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1、平面向量复习,平 面 向 量基本概念,向量定义：,既有大小又有方向的量叫向量。,重要概念：,（1）零向量：,长度为0的向量，记作 .,（2）单位向量：,长度为1个单位长度的向量.,（3）平行向量：,也叫共线向量，方向相同或相反的非零向量.,（4）相等向量：,长度相等且方向相同的向量.,（5）相反向量：,长度相等且方向相反的向量.,的方向是任意的，且和任何向量都共线,1.单位向量都相等；,判断下列命题的真假：,3.长度不等且方向相反的两向量不一定共线；,(假),(真),(假),(假),(假),(假),(真),一、知识回顾：,1.向量的加法运算,三角形法则,平行四边形法则,2.向量的减法运算,设
2、则,思考：若 非零向量 ，,则它们的模相等且方向相同。,同样 若：,例1 化简（1）（AB + MB）+ BO + OM （2） AB + DA + BD BCCA,分析,利用加法减法运算法则，借助结论,AB=AP+PB；AB=OBOA；AB+BC+CA=0,进行变形.,解：,原式=,AB +（BO + OM + MB）,= AB + 0,= AB,（1）,（2）,原式=,AB + BD + DA （BC + CA）,= 0BA = AB,例2：已知点A（2，1）、B（1，3）、C（2，5） 求 （1）AB、AC的坐标；（2）AB+AC的坐标； （3） ABAC的坐标.,答案： （1） AB=
3、（3，4）， AC =（4， 4 ）,（2）AB+AC=（ 7，0 ）,（3） ABAC= （1，8）,例3设 ，若 ，求 的值。,解：由已知条件，得：,=（3，2）-2（，7）,=（3-2，-12）,=（-2，）, = ，=-12,3.实数与向量的积,定义：, 0时， 与 反向；,其中 0时， 与 同向；,=0时，,坐标运算：设 ，则,4、平面向量的数量积,定义：,问题：,0,求两个向量夹角的公式是：,进行向量数量积计算时,既要考虑向量的模,又要根据两个向量方向确定其夹角。,例5.,练3. 若 的夹角为钝角，则实数x的取值范围为 _,6或-1,-6,例7：向量的夹角问题,5、平面向量的基本定
4、理,设 和 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任何一个向量 ， 有且只有一对实数 使,这种表示是唯一的，即若,例8：已知a=（1，0），b=（1，1），c =（1，0）求和，使 c =a +b.,答案： =1， = 0,7.两个非零向量互相垂直的充要条件,6、两个非零向量平行（共线）的充要条件,-1,11或-2,4,例10 已知 a=(1, 2), b=(3, 2), 当k为何值时, ka+b与a3b平行? 平行时它们是同向还是反向?,分析,先求出向量ka+b 和a3b的坐标，再根据向量平行充要条件的坐标表示, 得到关于k方程, 解出k, 最后它们的判断方向.,解: ka+b=k(
5、1, 2)+(3, 2)=,(k3,2k+2),a3b=(1, 2)3(3, 2)=,(10, 4),(ka+b)(a3b),4(k3)10(2k+2)=0,K=, ka+b=,=,(a3b),它们反向,两个向量的数量积是否为零,是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一.,例11,例12,设AB=2(a+5b)，BC= 2a + 8b，CD=3(a b)，求证：A、B、D 三点共线。,分析,要证A、B、D三点共线，可证,AB=BD关键是找到,解：,BD=BC+CD= 2a + 8b+ 3(a b)=a+5b,AB=2 BD,且AB与BD有公共点B, A、B、D 三点共线,AB BD,例3,例
6、13.若 、 是两个不共线的非零向量，问是否存在实数t ，使得同起点的三向量 的终点在同一直线上？若存在，请求出实数t ；若不存在，请说明理由.,再 见,课堂练习与拓广延伸,且 起点坐标为( 1, 2) 终点坐标为( x, 3x), 则,(2) 则,(3) 已知 ABC 中, A(2, -1), B(3, 2), C(-3, -1) BC 边上高为 AD , 求 D 点和 的坐标.,【知识检测】,(4) 已知 求 以及 与 的夹角.,下列命题正确的是 ( ) A. 若 夹角是 ,则,B.,C. 若 A(-2, 4), B(2, 1) , 则 与 X 轴正向夹角 余弦值为,D. 则,以原点和 A
7、( 5, 2) 为两顶点作等腰直角三角形, B=90,求点 B 和 的坐标.,已知 求 使 且 的 x , y 的值.,备用练习,分析:,由已知启发我们先用坐标表示向量 然后用两个向量平行和垂直的充要条件来解答。,例2.已知 ,当k取何值时,1). 与 垂直?2). 与 平行? 平行时它们是同向还是反向?,解：1）,这两个向量垂直,解得k=19,2),得,此时它们方向相反。,三 课堂练习,已知平面内三个点A（0，-3），B（3，3），C（x，-1），且,/,，则x的值为,A,B,C,X=1,解： (a+3b)(7a-5b)=0 7a+16ab-15b=0 (a-4b)(7a-2b)=0 7a2-30ab+8b2=0 a2=b2 2ab=b2 cos= =60。,20、（1）已知a,b都是非零向量，且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直，(1)求a与b的夹角；(2)已知|a|= ,|b|= ,且a与b的夹角为 ，试求a+2b与a-b的夹角的大小。,
