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1、第四章 两 自 由 度 系 统 振 动,当振动系统需要两个独立坐标描述其运动时，那么这个系统就是两个自由度系统。,两自由度系统是最简单的多自由度系统。,两自由度系统的振动微分方程一般由两个联立的微分方程组成。,两自由度系统有两个固有频率及固有振型。,在任意初始条件下的自由振动一般由这两个固有振型叠加。,强迫简谐振动发生在激励频率，而这两个坐标的振幅将在这两个固有频率下趋向最大值。共振时的振型就是与固有频率相应的固有振型。,4.1 两自由度系统振动微分方程 4.2 两自由度系统的自由振动,主要内容,最简单的单自由度振动系统就是一个弹簧连接一个质量的系统，如图所示的弹簧-质量系统。,弹簧-质量系统
2、有一个共同的特点：当受扰动离开平衡位置后，在恢复力作用下系统趋于回到平衡位置，但是由惯性它们会超越平衡点。超越后，恢复力再次作用使系统回到平衡位置。结果系统就来回振动起来。,简谐振动,5,4.1 两自由度系统振动微分方程,例1 如图4.1-1(a)所示的无阻尼两质量-弹簧系统，可沿光滑水平面滑动的两个质量m1与m2分别用弹簧k1与k3连至定点，并用弹簧k2相互联结。,取m1与m2的静平衡位置为坐标原点，描述m1与m2位置的坐标为x1和x2。,取加速度的正方向与坐标轴的正方向一致，根据牛顿运动定律有,系统的受力如图4.1-1(b)所示。,图 4.1-1,方程(4.1-1)就是图4.1-1所示的两
3、自由度系统自由振动的微分方程，为二阶常系数线性齐次常微分方程组。,方程(4.1-1)可以使用矩阵形式来表示，写成,移项得,(4.1-1),(4.1-2),由系数矩阵组成的常数矩阵M和K分别称为质量矩阵和刚度矩阵，向量x称为位移向量。,例2：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力,不计摩擦和其他形式的阻尼,试建立系统的运动微分方程,8,解：,1、建立坐标：,设某一瞬时：,上分别有位移,加速度,受力分析：,m1与m2的任一瞬时位置只要用和两个独立座标就可以确定，系统具有两个自由度,2、分别列出m1与m2的自由振动微分方程,矩阵形式,质量矩阵,刚度矩阵,3、写成矩矩阵形式,位移矢量,激振力矢量,11,
4、例3：转动运动,两圆盘,转动惯量,轴的三个段的扭转刚度,试建立系统的运动微分方程,外力矩,12,解：,1、建立坐标：,角位移,设某一瞬时：,角加速度,受力分析：,13,2、建立方程：,3、矩阵形式：,14,多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同,如同在单自由度系统中做过的那样，在多自由度系统中也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。,k3,k1,k2,P1(t),P2(t),15,例4：研究汽车上下振动和俯仰振动的力学模型。,表示车体的刚性杆AB的质量为m，杆绕质心C的转动惯量为Jc。,悬挂弹簧和前后轮胎的弹性用刚度为 k1 和 k2 的两个弹簧来表示。,写出车体微振动的微分方
5、程。,选取D点的垂直位移 和绕D点的角位移 为坐标。,C,17,简化形式,18,解：1、建立广义坐标，并受力分析。车体所受外力向D点简化为合力 PD 和合力矩 MD 。,D,C,2、写出车体运动的两个运动微分方程,A,B,（a）,（b）,由,由动量矩定理得：,代入（a)、（b)得：,20,质量矩阵,刚度矩阵,车体的运动微分方程可表示为:,3、写成矩矩阵形式,21,小结：,可统一表示为：,例1：,例2：,作用力方程,位移向量,加速度向量,质量矩阵,刚度矩阵,激励力向量,若系统有 n 个自由度，则各项皆为 n 维,1、固有频率求解,令：,4.2 两自由度系统的自由振动,（1）,（1）式可表示为：,
6、有上一讲可知系统的运动微分方程为：,（2）,假设该系统做同步简谐运动，其解可表示为：,（2）,（3）,因为方程(2)是齐次的，如果x1和x2为方程(4.1-4)的一个解，那么与其相差一个常数因子的x1和x2也将是一个解。,通常感兴趣的是一种特殊形式的解，也就是x1和x2同步运动的解。,有趣的“同步化” 现象,最早观察到同步化现象的科学家是荷兰的物理学家克里斯蒂安惠更斯(Christian Huygens 1629-1695)。根据伽利略(Galileo Galilei 1564-1642)发现的钟摆的等时性原理，他于1656年把单摆引入了机械钟，研制成第一个摆钟。,1665年2月的一天，因为身
7、体不适，他躺在家里休养。闲来无事只得盯着墙壁发呆。然而却意外地在他自己发明的摆钟上，发现了一个有趣的现象。,有趣的现象： 墙壁上并排悬挂着的两只钟，这两只钟的钟摆竟然在按照相同的位移（拍子）摆动！经过连续几个小时的观察之后，结果还是一样。而且就算强行将其中一只钟的钟摆拨成相反位移的运动，不到30分钟，也还是恢复成相同的位移。只有将一只钟挂到另一面墙上后，两只钟的位移才开始渐渐分出不同，到最后甚至连一天的周期也产生了5秒左右的差别。后来，他又通过实验推断，这两只钟的同步运动可能是由两只钟之间的空气振动或者是墙壁的轻微振动导致的。,沿着弯弯曲曲的河道走进茂密的森林，黄昏洒下温柔的光辉，落在森林的枝
8、杈上，一闪一闪，好像一两星萤火虫的光芒。夜渐渐深了，不知不觉，岸边的树林被成群的萤火虫，点成了一座星星的城堡。不过最壮观的却是深夜的某一时刻，好像在谁一声令下似的，所有原来此起彼伏，各自发光的萤火虫们，全都开始同时明暗，变得整齐一致了！,除了萤火虫的发光之外，自然界里到处都可以发现同步化现象。由一万多个细胞组成的心脏搏动器总是按照同一个的节奏产生着脉冲信号；知了每17年都会一起爬到地面上来进行繁殖；秋天晚上的蟋蟀们，也好像有谁指挥一样，齐刷刷地奏出优美动听的大合唱。,以上现象存在着三个共同点：(1)每个个体都在进行各自不同的周期性运动；(2)它们的运动节奏在某一瞬间变得一致；(3)它们身上都应
9、该存在某种导致这种现象的媒介物质。物理学家们把这种做周期性运动的个体称为“振动体”，把通过媒介物质连接在一起的振动体称为“耦合振动体”，又把他们同时改成同一节奏运动的现象叫做“同步化”现象。,同步化现象虽然是耦合振动体最简单的运动形态，但这并不意味着耦合振动体只能做同步运动。耦合振动体的运动形态是多种多样的。,让我们来看看奔跑在澳洲平原上的袋鼠以及追逐在袋鼠后面的土著人吧。袋鼠跳跃的时候，两只脚做的是位移相同的移动。但土著人在走路时，左脚与右脚所做的却是位移相反的移动。如果将袋鼠的跳跃看成同步化的结果的话，那么土著人的走路则是反同步化的结果。,四只脚的动物： 兔子在奔跑的时候，两只前脚移动的位
10、移相同，但两只后脚移动的位移却和前脚的相反。 长颈鹿，是同侧的前后两只脚一起移动。左前脚和左后脚一起动，右前脚和右后脚一起动。 马的走路方式有些特别，做位移相同移动的是对角线上的两只脚，即左前脚和右后脚一起动，而右前脚则和左后脚一起动。,大象体积庞大，走起路来更是别具一格，四只脚移动时分别各自相差90度的位移差。没有一只脚做的是相同位移的移动。,四只脚动物可以看作是“四个振动体耦合在一起的系统”吗？事实上，四个振动体组成的系统的基本运动模式，确实与所提到的那四种走路方式一模一样。 可是动物们为什么会按照耦合振动体的方式来行走呢？虽说现在关于这个问题还没有定论。生物学家们认为，掌管运动的脑神经网
11、(由数突连接起来的神经细胞)看起来更接近“耦合振动体”一些。有推测认为，正是脑神经网的动力学特性，使得动物走起路来才会表现出振动体的特点。,在那之后，维塞克博士便在音乐厅的屋顶上安装了一个麦克风，用以记录下每场音乐会的掌声情况，并进行分析。他发现音乐会结束后，持续的鼓掌声中，狂热的掌声与同步的掌声一般会交替出现67回。更神奇的是，这种交替并不是逐渐发生的，而是瞬间性的突然从一种模式转向另一种模式。物理学者称这种现象为“相变”。狂热而无规则的鼓掌有助于表达自己激动而振奋的情绪，而有节奏的掌声则可以使人感觉和其他观众融为一体，比较有安全感。维塞克博士认为，音乐会上的观众们在这两种情感之间左右不定，
12、所以才会不断的交替使用两种不同的鼓掌方式。,为什么萤火虫、蟋蟀等能够这样不约而同地按照同样的节奏发光、鸣叫或者产生脉冲呢？他们是怎样实现这样惊人的同步的呢？其实，从物理学的角度来实现自然界各种各样同步化现象的模型化，长久以来一直是物理学家们最大的梦想。随着非线性动力学研究的发展，以及计算机计算性能的飞速提高（使得计算量庞大的非线性方程的求解最终成为可能），这个至今还贴着神秘封条的同步化现象又一次成为人们关注的焦点，物理学家们已经摒住了呼吸，开始凝神倾听大自然的节奏，相信不久的将来，他们一定能给我们一个满意的回答。,假设该系统做同步简谐运动，其解可表示为：,将（3）式代入（2）式得：,不恒等于零
13、,（3）,在同步运动的情况下，比值x2/x1必定与时间无关，也就是说x1和x2对时间有相同的依赖关系。,这是A1和A2的线性齐次代数方程组，,A1和A2具有,非零性解的充要条件是系数行列式等于零,为特征行列式，展开得到频率方程：,（4）,解频率方程得到它的两个特征根为：,和,都是实根，,由于adbc,和,都是正数。,其中：,较低的一个称为第一阶固有频率，简称基频。较高的一个称为第二阶固有频率。,第一主振动,第二主振动,振幅比,第二主振型,第一主振型,将第一固有频率 代入,2、固有振型,系统作主振动时，任意瞬时的位移比和其振幅比相同，即,这表明，在振动过程中，振幅比决定了整个系统的相对位置。,将
14、01、 02之值代入，得,这表明，在第一主振动中，质量m1与m2沿同一方向运动；在第二主振动中m1、m2的运动方向则是相反的。系统作主振动时，各点同时经过平衡位置，同时到达最远位置，以与固有频率对应的主振型作简谐振动。,根据微分方程理论，两自由度系统的自由振动微分方程的通解，是它的两个主振动的线性组合，即：,由运动的初始条件确定。,写成矩阵形式,（5）,3、系统对初始激励的响应,将（5）式写出以下形式：,其中C1、C2分别表示A1(1)、A1(2),将,代入得：,例5 试求图示两个自由度系统振动的固有频率和模态矢量。已知各弹簧的刚度为：k1k2k3k，物体的质量：m1m，m22m。,（2）根据达朗贝尔原理分别列出运动微分方程：,解：（1）建立广义坐标并受力分析,（1）,（3）求固有频率，求0i,将,代入（1）知：,（2）,将 、 分别代入（2），得,一阶和二阶模态矢量分别为：,节点,（4）求模态矢量,例5续 求该系统对以下两组初始条件的响应：,解：1）代入初始条件得：,（3）,2）将（3）代入得系统的响应为：,例6 扭转振动,求系统的响应已知：,解1）建立广义坐标并受力分析,2）列运动微分方程,3）求固有频率,4）模态矢量,将 、 分别代入得,一阶和二阶模态矢量分别为：,代入初始条件得：,（1）,5）求系统的响应,将（1）代入得系统的响应为：,
