简单随机抽样与抽样分配.docx

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1、第9章 簡單隨機抽樣與抽樣分配A. 一般練習題9.1 一個抽樣調查以電話簿中的電話號碼來隨機抽樣，並從事電話訪問，這種抽樣方法會漏掉所有沒裝電話的人。這是非抽樣誤差還是抽樣誤差的來源。 解 非抽樣誤差。9.2 某大學學務處從大學部學生名單當中，隨機抽取了100個學生來訪問，聽取他們對大學生活的意見。若他們同時隨機抽取了兩組100人的簡單隨機樣本，從這兩個樣本得出的結果，恐怕會有些不一樣。這種變異是抽樣誤差或是非抽樣誤差的來源？ 解 抽樣誤差。9.3.一個生日宴會中有30個滿20歲的學生以及20個未滿20歲的學生。你從滿20歲的當中隨機抽出3個，另外從未滿20歲的當中隨機抽出2個，然後問他們對喝

2、酒的看法，請問此時每位學生被抽中的機率為何？此種抽樣方法是簡單隨機抽樣嗎？為什麼？這種是何種抽樣方法？ 解 均為，不是簡單隨機抽樣，而是分層抽樣，因為此時的抽樣方法是將母體分為二層，再自各層中按比例抽取，此時的抽樣方法未能使所有可能抽出的樣本抽出的機率均相等，例如此時5個滿20歲的學生的樣本不可能被抽出。9.4. 何謂抽樣誤差與非抽樣誤差？試舉例說明之。 解 請參閱課本第271272頁。9.5 試分別說明簡單隨機抽樣、分層隨機抽樣、部落抽樣及系統抽樣四種抽樣方法適用的情形，並說明這些抽樣方法的優缺點。 解 請參閱課本第275278頁及第305310頁。9.6 設有一母體之機率分配如下：2690

3、.30.20.5若自該母體以抽出放回之方式隨機抽二個樣本，表為（）：求之抽樣分配。求之期望值及變異數，其與母體之均數及變異數間有何關係？ 解 X的機率分配表為：X269f(X)0.30.20.5的聯合機率分配表為：26920.090.060.1560.060.040.190.150.10.25的機率分配為：20.0940.125.50.360.047.50.290.25母體X之平均數與變異數為：與母體X之平均數及變異數之關係為：，其中n為樣本數。9.7 謂中央極限定理？說明中央極限定理的重要性。 解 請參閱課本第289頁。9.8 盒中放有4球，其編號分別是1、2、3、4，今自此盒中隨機抽出2球

4、（採抽出不放回法），令、為其編號數，且：求之抽樣分配。求與。 解 組合(1,2)(1,3)(1,4)(2,3)(2,4)(3,4)1.522.52.533.51/61/61/61/61/61/69.9 武陵某農場生產水梨，其重量為一常態分配，平均數為560公克，標準差為20公克，試求下列各小題：水梨重量大於580公克的機率。抽取16個水梨，16個水梨平均重量大於580公克的機率。若10個水梨裝成一盒，問一盒水梨重量的平均數與變異數為何？若要求一盒的水梨重量要在55005700之間時，則有多少箱的水梨不符合規定？ 解 9.10 某蛋行所用的塑膠袋，一個最多只能裝1,250公克的東西。設該蛋行所賣

5、的雞蛋的重量為一平均數60公克，標準差4公克的常態分配。某人買了20個雞蛋，請問塑膠袋會破掉的機率為多少？續上題，設又知該蛋行所賣的鴨蛋的重量為一平均數為70公克，標準差為6公克的常態分配。某人買了12個雞蛋與6個鴨蛋，請問塑膠袋會破掉的機率為何？ 解 令X表20個雞蛋的重量，塑膠袋會破掉的機率為0.0026。令Y表12個雞蛋和6個鴨蛋的重量，塑膠袋會破掉的機率很小，幾乎為0。9.11 已知某紡織公司員工為200人，其平均年資為10年，標準差為6年。若以抽出放回的方式隨機抽取49人，求這49人的平均年資介於9與11年之間的機率。若以抽出不放回的方式隨機抽取49人，求這49人的平均年資介於9與1

6、1年之間的機率。 解 母體的分配未知，但為大樣本，故可用中央極限定理求解。此49人平均年資X的分配趨近於，此49人平均年資X的分配趨近於，。9.12 設某一國的國民中，習慣用左手的人佔總人數的30%。若隨機抽選25名該國人民，試問其中習慣用左手的人的比例的分配為何？若隨機抽選225名該國人民，試問其中習慣用左手的人的比例的分配趨近何種分配？其平均值、變異數、偏態係數、峰態係數各為何？續題2，試問其比例落在母體比例0.08之間的機率為何？ 解 為二項分配趨近常態分配，平均數，變異數。偏態係數，峰態係數9.13 A牌手錶的平均使用年限為8年，標準差為1.4年，B牌手錶的平均使用年限為9年，標準差為

7、1.9年。若將A、B兩種牌子的手錶各選出64個樣本，求B牌手錶平均使用年限比A牌手錶長1.5年的機率。 解 令與分別表示A牌與B牌手錶的樣本平均使用年限。雖然母體分配未知，但樣本數夠大，故由中央極限定理可知：，9.14 大熹食品公司在其出品的豆乾上標示平均重量為250公克，標準差為5公克。為驗證該公司之標示是否屬實，消基會前往抽查100包豆乾，試問：以標示重量為中心試求100包豆乾的平均重量涵蓋90%的範圍。這100包豆乾的平均重量為小於248公克的機率為何？ 解令表這100包豆乾的平均重量。雖然不知母體的分配為何，但樣本數夠大，故由中央極限定理可得，90%的範圍是249.1775公克250.

8、8225公克。9.15 某農場出產的蜂蜜，每瓶重量呈常態分配，平均重量為500公克，標準差為24公克。一食品檢驗單位抽檢16瓶該農場的蜂蜜，試問：該16瓶蜂蜜的平均重量在490至510公克之間的機率為多少？該16瓶蜂蜜的平均重量在多少公克以上的機率為0.1？ 解 令表16瓶蜂蜜的平均重量，。9.16 假設一公司的生產線上每天約產生0.05的瑕疵品，該公司的品管部門每天都要抽驗100個成品，若抽驗的成品中有超過8%為瑕疵品，則當天所有的成品均作廢。試問：每天抽驗成品中瑕疵品比例的分配為何？每天抽驗成品中瑕疵品的比例超過0.06的機率為何？300工作天中約有幾天的成品須作廢？ 解 令表抽驗的成品中

9、瑕疵品所佔的比例，為二項分配因抽驗成品數夠大，由中央極限定理知趨近常態分配：，約有38天的成品須作廢。9.17 假設若有一母體包含6個值：1 2 3 4 5 6。將此6值視為一組樣本，求其標準差。若自此母體中抽出之隨機樣本，並假設抽出放回，求樣本平均數的平均數及變異數。若抽出不放回，則其樣本平均數的平均數及變異數又為何？ 解 。，。B. 應用題9.18 臺北市”110”報案電話受理刑事案件，民國89年1至12月每月受理件數如下表：月份123456789101112件數692612691644679636661807791846846958資料來源：臺北市警務統計年報，臺北市政府警察局，2001

10、年7月。該年平均每月受理多少刑事案件？ 若隨機選取2、3、5、7、8、9月的資料為一組樣本，則由此組樣本所得的每月受理案件數為多少？抽樣誤差為多少？若隨機選取3、4、5、11月的資料為另一組樣本，則由此組樣本所得的每月受理案件數為多少？抽樣誤差又為多少？ 解 臺北市”110”報案電話受理刑事案件，民國89年1至12月每月受理件數如下表：月份一二三四五六七八九十十一十二件數692612691644679636661807791846846958(資料來源：臺北市警務統計年報，臺北市政府警察局，2001年7月)該年平均每月受理739件刑事案件。 第一組樣本所得的每月受理案件數為709件抽樣誤差(件

11、)第二組樣本所得的每月受理案件數為715件抽樣誤差(件)9.19 臺閩地區領有身心障礙者手冊之身心障礙者的平均月薪為25,881，標準差為19,150元。（資料來源：身心障礙者生活需求調查報告（就業服務與職業訓練篇），內政部統計處、行政院衛生署、行政院勞工委員會，2001年1月，標準差為分組資料估算值，。）現隨機選取144位領有身心障礙者手冊之人為樣本，請問：平均月薪的分配為何？平均月薪超過30,000元的機率為何？平均月薪不到25,000元的機率為何？ 解 母體分配未知，但樣本數夠大()，所以根據中央極限定理，平均月薪的分配為常態分配，其平均數與標準差為：平均月薪超過30,000元的機率僅0

12、.0049。平均月薪不到25,000元的機率為0.2912。9.20 受桃芝颱風影響，90年8月份菜價飆漲，臺北市第一、第二果菜批發市場90年8月份青蔥的平均批發價為每公斤59.4元，標準差為9元。（資料來源：標準差為估算值，果菜運銷統計月報，臺北農產運銷股份有限公司，2001年8月。）為監督菜價，一民間消費者團體於8月份派員赴臺北市第一、第二果菜批發市場抽查菜價，其中青蔥部份共取樣16件。假設青蔥每公斤的批發價為常態分配，問：樣本青蔥每公斤平均批發價的分配為何？樣本青蔥每公斤的平均批發價超過65元的機率為何？樣本青蔥每公斤的平均批發價介於55元和58元之間的機率為何？ 解 令表示樣本青蔥每公

13、斤的平均批發價，因母體為常態分配，故樣本青蔥每公斤平均批發價的分配亦為常態，其平均數與標準差為：樣本青蔥每公斤的平均批發價超過65元的機率為0.0064。 樣本青蔥每公斤的平均批發價介於55元和58元之間的機率為0.2426。9.21 89學年度臺北市國中老師的年資為一右偏分配，平均年資約14.5年，標準差約9年。（資料來源：平均數和標準差為分組資料估算值，臺北市教育統計，臺北市政府教育局，2001年6月。）隨機抽選40位國中老師為第一組樣本，其平均年資的分配為何？續題，平均年資超過16年的機率為何？再隨機抽選40位國中老師為第二組樣本，兩組樣本互為獨立，則兩組樣本的平均年資皆超過16年的機率

14、為何？ 解 令表示第一組樣本的平均年資，因樣本數夠大()，所以根據中央極限定理，平均年資的分配為常態分配，其平均數與標準差為：即平均年資的分配為,。平均年資超過16年的機率為0.1423。 因兩組樣本互為獨立，所以兩組樣本的平均年資皆超過16年的機率為：。9.22 內政部統計，民國88年底台灣地區共有志願工作者45,029人，其中女性占絕大多數，有31,517人。（資料來源：內政統計分析專輯，內政部統計處，2001年1月。）現隨機抽選60位志工，發現其中有40位是女性。問全體志工中女性所占比例為何？樣本比例又是多少？抽樣誤差有多大？ 解 全體志工中女性所占比例為樣本比例為抽樣誤差9.23 依據

15、健保局統計，民國89年全年，未依規定期限繳交健保費的案件計995,107筆，其中42.56%有補繳。（資料來源：全民健康保險統計，中央健康保險局，2001年6月。）隨機抽選160件案例，試問其中會補繳的比例的分配為何？續題，其比例超過50%的機率為何？續題，其比例介於40%45%的機率為何？ 解 樣本比例的抽樣分配因母體相對於樣本很大，根據中央極限定理知其趨近於常態分配：的標準差計算可得：即其中會補繳的比例的分配為比例超過50%的機率為0.0281。 其比例介於40%45%的機率為0.4811。9.24 中華血液基金會資料顯示，民國89年全國捐血人口中，血液為O型者約占44%。（資料來源：中華

16、血液基金會網站。）一捐血站每天約有250位捐血者來捐血，問其中O型血所占比例的分配為何？O型血所占比例小於35%的機率為多少？若一日內捐O型血的比例少於35%就可能發生缺O型血的危機，問一年365天中會發生缺O型血危機的日子預期有幾天？ 解 樣本比例的抽樣分配因母體相對於樣本很大，根據中央極限定理知其趨近於常態分配：的標準差計算可得：捐血人中血液為O型者所占比例的分配為要求O型血所占比例小於35%的機率，須先求Z值再求標準常態分配機率值：捐血人中血液為O型者所占比例小於35%的機率為0.0013一年365天中會發生缺O型血危機的日子預期有天，不滿一天，故不必太擔心缺O型血的問題。9.25 搭乘

17、台鐵的乘客數逐年增加，但每人平均乘車公里數卻逐年下降。89年每人平均乘車公里數為55.2公里，較72年最高峰時的65.5公里減少10.3公里。（資料來源：台灣鐵路統計年報，台灣鐵路管理局，2000年。）若每人平均乘車公里數的標準差為20公里，問：隨機抽選300位乘客為一組樣本，其平均乘車公里數介於52及55公里間的機率為何？續題，平均乘車公里數超過60公里的機率為何？ 解 令表示樣本平均乘車公里數，因樣本數夠大()，所以根據中央極限定理，平均年資的分配為常態分配，其平均數與標準差為：平均乘車公里數介於52及55公里間的機率為0.4298。平均乘車公里數超過60公里的機率趨近於0。9.26 在學

18、校實習儲金郵局開戶的戶數89年有694,977戶，平均每個帳戶的儲金餘額有2,422元，標準差為1,100元。（資料來源：標準差為虛擬，郵政統計要覽，交通部郵政總局，2001年6月。）現隨機選取35位有在實習郵局開戶的學生為一組樣本，問：樣本儲金餘額總和的分配為何？樣本儲金餘額總和超過十萬元的機率為何？樣本儲金平均餘額的分配為何？樣本儲金平均餘額介於2,000元和2,500元之間的機率為何？ 解 令表示每一個學生的儲金餘額則表35位學生的儲金餘額總和因樣本數夠大()，根據中央極限定理，儲金餘額總和的分配為常態分配，其平均數與標準差為：即,儲金餘額總和超過100,000元的機率為0.0096。令

19、表示樣本儲金平均餘額，因樣本數夠大()，所以根據中央極限定理，樣本儲金平均餘額的分配為常態分配，其平均數與標準差為：即樣本儲金平均餘額的分配為,。樣本儲金平均餘額介於2,000元和2,500元之間的機率為0.6512。9.27 比較臺北市和高雄市的消防人員，會發現高雄市的消防人員較臺北市的消防人員年紀大一些。根據內政部89年底的資料，北、高兩市消防人員的平均年齡分別為30.4歲及35.5歲，標準差分別為9.3歲及7.9歲。（資料來源：平均年齡及標準差皆為分組資料估算值，內政統計年報，內政部統計處，2001年9月。）已知臺北市消防人員的年齡分配為右偏分配，高雄市消防人員的年齡分配為常態分配，問：隨機選取36位臺北市消防人員，其平均年齡超過35.5歲的機率為何？隨機選取25位高雄市消防人員，其平均年齡不到30.4歲的機率為何？ 解 令表示36位臺北市消防人員的平均年齡；母體分配未知，但樣本數夠大()，所以根據中央極限定理，平均年齡的分配為常態分配，其平均數與標準差為：36位臺北市消防人員平均年齡超過35.5歲的機率幾乎為0。令表示25位高雄市消防人員的平均年齡；母體分配為常態，所以平均年齡的分配亦為常態分配，其平均數與標準差為：25位高雄市消防人員平均年齡不到30.4歲的機率幾乎為0。