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1、1,高等数学,第十七讲,2,第三节,一、三重积分的概念,二、三重积分的计算,三重积分的概念和计算方法,第十章,3,一、三重积分的概念,类似二重积分解决问题的思想, 采用,引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的,物质,求分布在 内的物质的,可得,“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”,解决方法:,质量 M .,密度函数为,4,定义. 设,存在,称为体积元素,若对 作任意分割:,任意取点,则称此极限为函数,在上的三重积分.,在直角坐标系下常写作,下列,“乘积和式” 极限,由定义可知,引例中物体的质量为:,特别若在,那么三重积分在数值上,就等于区域,的体积即:,5,性质:,三重积分的性质
2、与二重积分相似.,例如,中值定理.,在有界闭域 上连续,则存在,使得,V 为 的,体积,三重积分存在定理:,当函数,在区域,上的三重积分必定存在,此时称函数,6,二、三重积分的计算,1） 利用直角坐标计算三重积分,方法2 . 投影法 (“先一后二”),方法3. 截面法 (“先二后一”),方法1 . 三次积分法,先假设连续函数,并将它看作某物体,通过计算该物体的质量引出下列各计算,最后, 推广到一般可积函数的积分计算.,的密度函数 ,方法:,7,投影法,方法1. 三次积分法,设区域,利用投影法结果 ,把二重积分化成,二次积分即得:,8,其中 为三个坐标,例1. 计算三重积分,所围成的闭区域 .,
3、解:,面及平面,9,方法2. 投影法 (“先一后二” ),该物体的质量为,细长柱体微元的质量为,微元线密度,10,例2: 计算,及抛物面,所围成的区域.,解法一:采用先对,积分,将,11,方法3. 截面法 (“先二后一”),为底, d z 为高的柱形薄片质量为,该物体的质量为,12,例3. 计算三重积分,解:,用“先二后一 ”,13,小结: 三重积分的计算方法,方法2. “先一后二”,方法3. “先二后一”,方法1. “三次积分”,具体计算时应根据,三种方法(包含12种形式)各有特点,被积函数及积分域的特点灵活选择.,14,2. 利用柱坐标计算三重积分,就称为点M 的柱坐标.,直角坐标与柱面坐
4、标的关系:,坐标面分别为,圆柱面,半平面,平面,15,如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为,因此,其中,适用范围:,1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ;,2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.,积分域由抛物面、圆柱面、球面所围成。,被积函数表达式中含有,等因子。,16,其中为由,例1. 计算三重积分,所围,解: 在柱面坐标系下,及平面,柱面,成半圆柱体.,17,例2: 求由圆柱面,所围成的物体的质量. 物体的密度为,解:,18,例3. 计算三重积分,解: 在柱面坐标系下,所围成 .,与平面,其中由抛物面,原式 =,19,例3. 计算三重积分,解: 用先二后一,所围成 .,与平面,
5、其中由抛物面,20,例4. 计算,其中,解:,利用对称性,21,3. 利用球坐标计算三重积分,就称为点M 的球坐标.,直角坐标与球面坐标的关系,坐标面分别为,22,如图所示, 在球面坐标系中体积元素为,因此有,其中,适用范围:,1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单;,2) 被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.,积分域是由球面、锥面所围成。,被积函数中含有,的因子。,23,例1.求曲面,所围立体体积.,解: 由曲面方程可知, 立体位于xoy面上部,利用对称性, 所求立体体积为,yoz面对称, 并与xoy面相切,故在球坐标系下所围立体为,且关于 xoz,24,例2. 计算三重积分,解: 在球
6、面坐标系下,所围立体.,其中,与球面,25,例3. 设由锥面,和球面,所围成 , 计算,提示:,利用对称性,用球坐标,26,例4：计算,解法一：采用球坐标计算,27,例4：计算,解法二：采用三次定积分计算,28,解法三：采用先一后二计算,例4：计算,29,解法四：采用先二后一在,处用垂直于,轴的平面去截,例4：计算,30,例5. 计算,所围成.,其中 由,分析：若用“先二后一”, 则有,计算较繁!,采用“三次积分”较好.,31,解法一:,例5. 计算,所围成.,其中 由,32,思考: 若被积函数为 f ( y ) 时, 如何计算简便?,解法二:,例5. 计算,所围成.,其中 由,33,例6.
7、计算,解: 积分域为平面 x + y + z =1 与三个坐标面所围四,交换积分顺序， 得,练习,计算,面体 ,34,内容小结,积分区域多由坐标面,被积函数形式简洁, 或,* 说明:,三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:,对应雅可比行列式为,变量可分离.,围成 ;,35,1. 将,用三次积分表示,其中由,所,提示:,思考与练习,六个平面,围成 ,36,2. 设,计算,提示: 利用对称性,原式 =,奇函数,37,解法二;采用先对,积分,将,例2: 计算,及抛物面,所围成的区域.,38,例2: 计算,及抛物面,所围成的区域.,39,解法四: 若注意到变量,的取值介于两个常数,之间,且在,处用平行于坐标面,的平面去截,先二后一,例2: 计算,及抛物面,所围成的区域.,
