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1、第一章 三角形的证明复习,第一章 三角形的证明,“原名” 知多少,定义:对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也就是给出 它们的定义(definition) . 命题:判断一件事情的句子,叫做命题(statement). 每个命题都由条件(condition)和结论(conclusion)两部分组成.条件是已知事项,结论是由已事项推断出的事项. 正确的命题称为真命题(true statement),不正确的的命题称为假命题(false statement).,公理:公认的真命题称为公理(axiom).证明:除了公理外,其它真命题的正确性都通过推理的方法证实. 推理的过程称为证明.定理:经
2、过证明的真命题称为定理(theorem).推论:由一个公理或定理直接推出的定理,叫做这个公理或定理的推论(corollary).推论可以当作定理使用.,“原名” 知多少定义:对名称和术语的含义加以描述,作出明确的,作为证明基础的几条公理,本套教材选用如下命题作为公理 :1、两直线被第三条直线所截,如果同位角相等, 那么这两条直线平行;2、两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;3、两边夹角对应相等的两个三角形全等;4、两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;5、三边对应相等的两个三角形全等;6、全等三角形的对应边相等,对应角相等.,作为证明基础的几条公理本套教材选用如下命题作为公理 :,怎么证明
3、几何命题,证明命题的一般步骤:(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);(2)根据题意,画出图形;(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;(4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”索“因”.);(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证 明过程;(6)检查表达过程是否正确,完善.,提示: 要说明一个命题是假命题,通常可以举出一个例子,使之具备命题的条件,而不具备命题的结论,这种例子称为反例(counter example).,怎么证明几何命题证明命题的一般步骤:提示: 回顾,2.推论: 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合(
4、三线合一).,（1）AB=AC, 1=2(已知).BD=CD,ADBC（等腰三角形三线合一）.,（2）AB=AC, BD=CD (已知).1=2,ADBC（等腰三角形三线合一）,（3）AB=AC, ADBC(已知).BD=CD, 1=2（等腰三角形三线合一）,轮换条件：1=2, ADBC,BD=CD,可得三线合一的三种不同形式的运用.,知识要点回顾,1.定理: 等腰三角形的两个底角相等,简称:等边对等角,D,2.推论: 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上,4.等边三角形的判定：,结论4: 等腰三角形腰上的高线与底边的夹角等于顶 角的一半.,结论5:等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距
5、离 之和等于一腰上的高.,3.等腰三角形有关知识要点:,结论1:等腰三角形两底角的平分线相等.,结论2:等腰三角形两腰上的中线相等.,结论3:等腰三角形两腰上的高相等；,(3).有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.,(1).三条边都相等的三角形是等边三角形.,(2).三个角都相等的三角形是等边三角形.,4.等边三角形的判定：结论4: 等腰三角形腰上的高线与底边的,5.定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于300,那么 这个锐角所对直角边等于斜边的一半,它的逆命题:,ACB=900 , A=300,在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于300.,ACB=
6、900, A=300,5.定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于300,那么它的逆,6.勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜 边的平方.,它的逆定理:,如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.,7.直角三角形全等的判定定理:,斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.,(简称“HL”),8.写出命题：“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题：,有两个角相等的三角形是等腰三角形.,6.勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜它的逆定理:,定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离相等.,9.线段的垂直平分线,它的逆命题:到一条线段两个端点距离相等
7、 的点,在这条线段的垂直平分线上.,MN垂直平分AB(MNAB,AC=BC或P在AB的垂直平分线上)PA=PB,PA=PB(已知),点P在AB的垂直平分线上,定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点9.线段的垂直平,10.角平分线,定理:角平分线上的点到这个角两边的距离相等., PDOA,PEOB , PD=PE 1=2(OP是角平分线或P在AOB的平分线上),逆定理:,在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.,1=2,PDOA,PEOBPD=PE,10.角平分线定理:角平分线上的点到这个角两边的距离相等.,11.定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且 这一点
8、到三个顶点的距离相等.,12.定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且 这一点到三条边的距离相等.,(这一点叫做三角形的外心),(这一点叫做三角形的内心),11.定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且12.定,在本章中你学到了什么,角的平分线,通过探索,猜想,计算和证明得到定理,与等腰三角形、等边三角形有关的结论,与直角三角形有关的结论,与一般的三角形有关的结论,命题的逆命题及其真假,尺规作图,线段的垂直平分线,在本章中你学到了什么角的平分线通过探索,猜想,计算和证明得到,与同伴交流讲述一两个命题的证明思路和证明方法.,提示:能将证明的能力提升一个台阶的前提是:认识 并掌握一定数量的
9、基本图形.,如：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离 相等.,如：等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于一 腰上的高.,如：三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一 点到三个顶点的距离相等.如： ,我能行不只是字面意义,与同伴交流讲述一两个命题的证明思路和证明方法.提示:能将证明,互逆定理与互逆命题,在什么情况下互逆的命题才是互逆的定理?,你能说出一对互逆的命题吗?,一个命题的逆命题的真假性如何?,一个定理的逆命题的真假性如何?,它们的真假性如何?,互逆定理与互逆命题在什么情况下互逆的命题才是互逆的定理?你能,基本作图,作一条线段等于已知线段;,已知三边,两边夹角,两角夹边,斜边直
10、角边作三角形.,作线段的垂直平分线;,作已知角的平分线;,作一个角等于已知角;,作图题的一般步骤: 已知,求作,分析,作法,证明,讨论.,做一做: 任意画一个角,利用尺规将其二等分,四等分.,作图题的要求:能写出规范的作图步骤.,基本作图作一条线段等于已知线段;已知三边,两边夹角,两角夹边,例1:在ABC中,AB=2AC,1=2,DA=DB 求证:DCAC,2,1,A,C,E,F,证明:取AB的中点E,连结DEDA=DB,AE=BEDEAB(等腰三角形三线合一)AB=2AC,E为AB的中点AE=AC在AED和ACD中,AE=AC,1=2,AD=ADAEDACD(SAS)AED=ACD=900即
11、ACDC,或用延长法:延长AC至F使CF=AC,连结DF,小试牛刀,例1:在ABC中,AB=2AC,1=2,DA=DB21,例1:在ABC中,AB=2AC,1=2,DA=DB 求证:DCAC,证明:延长AC至F使CF=AC,连结DFAB=2AC,AC=CFAB=AF1=2,AD=ADADBADF(SAS)DB=BFDA=DBDA=DFAC=CFDCAF(等腰三角形三线合一) 即DCAC,思路探究:除了截短法和延长法外,在等腰三角形中,我们通常作底边的中线或高或顶角平分线,以便使用等腰三角形的性质(三线合一).,小试牛刀,2,1,A,C,F,例1:在ABC中,AB=2AC,1=2,DA=DB证明
12、,在ABC中,C=900,B=300,AD是BAC的平分线,已知 ,求AD的长.,解: C=900,B=300, CAB=600 AD是角平分线 CAD=300,设CD=x,那么AD=2x，在RtACD中，AD2=CD2+AC2,解得：x=2 AD=4,思路探究：本题综合运用了勾股定理，含300角的直角三角形性 质.它们都与直角有关,所以当问题中出现直角条件时, 要善于联想到这些性质.,初露锋芒,在ABC中,C=900,B=300,AD是,作业,、基础作业： 课本33页复习题 第1、2、3、4题2、预习作业： 课本P33页“回顾与思考”,作业、基础作业：,提高证明能力的源泉,1、已知:如图,D
13、,E,F分别是BC,CA,AB上的点, DEBA,DFCA. 求证:FDE=A.,提高证明能力的源泉1、已知:如图,D,E,F分别是BC,CA,2、已知:如图,ADCB,AD=CB. 求证:ABCCDA.,提高证明能力的源泉,2、已知:如图,ADCB,AD=CB.ABCD提高证明能力,3、已知:如图,AB=AC, ABD=ACE. 求证:(1)OB=OC; (2)BE=CD.,提高证明能力的源泉,3、已知:如图,AB=AC, ABD=ACE. ABCE,4、已知:如图,BD,CE是ABC的高,且BD=CE. 求证:ABC是等腰三角形.,提高证明能力的源泉,4、已知:如图,BD,CE是ABC的高
14、,且BD=CE.提高,5、已知:如图,在ABC中, A,B,C的 度数之比是123 , . 求:AC的长.,提高证明能力的源泉,5、已知:如图,在ABC中, A,B,C的提高证明能,6、已知:如图,ANOB,BMOA,垂足分别为 N,M,且OM=ON. 求证:PM=PN.,提高证明能力的源泉,6、已知:如图,ANOB,BMOA,垂足分别为提高证明能,7、已知:如图,MN是线段AB的垂直平分线,C,D 是MN上的点. 求证: (1)ABC,ABD是等腰三角形; (2)CAD=CBD.,提高证明能力的源泉,7、已知:如图,MN是线段AB的垂直平分线,C,D 提高,8、任意作一个钝角,求作它的角平分线.,提高证明能力的源泉,8、任意作一个钝角,求作它的角平分线.提高证明能力的源泉,9、已知线段a, 求作：以a为底,以2a为高的等腰三角形.,提高证明能力的源泉,9、已知线段a,提高证明能力的源泉 作业分析9,
