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1、3.4证据理论 0. 前言l 主观Bayes方法必须给出先验概率。l Dempster和Shafer提出的证据理论，可用来处理这种由不知道所引起的不确定性。l 证据理论采用信任函数而不是概率作为不确定性度量，它通过对一些事件的概率加以约束来建立信任函数而不必说明精确的难于获得的概率。l 证据理论满足比概率论更弱的公理系统，当这种约束限制为严格的概率时（即概率值已知时），证据理论就退化为概率论了。 1. 证据的不确定性度量(1) 基本理论 辨别框概念：设U为假设x的所有可能的穷举集合，且设U中的各元素间是互斥的，我们称U为辨别框（Frame of discernment）。设U的元素个数为N，则
2、U的幂集合2U的元素个数为2N，每个幂集合的元素对应于一个关于x取值情况的命题（子集）。对任一AU，命题A表示了某些假设的集合(这样的命题间不再有互斥性)。针对医疗诊断问题，U就是所有可能疾病(假设)的集合，诊断结果必是U中确定的元素构成的。A表示某一种(单元素)或某些种疾病。医生为了进行诊断所进行的各种检查就称作证据，有的证据所支持的常不只是一种疾病而是多种疾病，即U的一子集A。定义1：基本概率分配函数（Basic probability assignment）：对任一个属于U的子集A（命题），命它对应于一个数m0,1，而且满足 则称函数m为幂集2U上的基本概率分配函数bpa，称m(A)为A
3、的基本概率数。m(A)表示了证据对U的子集A成立的一种信任的度量，取值于0,1，而且2U中各元素信任的总和为1。m(A)的意义为l 若AU且AU，则m(A)表示对A的确定信任程度。l 若A=U，则m(A)表示这个数不知如何分配（即不知道的情况）。例如， 设U=红，黄，白，2U上的基本概率分配函数m为m（ ，红，黄，白，红,黄，红,白，黄,白，红,黄,白）=（0，0.3，0，0.1，0.2，0.2，0，0.2）其中，m(红)=0.3 表示对命题红的确定信任度。m(红,黄,白)=0.2 表示不知道这0.2如何分配。值得注意的是， m(红)+m(黄)+m(白) =0.3+0+0.1=0.41，m(A)=0时，证据理论就退化为概率论；当对所有的m(Ai)0，有A1A2An时，证据理论退化为Zadeh的可能性理论。2) 证据理论能够区分不知道和不确定。3) 证据理论可以处理证据影响一类假设的情况，即证据不仅能影响一个明确的假设（与单元素子集相对应）、还可影响一个更一般的不明确的假设（与非单元素子集相对应）。因此，证据理论可以在不同细节、不同水平上聚集证据，更精确地反应了证据收集过程。4) 证据理论的缺点是：要求辨别框中的元素满足相互排斥的条件，在实际系统中不易满足。而且，基本概率分配函数要求给的值太多，计算比较复杂。
