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1、全等三角形辅助线专题讲座,通江县第二中学 刘仕平,知识要点：,判定三角形全等方法有SAS、ASA、AAS、SSS和HL 如果题目给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理、定理来进行分析，先推导出所缺的条件然后再证明。 一些较难的证明题要添加适当的辅助线构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，问题就可以迎刃而解了。,构造辅助线的方法：,1. 连线法2截长补短法 3作平行线法：若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt,有时可作出斜边的中线 4倍长中线法：题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内5翻折法：若题设中含有垂线
2、、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形,1连线法,通过连线,构造全等三角形,例1.如图,AB=AD,BC=DC,求证:B=D.,连结AC,构造全等三角形,连线 构造全等,例2.如图,AB与CD交于O, 且AB=CD，AD=BC，OB=5cm，求OD的长.,连结BD,构造全等三角形,A,C,B,D,O,2截长补短法（通常用来证明线段和差相等）,“截长法”即把结论中最大的线段根据已知条件分成两段，使其中一段与较短线段相等，然后证明余下的线段与另一条线段相等的方法“补短法”即把两条线段中的一条补长成为一条长线段，然后证明补成的线段与较长的线段相等，或是把一条较短的线段
3、加长，使它等于较长的一段，然后证明加长的那部分与另一较短的线段相等。,例3.如图AC/BD，EA、EB分别平分CAB、DBA，CD过点E，求证：AB=AC+BD. 分析：本题是线段和差问题的证明，基本方法是截长补短法，即在AB上截取AF，使AF=AC，这样，只要证明FB=BD即可，于是将问题转化为证明两线段相等。,证明：在AB上取点F，使AF=AC，连结EFEA平分CABCAE=FAECAEFAE（SAS）C=AFEACBDC+D=180又AFE+BFE=180D=BFEEB平分ABDEBF=EBDBFEBDE（AAS）BD=BFAB=AF+BFAB=AC+BD,例4.已知在ABC中，C=2B
4、, 1=2求证:AB=AC+CD,A,D,B,C,1,2,在AB上取点E使得AE=AC，连接DE,截长,F,在AC的延长线上取点F使得CF=CD，连接DF,补短,3作平行线法,如果题目中含有中点，可以通过中点作平行线对于Rt,有时可作出斜边的中线,例5.如图，ABC中，ABAC。E是AB上异于A、B的任意一点，延长AC到D，使CDBE，连接DE交BC于F。求证：EFFD。,4倍长中线法,如果题中条件有中线，可将中线延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。,例6.如图1，AD是ABC的中线，求证：ABAC2AD,例7.如图，AD为ABC的中线，ADB、ADC的平分线交AB、
5、AC于E、F。求证：BE+CFEF 分析：本题中已知D为BC的中点，要证BE、CF、EF间的不等关系，可利用点D将BE旋转，使这三条线段在同一个三角形内。,5翻折法,沿角平分线翻折构造全等三角形沿高线翻折构造全等三角形绕点旋转构造全等三角形,证明：,已知：如图，在四边形ABCD中，BD是ABC的角平分线，AD=CD，求证：A+C=180,D,A,B,C,E,在BC上截取BE=AB，连结DE。, BD是ABC的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）在ABD和EBD中 AB=EB（已知） 1=2（已证） BD=BD（公共边）ABDEBD（S.A.S）,1,2,4,3, 3+ 4180（平角定义），
6、A3（已证）A+ C180 （等量代换）, A3（全等三角形的对应角相等）, AD=CD（已知），AD=DE（已证）DE=DC（等量代换）,4=C（等边对等角）,AD=DE（全等三角形的对应边相等）,例8.,例9.如图，在ABC中，12，ABC2C。 求证：ABBDAC。,初中几何常见辅助线作法口诀人说几何很困难，难点就在辅助线。 辅助线，如何添？把握定理和概念。 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。,三 角 形 图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，
7、延长缩短可试验。 三角形中有中线，延长中线等中线。,解题还要多心眼，经常总结方法显。 切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。 分析综合方法选，困难再多也会减。 虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。,1.利用三角形的角平分线来构造全等三角形,如图，在ABC中，AD平分BAC。,方法一：,A,B,C,D,E,必有结论：,在AB上截取AE=AC，连结DE。,ADEADC。,ED=CD,AED=C,ADE=ADC。,方法二：,A,B,C,D,F,延长AC到F，使AF=AB，连结DF。,必有结论：,ABDAFD。,BD=FD,如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？,问题：,如图，在ABC中，AD平分BAC。,
8、可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。,B=F,ADB=ADF。,如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？,问题：,A,B,C,D,M,N,方法三：,作DMAB于M，DNAC于N。,必有结论：,AMDADN。,DM=DN,3,*,2,1,如图，在ABC中，AD平分BAC。,可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。,AM=AN,ADM=ADN,（还可以用“角平分线上的点到角的两边距离相等”来证DM=DN）,如图，已知ABC中，AD是BAC的角平分线，AB=AC+CD，求证：C=2B,A,B,C,D,E,1,2,证明:,在AB上截取AE，使AE=AC
9、，连结DE。, AD是BAC的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）在AED和ACD中 AE=AC（已知） 1=2（已证） AD=AD（公共边）AEDACD（S.A.S）,3,B=4（等边对等角）,4, C3（全等三角形的对应角相等),又 AB=AC+CD=AE+EB（已知）EB=DC=ED（等量代换）, 3= B+4= 2B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）C=2B（等量代换）,ED=CD（全等三角形的对应边相等）,如图，已知ABC中，AD是BAC的角平分线，AB=AC+CD，求证：C=2B,A,B,C,D,F,1,2,证明:,延长AC到F，使CF=CD，连结DF。, AD是BAC的角平分线（已知）1=2（角平分线定义） AB=AC+CD，CF=CD（已知） AB=AC+CF=AF（等量代换）, ACB= 2F（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）ACB=2B（等量代换）,3,2,1,*,在ABD和AFD中 AB=AF（已证） 1=2（已证） AD=AD（公共边）ABDAFD（S.A.S）, FB（全等三角形的对应角相等）, CF=CD（已知）B=3（等边对等角）,如图，在ABC中，ADBC于D，BADCAD。求证：ABAC。,知识回顾Knowledge Review,
