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1、1,高等数学,第二十九讲,2,二、交错级数及其审敛法,三、绝对收敛与条件收敛,第二节,一、正项级数及其审敛法,常数项级数的审敛法,第十二章,3,一、正项级数及其审敛法,若,定理 1. 正项级数,收敛,部分和序列,有界 .,若,收敛 ,部分和数列,有界,故,从而,又已知,故有界.,则称,为正项级数 .,单调递增,收敛 ,也收敛.,4,定理2 (比较审敛法),且存在,对一切,有,1、 若级数（2),则级数(1),2、 若级数（1）,则级数（2）,证略,则有,收敛 ,也收敛 ;,发散 ,也发散 .,两个正项级数,(常数 k 0 ),5,解 1：,发散 ,例1：判断下列级数的敛散性,而,收敛,由比较判
2、别法可知原级数收敛,解 2：,而,由比较判别发可知原级数发散。,6,证明级数,发散 .,证: 因为,而级数,发散,根据比较审敛法可知,所给级数发散 .,例2.,7,例3. 讨论 p 级数,(常数 p 0),的敛散性.,解: 1) 若,因为对一切,而调和级数,由比较审敛法可知 p 级数,发散 .,发散 ,2）若,顺序地把一项、两项、四项、八项括在一起,此式,由比较判别法可知 p1 时，p 级数收敛。,8,重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.,调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.,若存在,对一切,9,例4,10,例5,11,例6,12,证,例6,13,定理3. (比较审敛法的极
3、限形式),则有,两个级数同时收敛或发散 ;,(2) 当 l = 0,(3) 当 l =+,证明略！,设两正项级数,满足,(1) 当 0 l + 时,14,是两个正项级数,当 时,两个级数同时收敛或发散 ;,特别取,可得如下结论 :,对正项级数,15,比较审敛法的极限形式表明，,无穷级数收敛与否最,终取决于级数的一般项趋于零的速度，,即无穷小量阶的,大小。例如：,与,为等价无穷小，,发散，可以推得,发散。,与,为等价无穷小，,收敛，可以推得,收敛。,可见，通过无穷小（大）的等价关系，,简化,中的,进而利用已知级数的敛散性来判断,的敛散性。,16,例7,17,的敛散性.,解:,根据比较审敛法的极限
4、形式知原式收敛。,例8. 判别级数,18,的敛散性.,例9. 判别级数,的敛散性 .,解:,根据比较审敛法的极限形式知,例10. 判别级数,解:,根据比较审敛法的极限形式知,发散，,收敛，,19,例12：1. 判别级数的敛散性:,解: (1),发散 ,故原级数发散 .,不是 p级数,(2),故原级数发散 .,20,故原级数收敛.,（3）,解,取,21,（4）,22,定理4 . 比值审敛法 ( Dalembert 判别法),设,为正项级数, 且,则,(1) 当,(2) 当,时, 级数收敛 ;,或,时, 级数发散 .,说明: 当,时,级数可能收敛也可能发散.,例如, p 级数,但,级数收敛 ;,级
5、数发散 .,23,例1：判断下列级数的敛散性,解：,解：,由正项级数的比值判别法可知原级数收敛。,由正项级数的比值判别法可知原级数发散。,解：,比值判别法失效！,24,解 因分母的最高次数与分子的最高次数之差为,用比较法！,则取,为 p 级数，且 p1, 则原级数收敛。,25,解：,比值法失效，但,故级数发散。,26,解：考虑以,为通项的级数,用比值法知级数收敛，,例2：求证,27,定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法),设,为正项级,则,证明: 略！,数, 且,时 , 级数可能收敛也可能发散 .,例如 , p 级数,说明 :,但,级数收敛 ;,级数发散 .,28,例1：判断下列级数的
6、敛散性,解：,由正项级数的根值判别法可知原级数发散。,解：,由正项级数的根值判别法可知原级数收敛。,解：,由正项级数的根值与比较判别法可知原级数收敛。,29,定理6. （积分判别法） 设,在,上非负单调,连续函数，则,与,有相同的敛散性。,证明 不妨设,是单减函数，于是当,有,从而有,以及,即,于是，若,收敛，表示,为常数，,30,有,可知,有界，根据定理级数收敛。,发散，因为,在,上非负，,故当,可推得,无界，级数发散。,只能有,若,31,例2. 判别级数,的敛散性 .,解:,所以，当,时，反常积分发散，原级数发散；,时，反常积分收敛，原级数收敛；,32,二 、交错级数及其审敛法,则各项符号
7、正负相间的级数,称为交错级数 .,定理7 . ( Leibnitz 判别法 ),若交错级数满足条件:,则级数,收敛 , 且其和,其余项满足,定义,33,证:,是单调递增有界数列,又,故级数收敛于S, 且,故,34,收敛,收敛,用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:,收敛,上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?,发散,收敛,收敛,35,(4),解 设,由,知,单调减少，从而有,所以，交错级数,收敛。,36,三、任意项级数的判敛法,定义: 对任意项级数,若,若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散,收敛 ,则称原级数,为条件收敛 .,均为绝对收敛。,例如 ：,绝对收敛 ；,则称原级
8、数,条件收敛 .,可正可负可为零。,37,定理8. 绝对收敛的级数一定收敛 。,证: 设,根据比较审敛法,显然,收敛,收敛,也收敛。,且,收敛 ,令,38,例1. 证明下列级数绝对收敛 :,证: (1),而,收敛 ,收敛,因此,绝对收敛 .,39,解,因此,收敛,绝对收敛.,例1. 证明下列级数绝对收敛 :,40,例2：判断下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散。,分析：此为交错级数，是否绝对收敛用正项级数判别,法，关键是将通项绝对值如何放大或缩小。,解：,原级数条件收敛！,是发散的级数，,即原级数非绝对收敛,41,例2：判断下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散。,即原级数非绝对收敛,42,例2
9、：判断下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散。,43,例2.判断下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散。,44,例3,45,46,内容小结,1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2. 利用正项级数审敛法,必要条件,发 散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收 敛,发 散,不定,比较审敛法,用它法判别,积分判别法,部分和极限,47,3. 任意项级数审敛法,为收敛级数,Leibniz判别法:,则交错级数,收敛,概念:,绝对收敛,条件收敛,48,思考与练习,设正项级数,收敛,能否推出,收敛 ?,提示:,由比较判敛法可知,收敛 .,注意:,反之不成立.,例如,收敛 ,发散 .,49,备用题：,则级数,(
10、A) 发散 ; (B) 绝对收敛;,(C) 条件收敛 ; (D) 收敛性根据条件不能确定.,分析:, (B) 错 ;,又,C,50,都有,定理2 (比较审敛法),且存在,对一切,有,1、 若级数（2),则级数(1),2、 若级数（1）,则级数（2）,证:,设对一切,则有,收敛 ,也收敛 ;,发散 ,也发散 .,分别表示级数（1）和级数（2）的部分和,两个正项级数,(常数 k 0 ),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨,51,1、 若级数,则有,因此对一切,有,由定理 1 可知,则有,2、 若级数,因此,这说明级数,也发散 .,也收敛 .,发散,收敛,级数,则有,52,由图可知,53,因为当,故,考虑强级数,的部分和,故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .,时,2) 若,54,其和分别为,绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质.,*定理8. 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和.,*定理9. ( 绝对收敛级数的乘法 ),则对所有乘积,按任意顺序排列得到的级数,也绝对收敛,设级数,与,都绝对收敛,其和为,55,4、,解：,即,令,发散,原级数条件收敛！,
