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1、第6组 组员自动化车床管理的数学模型摘要本文解决的是自动化车床管理问题。用自动化车床连续加工某种零件时，由于各种原因会导致生产工序发生故障，而当生产工序故障时，生产的零件大多为不合格产品，这样会给生产带来巨大损失。为解决该问题，我们对工序设计了三种最优的检查间隔和刀具更换策略模型：对于问题一：我们建立了模型一，即单目标期望值模型。我们将一个周期内单个零件的平均生产费用，作为衡量检查间隔和刀具更换策略优劣的标准。因为检查间隔和定期更换刀具都与刀具的寿命有密切联系，所以我们利用6SQ统计软件对附录一中的100次刀具故障记录进行卡方拟合优度检验得知：刀具的寿命服从正态分布。根据工序出现故障的随机性，
2、为了简化计算，又假设在一个周期内出现刀具损坏故障的概率服从均匀分布，这样我们便很容易地列出每个零件的平均生产费用，即：模型一的目标函数，再用计算机穷举法对此进行了求解，得出每生产14个零件检查一次，420个零件更换一次刀具，每个零件的平均生产费用为3.88元为最优解。对于问题二：我们建立了模型二，我们延用问题一的指标，并对变化了的因素做出了考虑。与问题一不同的是，工序正常时产出的零件不全是合格品，有2%为不合格品；而工序故障时产出的零件也不全是不合格品，有40%的合格品。相对于模型一，模型二较为复杂得多，但整体的解题思想与模型一雷同。分情况分阶段对各类费用进行了细算，最终得到的结果为：每生产9
3、个零件检查一次，378个零件更换一次刀具，每个零件的平均生产费用为8.52元为最优解。对于问题三：我们建立了模型三，考虑到刀具工作初期产生不合格零件的概率相对较小，采取了变间隔检查的办法，并构造了一递减等差数列作为我们的检查间隔，沿用问题一的指标，建立了模型。关键词：单目标期望值模型 6SQ统计软件 卡方拟合优度检验 计算机穷举法 最优解 等差数列1问题重述问题背景：一道工序用自动化车床连续加工某种零件，由于刀具损坏等原因该工序会出现故障，其中刀具损坏故障占95%, 其它故障仅占5%，工序出现故障是完全随机的，工作人员通过检查零件来确定工序是否出现故障。现计划在刀具加工一定件数后定期更换新刀具
4、。 在本文，我们需要建立自动化车床管理的数学模型来解决以下问题。由于工序出现故障是完全随机的，因此每一次故障时完成的零件数均不相同。附录一中给出100次刀具故障记录及故障出现时该刀具完成的零件数。本文需要解决的问题：问题一：假定工序故障时产出的零件均为不合格品，正常时产出的零件均为合格品, 试对该工序设计效益最好的检查间隔（生产多少零件检查一次）和刀具更换策略。问题二：如果该工序正常时产出的零件不全是合格品，有2%为不合格品；而工序故障时产出的零件有40%为合格品，60%为不合格品。工序正常而误认有故障停机产生的损失费用为1500元/次。对该工序设计效益最好的检查间隔和刀具更换策略。问题三：在
5、问题二的情况下，可否改进检查方式获得更高的利益。 2.模型假设和符号说明2.1模型的假设假设1: 不考虑5%的其他故障；假设2：在生产任一零件时工序出现故障的机会均相等；假设3：每次只检查一个零件，且检查时间很小，可忽略不计；假设4：工作人员检查到有不合格产品时，就判断工序发生故障；假设5：附录一中100次刀具故障记录在误差范围内是准确的。2.2符号说明符号符号说明每生产个零件检查一次检查第次时更换新刀具工序发生故障时每次的检查费用工序发生故障时产出的零件损失费用，单位：元/件工序发现故障进行调节使恢复正常的平均费用（包括刀具费），单位：元工序未发现故障时更新一把新刀具的费用，单位:元/次工序
6、正常而误认为有故障停机产生的损失费用更换刀具的周期，即：定期更换刀具时已生产的零件总数，一个周期内零件生产的总费用一个周期内单个零件的平均生产费用第一次刀具故障时完成的零件数工序正常时生产的零件的不合格率工序正常时生产的零件的合格率工序故障时生产的零件的不合格率工序故障时生产得零件的合格率3.问题分析此题研究的是自动化车床的合理性管理的数学模型问题。要对车床进行合理性的管理，就要有合理的管理措施，这样才能使工序效益最好。本文主要考虑的是由刀具损坏故障和非刀具故障导致的一系列问题，在生产过程中，工序出现故障是完全随机的，即在生产任一零件时都有可能出现故障，其中刀具损坏故障占95%，其它故障占5%
7、。由于工作人员在检查零件时，一旦发现零件不合格，只能判断该工序出现故障，但不能判断故障是由刀具损伤引起的还是其它故障引起的，我们暂且不考虑5%的其他故障（其他故障的比例较小，可忽略不计）。当检查员检查到不合格零件时，就认为自动化车床出现故障，应该进行调整使其恢复正常。由于厂家计划在刀具加工一定零件数之后要定期更换新刀具，这就涉及到零件的检查间隔和刀具的更换周期。如果检查间隔太长，故障不能及时发现，就会生产出更多的不合格产品，给生产带来损失；如果检查间隔太短，那么检查次数就会增加，这样会增加检查费用。综上所述，我们应该设计出合理的检查间隔，使得在每次更换新刀具时，每个零件的平均费用最低。针对问题
8、一：我们首先假设自动化车床每生产件产品时对其进行一次检查，第次检查以后更换新的刀具，这样，工序更换刀具的周期为，即：自动化车床每生产个零件时更换一次刀具。由于更换刀具是定期的，更换刀具时，可能已经出现故障，也可能还没有出现故障。因此，我们分为两种情况讨论。第一种情况：第次检查时零件合格，则更换刀具时刀具还未出现故障；第二种情况：在这次检查中，第次检查时就发现是不合格品，那么我们认为在第次检查完以后生产的第个零件时刀具损坏，在这之后生产出的零件全部为不合格品，即故障出现在一个周期的第个零件。由此，我们根据可能出现的两种情况，分别计算出一个周期内每个零件的平均费用。针对问题二：考虑到情况比较复杂，
9、我们将问题分为四种情况，在换刀周期内，工序正常情况下没有检查出不合格的零件，工序正常时检查出了不合格的零件，工序故障时未检查出了不合格零件，工序故障时检查出不合格零件。计算这四种情况下的费用，取单个零件生产费用最低的情况下得检查间隔和换刀周期为最优解。针对问题三：考虑到刀具工作初期产生不合格零件的概率相对较小，采取了变间隔检查的办法，并构造了一递减等差数列作为我们的检查间隔，分情况分概率计算出单个零件生产费用的期望。4.数据分析定义：刀具的寿命是指从换新刀具到该刀具损坏故障这一段时间按内工序完成的零件数4.1刀具的寿命服从正态分布根据附录一给出的数据，我们利用6SQ统计软件对其进行卡方拟合优度
10、检验，得到如下结果（结果见表4.1）：表4.1刀具的寿命服从正态分布的卡方拟合优度检验结果假设检验零假设服从正态分布自由度9卡方统计量2.5218397p值0.9802904显著性水平0.05结果接受零假设根据以上假设检验的结果可知：刀具的寿命服从正态分布。4.2刀具寿命的统计 由附录一中给出的100个统计数据，我们利用6SQ统计软件对其进行统计，统计结果如下（见表4.2）： 表4.2刀具的寿命服从正态分布的统计量统计量数据个数100平均值600标准偏差196.6291695最小值84最大值1153小数位数0区间个数16区间宽度66.875根据以上的统计表可以得到：刀具寿命的期望值，标准差.则
11、该正态分布的密度函数为：正态分布函数为：4.3刀具寿命的正态概率分布 我们将附录一中的100个数据分成16个区间，由刀具损坏故障的随机性大致可以了解刀具寿命的概率分布，结果见下表：表4.3刀具的寿命服从正态分布的概率分布由该正态分布的概率分布图可以看出：数学期望在600左右，波动范围从116.9到1120，说明标准差较大，即：刀具寿命的随机性较强。5.问题一的解答本文研究的是自动化车床管理的数学模型。管理方案设计的优劣我们不能主观臆断，而要确定合理的评价指标进行判断。为此，我们确定以下评价指标：5.1评价指标：单个零件的平均费用一个周期内的单位零件的生产费用，即：一个周期内生产零件的总费用除以
12、周期长，数学表达式为：该指标越小，说明设计方案越好。针对问题一我们建立了模型一。5.2模型一的建立5.2.1确定目标函数该模型是设计出效益最好的检查间隔和刀具更换策略，使单个零件的平均费用最小。由于在定期换刀时，故障可能出现也可能未出现，所以我们分为以下两种情况进行讨论：1. 一个周期内未发现不合格品，即：第次检查时零件全部合格，则一个周期内零件的总费用为：，其中这里表示刀具的寿命，所以服从正态分布，即，是指刀具的寿命大于更换刀具的周期，也就是说，换刀具时工序还未出现故障。2. 第次检查时零件不合格，故障出现在第次与第次检查之间，即生产第个零件时刀具损坏，则一个周期内零件的总费用为： 这里同样
13、服从上述正态分布，表示刀具的寿命在第次和第次之间，即：更换刀具时工序已经出现故障。综上两种情况，我们得到：一个周期内生产的零件的总费用为：我们建立问题一的目标函数为：5.3模型一的求解及结果分析根据上述目标函数，用matlab软件编程以后得到以结果（结果见表5.1）：表5.1检查间隔与平均费用分布表检查次数检查间隔平均费用14025.714324013.17823409.09014407.14975406.10566405.54787395.29558355.13249324.996110304.879111284.777512264.688413254.609014244.539915224
14、.474116214.415217214.361018204.308019194.260120184.219821184.175122174.137723174.099024174.066425164.029126164.001527153.966728153.935529153.911130143.8800由于该分布表涉及到的数据比较多，我们在观察检查间隔和平均费用变化的时候很困难，为此，我们制作出如图5.2的折线图，便于观察每个零件的平均费用的变化趋势。表5.2检查间隔与平均费用的折线图由以上的折线图，我们可以很直观的看出单个零件的平均费用随着检查次数和检查间隔的细微变化。当检查间隔在30
15、左右时，平均费用的变化很小，这时我们基本可以认为每个零件的检查费用已经趋于稳定，且每个零件的平均费用稳定在4元左右，也就是说每生产420个零件就要换刀一次，依照附录一可知：我们的结果是比较合理的。6.问题二的解答6.1评价指标：单个零件的平均费用我们依旧沿用模型一，一个周期内的单位零件的生产费用，即：一个周期内生产零件的总费用除以周期长，数学表达式为：该指标越小，说明设计方案越好。针对问题二我们建立了模型二。6.2模型二的建立6.2.1确定目标函数该模型是设计出效益最好的检查间隔和刀具更换策略，使单个零件的平均费用最小。由于在定期换刀时，故障可能出现也可能未出现，所以我们分为以下三种情况进行讨
16、论：1. 工序正常的概率为：；次检查有次发现不合格产 品，其概率为： 此种条件下的误判费为： 零件不合格损失费为： 检查费为： 换刀费为： 总费用为：2. 故障发生在第个零件的概率为： 直至第次检查零件不合格才换刀 此种条件下的误判费为：为故障前的误判次数，为换刀后的误判次数。零件不合格损失费为：检查费为：换刀费为：调节费为：总费用为：其中：3.工序出现故障，故障发生在第个零件的概率为，但一直未查出故障。此种条件下的误判费为：不合格损失费为：检查费为：换刀费为：总费用为：其中综上所述，我们建立模型二的目标函数为：6.3模型二的解答以及结果分析由于模型二建立的过于复杂，我们得到的目标函数太过冗长
17、，以至于在编程时难度大大增加。我们初步估计得到的结果较粗略，检查间隔为9，换刀周期为378，平均费用为8.52元。7问题三的解答7.1评价指标：单个零件的平均费用我们依旧沿用模型一，一个换刀周期内的单位零件的生产费用，即：一个换刀周期内生产零件的总费用除以周期长，数学表达式为：该指标越小，说明设计方案越好。针对问题三我们建立了模型三。7.2模型三的建立7.2.1目标函数的确定我们按递减等差数列设计检查间隔，每生产个零件检查一次，检查次之后进行换刀，换刀周期为，分为以下两种情况讨论：1. 故障发生在第个零件的概率为：（1）直到第j次才检查到故障的概率为：该种条件按下的零件损失费为： 误判费： 检
18、查费：调整费： 总费用：平均费用：（2）直到必须换刀还未发现工序故障的概率为： 该种条件下的零件损失费为：误判费：检查费：换刀费：总费用:平均费用：2. 工序没有出现故障的概率为：该种条件下的零件损失费：误判费：检查费：换刀费：总费用：平均费用：综上，目标函数为：7.3问题的解答及结果分析对于问题三，实际上就是对问题二的优化，我们将问题二中的等距检查改进为不等间隔检查，以减少检查次数从而使得生产工序的费用期望达到更小。鉴于故障时刀具完成的零件数服从正态分布，再由正态分布图形的特征，知道在开始检查的时候，工序出现故障的可能性较小。最后，我们初步估计计算出工序的检查间隔：第一次检查间隔为156，第
19、二次和第三次检查间隔为104，第四次检查间隔为52，第五次为44而刀具的更换周期不变为378。8.模型的评价、改进及推广8.1模型的评价优点：(1)刀具是否出故障具有随机性，我们通过已给的数据分析知出故障时刀具生产零件数服从正态分布，为此我们建立了随机分布模型，求得的结果与正态分布的特征吻合。(2)对于三个问题，我们确立了一个评价指标，即刀具生产单位数量的平均费用指标，一方面我们求得生产费用少，另一方面要求刀具的寿命长。 (3)根据我们建立的模型及评价指标，可以很好的确立检查间隔和刀具更换周期，以获取更高的经济效益。缺点：对于问题一，我们并没有过多的考虑其他故障所产生的生产费用，导致所得的结果
20、不是很精确。对于问题二，我们设计的模型过于复杂，虽然与实际问题比较接近，但是加大了编程的难度。8.2模型的改进(1)对于问题一，我们在建立模型求解时，没有考虑其他故障引起的损失费用，为此在模型改进过程中，可以将其考虑进去深入研究；(2)对于问题二，我们可根据正态分布的图像特征，可以设计等差式检查间隔，这样可以减少检查费用，使得效益更高；(3) 我们可以确立一个更加优化的评价指标，即刀具生产单位数量合格品的平均费用，这比单一求生产费用最小所得的生产效益更高，一方面我们求得生产费用少，另一方面要求刀具的寿命长(即生产的合格品的数量多)。8.3模型的推广我们建的模型不仅可用于自动化车床管理问题，也可
21、用于其它资源的安排，比如定岗定编、进货等类型。9.误差分析由于刀具的寿命服从正态分布,即：，根据我们对附录一中100次刀具故障记录的统计得出，。可以看到该统计数据的波动范围较广，根据的分布函数求得的故障概率误差较大。参考文献1概率论与数理统计袁荫棠 编，中国人民大学出版社 1990-7-12 数学模型. 姜启源.北京，高等教育出版社,1993,第二版3 MATLAB及其在理工课程中的应用指南. 陈怀琛.西安电子科技大学出版社，第三版4 关于穷举法附录附录一：100次刀具故障记录(完成的零件数)459362624542509584433748815505612452434982640742565
22、7065936809266531644877346084281153593844527552513781474388824538862659775859755649697515628954771609402960885610292837473677358638699634555570844166061062484120447654564339280246687539790581621724531512577496468499544645764558378765666763217715310851附录二：第一问模拟用到的程序：clear,clc,c=zeros(40,30);for m=1:40 for n=1:30 w1=0+(10*n+1000)*(1-normcdf(m*n,600,196.63); for q=1:n w21=0+(10*q+3000)*(normcdf(q*m,600,196.63)-normcdf(q-1)*m,600,196.63) ; end for q=1:n for i=1:m w22=0+200*i*normcdf(q-1)*m+i,600,196.63); end end w2=w21+w22 ; w=w1+w2; c(m,n)=w/m/n; endenddd,ee=min(c)
