相对谐振峰值为1.11.5，对应的阻尼比为0.540.357；Mrr/cb/cc/nr/nb/ntp1.10.5400.8631.6160.7580.6541.22554.9o0.1335.6/n1.50.3570.9781.6000.8820.8631.41139o0.3018.4/n(3) 高阶系统的性能指标计算很困难，常采用近似计算：；。例5-16 已知单位负反馈系统的开环传递函数，系统在单位速度输入时的稳态误差，相角裕度，试确定系统的时域指标和。解：，； ，；，；答案：，；作业：A：5-5，5-8，5-11，5-12，5-14，5-16，5-215-24，B：5-15-4，5-10，5-17，选做：5-6,5-7，5-9，5-13，5-15，5-185-20，5-25；
