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1、,6.1 平方根,第六章 实 数,第1课时 算术平方根,导入新课,历史感悟,毕达哥拉斯(公元前570年公元前500年),公元前500多年古希腊的哲学家、数学家、天文学家。,导入新课,万物皆数,导入新课,情境引入,学校要举行美术作品比赛，小明很高兴，他想裁出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？你能帮小明算一算吗？,5 dm,因为 52=25,已知一个正数，求这个正数的平方,这是平方运算.,1,讲授新课,填表：,表1,思考：你能从表1发现什么共同点吗？,4,0. 25,已知一个正数的平方，求这个正数.,表2,表一和表二中的两种运算有什么关系？
2、,1,2,0.6,7,思考：你能从表2发现什么共同点吗？,一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a,那么这个正数x叫做 a的算术平方根.,2,2.下列说法正确的是 .,5是25的算术平方根., 0.01是0.1的算术平方根.,一、算术平方根的概念,a的算术平方根,互为逆运算,平方根号,被开方数,读作：根号a,（a0),怎么用符号来表示一个数的算术平方根？,(x0),二、数学符号表示,1.一个正数的算术平方根有几个？,0的算术平方根有一个，是0.,2.0的算术平方有几个？,负数没有算术平方根.,3.-1有算术平方根吗？负数有算术平方根?,一个正数的算术平方根有1个,合作与交流：,三、算术平
3、方根的性质,判断题：下列各式是否有意义？为什么？,有,有,有,无,练一练,例1 分别求下列各数的算术平方根： （1）100， （2） ， （3）,解:（1）由于102=100，,因此 ；,典例精析,（2）由于 2= ，,因此 ；,（3）由于0.72=0.49，,因此 .,不难看出：被开方数越大，对应的算术平方根也越大.,例2 计算：（1） ； （2） .,解：(1)原式=7+3-1=9；,(2)原式=2+3-4=1.,1）16的算术平方根是_;,4,2,一步运算,两步运算,2） 的算术平方根是_;,例3 填空：,算术平方根具有双重非负性,a的算术平方根,解： 无意义，因为被开方数不是非负数,下
4、列各式中哪些有意义？哪些无意义？为什么？,注意：被开方数为非负数.,练一练,解: 因为|m-1| 0， 0，又|m-1| + =0, 所以 |m-1| =0， =0，所以m=1,n=-3, 所以m+n=1+(-3)=-2.,例4 若|m-1| + =0,求m+n的值.,3.若 ，则a= ；,2.若 ，则m= ；,4.若a-3|+ ，则代数式 =_.,1.若|a+3|=0 ， 则a= ；,-3,7,5,-1,练一练,到目前为止，表示非负数的式子有：a0, |a|0, a2 0, 0,例5：自由下落物体下落的距离h（米）与下落时间t（秒）的关系为 有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面
5、需要多长时间？,解:将h19.6代入公式 ，得 ，所以正数 (秒).即铁球到达地面需要2秒.,1.填空：（看谁算得又对又快） (1) 一个数的算术平方根是3，则这个数是 . (2) 一个自然数的算术平方根为a，则这个自然数 是_；和这个自然数相邻的下一个自然数是 . (3) 的算术平方根为 . (4) 2的算术平方根为_.,3,9,a2,a2+1,当堂练习,2.求下列各数的算术平方根:（1）169； (2) ； (3) 0.0001.,解：(1)因为132 =169,所以169的算术平方根是13， 即,(2)因为 ,所以 的算术平方根是 ， 即,(3)因为0.012 =0.0001,所以0.0
6、001的算术平方根 是0.01，即,3.下列式子表示什么意义？你能求出它们的值吗？,解:设每块地板砖的边长为x m.由题意得故每块地板砖的边长是0.5 m.,4.用大小完全相同的240块正方形地板砖，铺一间面积为60 m2的会议室的地面，每块地板砖的边长是多少？,已知：x+2y|+,求x-3y+4z的值.,解：由题意得：,解得,拓展提升,算术平方根,算术平方根的概念,课堂小结,算术平方根的双重非负性,算术平方根的应用,6.1 平方根,第六章 实 数,第2课时 用计算器求算术平方根及其大小比较,3.你知道 有多大吗?,2.判断下列各数有没有算术平方根？如果有，请求出它们的算术平方根. -36 ,
7、 0.09 , , 0 , 2 , .,-36没有算术平方根.,1.什么是算术平方根？,2的算术平方根是 .,只有非负数才有算术平方根,算术平方根是非负的.,导入新课,复习引入,视频欣赏,思考：从视频中，你能有哪些感悟？如何用尽可能少的次数猜出商品的正确价格？,1.先卡定一个大范围，再逐渐地缩小范围。2.根据高、低提示采用取中间值的方法一步步缩小范围，直到得到正确价格.,有多大呢？,你是怎样判断出 大于1而小于2的？,你能不能得到 的更精确的范围？,大于1而小于2,因为 ， ，而 ，所以 ,思考：,讲授新课,合作探究,zxxkw,如此下去，可以得到 的更精确的近似值.,是一个无限不循环的小数,
8、小数位数无限,且小数部分不循环,事实上，继续重复上述的过程，可以得到,小数位数无限,且小数部分不循环的小数称为无限不循环小数.,一、无限不循环小数的概念,例1：估算 -2的值 () A.在1和2之间 B.在2和3之间 C.在3和4之间 D.在4和5之间,解析：因为421952,所以4 5,所以2 -23. 故选B.,典例精析,B,估计一个有理数的算术平方根的近似值，必 须先判断这个有理数位于哪两个数的平方之间,典例精析,例2 通过估算比较下列各组数的大小： (1) 与1.9； (2) 与1.5.,解：(1)因为54，所以 2，所以 1.9.,(2)因为64，所以 2，所以 =1.5.,比较数的
9、大小，先估计其算术平方根的近似值,例3 小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为32.她不知能否裁得出来，正在发愁.你能帮小丽出她能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？Z,解:由题意知正方形纸片的边长为20cm.,设长方形的长为3x cm,则宽为2x cm.则有,在估计有理数的算术平方根的过程中，为方便计算，可借助计算器求一个正有理数a的算术平方根(或其近似数).,a,=,按键顺序：,规律：被开方数的小数点向右每移动 位,它的算术平方根的小数点就向右移动 位;被开方数的小数点向左每移动 位,它的算术平方根的小数点就向左移动 位
10、.,(1)利用计算器计算下表中的算术平方根,并将计算结果填在表中,你发现了什么规律?你能说出其中的道理吗?,二、算术平方根的规律,(2)用计算器计算 (精确到0.001),并利用你在(1)中发现的规律说出 的近似值,你能根据 的值说出 是多少吗?,1.在计算器上按键 ，下列计算结果正确的是 （ ） A. 3 B. 3 C. 1 D. 1 2. 估计 在 ( ) A. 23之间 B. 34之间 C. 45之间 D. 56之间,B,C,当堂练习,3. 设n为正整数，且n n1，则n的值为( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 84.与 最接近的整数是 ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D.
11、 7,D,C,5.比较大小：,解： 54， ， ， ,用计算器开方,使用计算器进行开方运算,课堂小结,用计算器开方比较数的大小,6.1 平方根,第六章 实 数,第3课时 平方根,1.什么叫做算术平方根？,2.判断下列各数有没有算术平方根，如果有，请求出它们的算术平方根. 100；1； ; 0; 0.0025; (-3)2 ; 25；,导入新课,回顾与思考,（1）32= ，（3）2= ；,（2） ， ；,（3）0.82= ，（0.8）2= .,9,0.64,0.64,3. 填空,9,思考：反过来，如果已知一个数的平方，怎样求这 个数？,问题 如果一个数的平方等于9，这个数是多少？,由于 ，所以这
12、个数是3或-3.,讲授新课,3和-3互为相反数，会不会是巧合呢?,(1) 4的平方等于16，那么16的算术平方根就是_(2) 的平方等于 ，那么 的算术平方根就是_(3) 展厅地面为正方形，其面积是49 m2，则其边长为_m.,你发现了吗,4,7,问题：平方等于16， ，49的数还有吗？,填一填1,写出左圈和右圈中的“？”表示的数：,-11,11,0.6,0,没有,x,2,x,8,-8,4,3,4,3,-,？,？,？,？,？,？,？,？,？,？,-4,-0.6,填一填2,你发现了吗,64,121,0.36,0,根据上述问题，即要找出一个数，使它的平方等于给定的数.我们抽象出下述概念：,如果有一
13、个数x，使得x2=a，那么我们把x叫作a的一个平方根，也叫作二次方根.,例如： (1)2=1，1的平方根为1.,一、平方根的概念,1. 144的平方根是什么？,2. 0的平方根是什么？,3.,的平方根是什么？,4. -4有没有平方根？为什么？,0,没有，因为一个数的平方不可能是负数,试一试,通过这些题目的解答，你能发现什么?,问题：（1）正数有几个平方根？ （2）0有几个平方根？ （3）负数呢？,有没有一个数的平方是负数？,想一想,因为任何实数的平方都为非负数，所以负数没有平方根，也没有算术平方根.,平方根的性质： 1.正数有两个平方根，两个平方根互为相反数. 2.0的平方根还是0. 3.负数
14、没有平方根.,要点归纳,判断下列说法是否正确，并说明理由（1）49的平方根是7；（2）2是4的平方根；（3）-5是25的平方根；（4）64的平方根是8；（5）-16的平方根是-4,典例精析,例1 一个正数的两个平方根分别是2a1和a4， 求这个数,解：由于一个正数的两个平方根是2a1和a4， 则有2a1a40，即3a30， 解得a1. 所以这个数为(2a1)2(21)29.,方法归纳：一个正数有两个平方根，它们互为 相反数.,+1-1+2-2+3-3,149,已知一个数，求它的平方的运算，叫作平方运算.,回顾平方的概念,+1-1+2-2+3-3,149,反之，已知一个数的平方，求这个数的运算是
15、什么？,求一个数的平方根的运算叫作开平方.,二、开平方的概念,例2 分别求下列各数的平方根： 36， ，1.21.,解 由于62=36，,因此36的平方根是6与-6.,36是正数,（1）36,有两个平方根,即,典例精析,（2）,解: 由于 2= ，,有两个平方根,因此 的平方根是 与 .,解: 由于1.12=1.21，,有两个平方根,（3）1.21,因此1.21的平方根是1.1与-1.1.,即,即,表示a的正的平方根,表示a的负的平方根,记作,aa0的平方根表示为,一个非负数的平方根的表示方法：,(算术平方根),三、平方根的数学符号表示,说一说,各表示什么意义？,表示7的正的平方根（即算术平方
16、根）,表示7的负的平方根,表示7的平方根,例3求下列各式的值：,解：（1） ；,（2） ；,（3） .,典例精析,归纳总结,1.包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.,平方根与算术平方根的联系与区别：,2.只有非负数才有平方根和算术平方根.,3. 0的平方根是0，算术平方根也是0.,区别：,1.个数不同：一个正数有两个平方根， 但只有一个算术平方根.,联系：,当堂练习,2.下列说法不正确的是_A.0的平方根是0 B. 的平方根是2C.非负数的平方根互为相反数D.一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数,1.下列说法正确的是_ -3是9的平方根; 25的平方根是5; -36
17、的平方根是-6; 平方根等于0的数是0; 64的算术平方根是8.,B,3. 判断下列说法是否正确.,正确.,（4）(-4)2的平方根是-4.,（1） 是 的一个平方根；,（2） 是6的算术平方根；,（3） 的值是4；,正确.,不正确，是 4.,不正确，是 4.,4. 分别求 64， ，6.25的平方根.,解:（1）,（2）,5.求下列各式的值：,（1）,（2）,（3）,（3）,平方根,平方根的概念,课堂小结,开平方及相关运算,平方根的性质,6.2 立方根,第六章 实 数,导入新课,某化工厂使用半径为1米的一种球形储气罐储藏气体，现在要造一个新的球形储气罐，如果要求它的体积必须是原来体积的8倍，
18、那么它的半径应是原来储气罐半径的多少倍？,情境引入,讲授新课,问题：要做一个体积为27cm3的正方体模型（如图），它的棱长要取多少？你是怎么知道的？,解：设正方体的棱长为x,则,这就是要求一个数,使它的立方等于27.,因为,所以 x=3. 正方体的棱长为3.,想一想 (1)什么数的立方等于-8？(2)如果问题中正方体的体积为5cm3，正方体的边长又该是多少？,-2,立方根的概念,一般地，一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根，也叫做a的三次方根记作 .,立方根的表示,一个数a的立方根可以表示为:,根指数,被开方数,其中a是被开方数，3是根指数，3不能省略.,读作:三次根号 a，,填一填：
19、根据立方根的意义填空：,因为 =8，所以8的立方根是（）；,因为( )3 =0.125,所以0.125的立方是（ ）；,因为( )3 0，所以0的立方根是（）；,因为 ( )3 8，所以8的立方根是（ ）；,因为( )3 ，所以 的立方根是（ ）.,0,2,-2,0,-2,立方根的性质,一个正数有一个正的立方根；,一个负数有一个负的立方根，,零的立方根是零.,立方根是它本身的数有1, -1, 0；平方根是它本身的数只有0.,知识要点,每个数a都有一个立方根，记作 ，读作“三次根号a”. 如：x3=7时，x是7的立方根,注意:这个根指数3绝对不可省略.,类似开平方运算，求一个数的立方根的运算叫作
20、“开立方”.,注：“开立方”与“立方”互为逆运算,典例精析,例1 求下列各数的立方根:,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,(5) -5的立方根是,（3）,（4）0.216;,（5）5.,因为 =_， =_，所以 _ ;因为 =_， =_，所以 _ ;, 2, 2,=, 3, 3,=,你能归纳出立方根的另一性质吗？,两个，互为相反数,一个，为正数,0,0,没有平方根,一个，为负数,平方根与立方根的区别和联系,可以为任何数,非负数,典例精析,例3 计算： .,解：原式=3+2-(-1) =5+1=6.,例2 的算术平方根是 .,2,例4 用计算器求下列各数的立方根：343，-1.331.,由
21、于一个数的立方根可能是无限不循环小数,所以我们可以利用计算器求一个数的立方根或它的近似值.,不同的计算器的按键方式可能有所差别！,例5 用计算器求 的近似值（精确到0.001）.,用计算器计算， ， ， ， ，你能发现什么规律？用计算器计算 （精确到0.001），并利用你发现的规律求 ， ， 的近似值.,= 6,= 0.6,= 0.06,= 60,小结：被开方数的小数点向左或向右移动3n位时立方根的小数点就相应的向左或向右移动n位（n为正整数）.,当堂练习,0.5,-3,10,1,2.比较3，4， 的大小.,解：33 = 27，43 = 64,因为27 50 64,所以3 4,3.立方根概念的
22、起源与几何中的正方体有关，如果一个正方体的体积为V，那么这个正方体的棱长为多少？,解：,4.求下列各式的值.,（1）,（2）,（3）,（4）,= 0.3,=,=,=,=,=,5.比较下列各组数的大小.,（1） 与2.5;（2） 与 .,解：因为 = 92.53 = 15.625所以 15.625所以 2.5,因为 = 3所以 3 所以 ,若 =2， =4，求 的值.,解： =2， =4.x = 23，y2 = 16,x = 8，y = 4.x + 2y = 8 + 24 = 16 或 x + 2y = 8 24 = 0. = = 4 或 = = 0.,拓展提升,性质,定义,正数的立方根是正数，
23、负数的立方根是负数；0的立方根是0.被开方数的小数点向左或向右移动3n位时立方根的小数点就相应的向左或向右移动n位（n为正整数）.,用计算器计算,立方根,课堂小结,6.3 实 数,第六章 实 数,第1课时 实 数,导入新课,数学危机,思考： 属于哪一类数呢？,问题1 我们知道有理数包括整数和分数，利用计算器把下列分数写成小数的形式，它们有什么特征？,它们都可以化成有限小数或无限循环小数的形式,讲授新课,问题2 整数能写成小数的形式吗？3可以看成是3.0吗？,可以,思考 由此你可以得到什么结论？,有理数都可以化成有限小数或无限循环小数的形式.,反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.,叫
24、做无理数.,想一想：所有的数都可以写成有限小数和无限循环小数的形式吗？,=3.1415926535897932384626,无限不循环小数,不是.如：,思考： 是无理数吗？2.020 020 002 000 02是无 理数吗？,2.02002000200002,常见的一些无理数：(1)含 的一些数；(2)含开不尽方的数；(3)有规律但不循环的小数,如1.01001000100001,它们都是无限不循环小数，是无理数,把下列各数分别填入相应的集合内：,0.101，,有理数集合,无理数集合,思考：我们将有理数和无理数统称为实数，仿照有 理数的分类吗？据此你能给实数分类吗？,无理数：无限不循环小数,
25、有理数：有限小数或无限循环小数,实 数,（1）按定义分,分数,整数,女孩子,男孩子,妈妈,含开方开不尽的数,有规律但不循环的小数,含有 的数,负实数,正实数,数实,正有理数,负有理数,（2）按性质分,0,正无理数,负无理数,有理数：,负实数：,正实数：,例1 将下列各数分别填入下列相应的括号内：,典例精析,对每个数都要进行判断，分类标准不同结果不同.,试一试,你能分辩下列各数是哪个家庭的成员吗?试试看？,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,.,正数,负数,思考1： 如图，直径为个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上一点从原点到达A点，则数轴上表示点A的数是多少？,因为圆的周长为,
26、所以数轴上点A表示的数是无理数.,A,思考2：你能在数轴上表示出 和 - 吗？,1,1,1,1,把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，得到一个大正方形，大正方形的边长为 ，从而说明边长为1的小正方形的对角线为 .,-,每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；,反过来，数轴上的每一点都表示一个实数.,实数和数轴上的点是一一对应的.,视频：在数轴上表示 和,例2：如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别为1和 ，点B关于点A的对称点为C，求点C所表示的实数,解：数轴上A，B两点表示的数分别为1和 ，点B到点A的距离为1 ，则点C到点A的距离为1 ，设点C表示的实数为x，则点A到点C的距离为1x，1x1
27、 ，x2,方法总结,本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，其中利用了：当点C为点B关于点A的对称点时，点C到点A的距离等于点B到点A的距离；两点之间的距离为两数差的绝对值,例3：如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别为 和5.1，则A，B两点之间表示整数的点共有()A6个 B5个 C4个 D3个,解析： 1.414， 和5.1之间的整数有2，3，4，5， A，B两点之间表示整数的点共有4个,C,【方法总结】数轴上的点与实数一一对应，结合数轴分析，可轻松得出结论,与有理数一样，实数也可以比较大小：,与有理数规定的大小一样，数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.,1.正数大于零，负数小
28、于零，正数大于负数；2.两个正数，绝对值大的数较大；3.两个负数，绝对值大的数反而小.,与有理数一样，在实数范围内：,，2可以分别看作是面积为5，4的正方形的边长，容易说明：面积较大的正方形，它的边长也较大，因此,同样，因为59，所以,不用计算器， 与2比较哪个大？与3比较呢？,典例精析,例4 在数轴上表示下列各点，比较它们的大小， 并用“”连接它们.,1,-2,-2 1 ,例5 估计 位于（ ）,A.01之间 B.12之间 C.23之间 D.34之间,B,熟记一些常见数的算术平方根；或用计算器估计.,例6 比较下列各组数的大小：,解 ： （1）因为 12 42， 所以 4， 所以 1 3；,
29、（2）因为 10 32 ， 所以 所以,为什么？,为什么？,1.下列说法正确的是（ ）A.a一定是正实数 B. 是有理数C. 是有理数 D.数轴上任一点都对应一个有理数,B,当堂练习,2.有一个数值转换器，原理如下，当输x=81时，输出 的y是 （ ）,是有理数,A.9 B.3 C. D.3,C,3.判断快枪手看谁最快最准！,（1）实数不是有理数就是无理数. （ ）,（2）无理数都是无限不循环小数. （ ）,（4）无理数都是无限小数. （ ）,（3）带根号的数都是无理数. （ ）,（5）无理数一定都带根号. （ ）,4.把下列各数填入相应的括号内：,（1）有理数： ,（2）无理数： ,（3）整
30、数： ,（4）负数： ,（5）分数： ,（6）实数： ,5. 比较 与6的大小.,实数,无理数的概念,实数的概念,实数的分类,实数的数轴表示,课堂小结,实数的大小比较,6.3 实 数,第六章 实 数,第2课时 实数的性质及运算,有理数中的几个重要概念:,导入新课,回顾与思考,思考：无理数也有相反数吗？怎么表示？有绝对值吗？怎么表示？有倒数吗？怎么表示？,在实数范围内 ，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样例如：,与 互为相反数,与 互为倒数,讲授新课,例1：分别求下列各数的相反数、倒数和绝对值,解：(1) 4， 的相反数是4，倒数是 ，绝对值是4.(2)
31、 15， 的相反数是15，倒数是 ，绝对值是15.(3) 的相反数是 ，倒数是 ，绝对值是 .,典例精析,练一练,1. 的相反数是 ， 的相反数是 ， 的相反数是 .,2. -的绝对值是 ， = ， = .,1.a是一个实数，实数a的相反数为-a.,2.一个正实数的绝对值是它本身； 一个负实数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0.,总结归纳,解: 因为所以， 的相反数分别为由绝对值的意义得：,例2 求下列各数的相反数和绝对值：,（1）求 的相反数，,（2）已知 ，求a.,解：(1)因为 ，3的相反数是-3，所以 的相反数是-3.,(2)因为 ， ,所以a的值是 和 .,练一练,填空：设a，b
32、，c是任意实数，则,（1）a+b = （加法交换律）；,（2）(a+b)+c = （加法结合律）；,（3）a+0 = 0+a = ；,（4）a+(-a) = (-a)+a = ；,（5）ab = （乘法交换律）；,（6）(ab)c = （乘法结合律）；,b+a,a+(b+c),a,0,ba,a(bc),（7） 1 a = a 1 = ；,a,（8）a(b+c) = （乘法对于加法的分配律）， (b+c)a = （乘法对于加法的分配律）；,（9）实数的减法运算规定为a-b = a+ ；,（10）对于每一个非零实数a，存在一个实数b，满足ab = ba =1，我们把b叫作a的；,（11）实数的除法
33、运算（除数b0），规定为 ab = a ；,（12）实数有一条重要性质：如果a 0，b 0， 那么ab0.,ab+ac,ba+ca,(-b),倒数,每个正实数有且只有两个平方根，它们互为相反数.0的平方根是0.,在实数范围内，负实数没有平方根.,在实数范围内，每个实数有且只有一个立方根，而且与它本身的符号相同.,实数的平方根与立方根的性质：,此外，前面所学的有关数、式、方程的性质、法则和解法，对于实数仍然成立.,总结归纳,例3 计算（结果保留小数点后两位）：,【方法总结】在实数运算中，如果遇到无理数，并且需要求出结果的近似值时，可按要求的精确度用相应的近似有限小数代替无理数，再进行计算.,例4 计算下列各式的值：,典例精析,1.判断：,(1) （ ）,(2) 的绝对值是 ； （ ）,(3) 的相反数是 . （ ）,当堂练习,2.下列各数中，互为相反数的是( )A.3 与 B. 与C. 与 D. 与,C,5.- 是 的相反数;-3.14的相反数是 .,3. 的值是( )A.5 B.-1 C. D.,C,3.14-,4.比较大小：（1） ;（2） 4.,6.计算,（1）,（2）,（3）,=4,实数,在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义和有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义完全一样.,实数的大小比较,课堂小结,
