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1、圆垂径定理,讲师：XX老师,1、圆的对称性,2、弦弧之间的关系性质,O,A,B,圆既是轴对称图形也是中心对称图形。它的对称轴就是过圆心的直线。其对称中心为圆心。,当直径平分弦时，就会平分弦对应弧。,如图，AB是圆O的一条弦，做直径CD,使CDAB,垂足为E,（1）圆是对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？,C,O,A,B,E,D,CDAB,结论：过圆心的直线垂直于弦，则会平分这条弦，且这条弦所对应的弧。,解：（1）圆是对称图形，它的对称轴是过圆心的直线。 （2）相等的线段有：OA=OB=OC=OD 根据对称性：AE=BE 相等的弧有：弧CAD=弧
2、CBD 弧AC=弧BC 弧AD=弧BD,圆,CD是圆O的直径 , AE=BD AC=BC AD= BD CD 弦AB，垂足为E.,知二推三：已知其中的任意两种量相等，则其他三组量也会相等。,1.如图，已知圆O的半径OA=5，弦AB的弦心距OC=3，那么AB= .,解析： 连OA, 因为OC 根据垂径定理AC=BC 在直角三角形OCA中， AC =4 所以 AB =8,2、如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上的一点，E是弧AC的中点，OE交弧AC于D.若AC=8cm,DE=2cm,则OD的长为 cm.,解析： 因为E为弧AC的中点，即OE平分弧AC。 根据垂径定理逆定理可知:OE 且 O
3、E平分AC. 因为AC=8cm 则AD=CD=4cm 则在直角三角形OAD中：设圆O的半径为R. 根据勾股定理： R =5,3.如图，在圆O中，弦AB=AC=5cm,BC=8cm,则圆O的半径等于 cm,解析： 因为由已知得:AB=AC=5cm,所以三角形ABC 为 等腰三角形。 作辅助线 AD .根据等腰三角形三线合一 定理可知：AD平分BC. BC=8cm。 得：BD=CD=4cm ，连OD。 又由垂径定理可知：OD平分BC， 即O、A、D在同一直线上。 在直角三角形ABD中 有：AD=3 连接OB. 设圆O的半径为R 在直角形OBD中有： R =,D,4.已知，圆O的直径为14cm,弦A
4、B=10cm,点P为AB上一点，OP=5cm,则AP的长为 cm.,解析：作 ， 连OA. 根据垂径定理：AD=BD AB=10cm ， 所以AD=BD=5cm 当P在AD中时，在直角三角形OAD中， 由已知得：圆的直径为14cm,则OA=7cm. 所以 OD = 在直角三角形ODP中，有： DP=1 所以 AP=AD-DP=4cm 当P在DB中时，AP=AD+DP=6cm,A,B,P,P,D,O,5.如图，AB是圆O的弦，AB长为8，P是圆O上一动点,（不与A、B重合)，过点O作OC垂直AP于C，OD垂直PB于D.则CD的长为 。,A,B,O,C,P,D,解析：连接CD,因为OC垂直AP,O
5、D垂直BP. 根据垂径定理：C为AP的中点，D是BP的中点。 所以在三角形ABP中，CD为它的中位线。 因为AB=8 则 CD= AB=4,6.如图，AB、CD是半径为5的圆O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，ABMN于点E，CDMN于点F,P为EF上任意一点，则PA+PC的最小值为多少？,A,B,C,D,M,N,E,F,P,O,G,解：因为AB=8cm CD =6 根据垂径定理得：AE=BE=4 CF =DF=3 连接OA、OC 可得：OF=4,OE=3. 所以：EF=7 P在EF上，要使PA+PC最小 又点A关于MN对称的点是点B 所以连接BC，与EF的交点则为条件所求的点。PA+
6、PC=PC+PB=BC 即连BG /EF，延长CD到G BG=EF=7 CG=CD+1=7 得：BC=72,A,B,C,D,M,N,E,F,O,G,P,如图：在直径是20cm的圆O中，两条半径的夹角是60，那么弦AB= ,点O到弦AB的距离OD= .,O,A,D,B,作业：,弓形的半径为6cm,弓形的高为2cm,则这弓形的弦长为 。,C,D,A,B,O,解：因为OA=OB 且AOB=60。 所以AOB为等边三角形。 即AB=10cm. 又OD AB 得：D为AB中点 所以：OD=,解：由已知得：OB=6cm OD=2cm 所以：AD=42cm, 又由勾股定理得：AD=BD=42cm 即：AB=82cm,
