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1、1,机械振动,天津理工大学理学院物理系,2,物体或物体的一部分，在平衡位置附近来回地作周期性运动，叫做机械振动，简称振动。,振动现象是多种多样的，它在自然界中是广泛存在的。,机械振动,摆的运动、心脏的跳动、气缸中活塞的运动等,简谐振动,最简单、最基本的振动,一切复杂的振动都可以分解为若干个简谐振动,3,用激光时间平均法得到的小提琴全息振动模式图,4,纸锥扬声器的振动模式,5,设物体在位置零处时，没被拉长也未被压缩，这时物体在水平方向上不受力的作用，此位置就叫做平衡位置。,弹簧振子,一轻弹簧一端固定，另一端系一物体，放在光滑的水平桌面上。将物体稍微移动后，物体就在弹性力的作用下来回自由振动。,平
2、衡位置,一 弹簧振子的谐振动,6,以此为坐标原点，水平直线为x轴，并设向右为正。当物体相对于平衡位置有一位移x时，无论是在平衡位置的左方还是右方，物体都将受到一个弹性力的作用，此时弹簧被伸长或压缩。根据虎克定律，物体所受到的弹性力与位移成正比，且永远指向平衡位置，因此有,负号表示力和位移的方向相反，即弹性力的方向永远指向坐标原点。,弹簧的倔强系数,7,位移为零，受力为零，所以加速度为零，但此时速度最大。,由于作谐振动的物体所受到的弹性力永远指向平衡位置，所以它的运动总是一种不断重复着的周期性运动。,物体在左右两个端点,位移最大，因此所受力的数值最大，加速度亦最大(f=ma)。但由于物体静止，其
3、速度为零；,物体在原点处,8,以弹簧振子为例，由于,即,知,令,则,或,二 谐振动的运动方程与基本特征,9,对于其它形式的简谐振动，例如单摆，其方程形式与此相同，只不过是变量位移x为其它物理量而已。,此方程的解用余弦函数来表示为,式中A和是两个积分常数。此式和上式一样都可称为谐振动的运动方程。,弹簧振子所作谐振动的微分方程式,10,物理意义,设=0，上式可写成,随着时间的推移，m的位移x在数值A到-A之间作往复周期性的变化，即振动。,11,还可看出，当 t=0 时,当 t=2/ 时,（P点）,（P点）,这正是作谐振动的物体往复运动了一次,振动物体离开平衡位置的最大位移,振幅A,12,物体往复运
4、动一次所需的时间,频率,振动的圆频率,周期,13,谐振动的基本特征,并不是所有的振动都是简谐振动，只有满足于一定条件的振动才是简谐振动。,谐振动的微分方程,它是由下式得到的,此方程的解,物体所受的力或物体的加速度与位移成正比而方向相反是谐振动的基本特征。任何一个物体的运动只要具有这个特征即满足于上述方程，则必遵循x=Acos(t+)这一运动方程而作简谐振动。,14,由三角学知,令,则有,此时有,此式与,等效,上述两式都是微分方程的解，也就都可以作为简谐振动的运动方程。为了初学的便利，一般采用余弦形式。,15,谐振动的速度和加速度,已知简谐振动的位移,则物体的运动速度,加速度,物体作简谐振动时，
5、不但它的位移随时间作周期性变化，它的速度和加速度也随时间作周期性变化。,16,设有一长度等于A的矢量,三 参考圆（旋转矢量）谐振动的位相,在图示平面内绕原点以角速度逆时针旋转（与圆频率等值）。矢径端点M在空间的轨迹是一圆。M在0 x轴上的投影P点就在0 x轴上作往复运动。,M点,t=0时刻在位置M0,矢径A与 0 x 轴的夹角是 ,17,在以后任一时刻t，M点的位置矢径与0 x轴的夹角为（t+）。考察M点在0 x轴上的投影点P的运动，易看出在任一时刻t，A在0 x轴上的投影是：,18,此结果正说明P点在0 x轴上作谐振动。反过来说，任何一个谐振动都可以想象为某一相应参考圆上M点的投影，M点就叫
6、参考点。,谐振动的运动方程,19,数值上等于它所对应的参考圆的半径,当然振动中并不存在角速度问题，但联系参考圆来理解是很方便的。,振幅矢量A,谐振动的周期,M点绕圆周运动一周所需的时间（即P点往复运动一次所需的时间）,圆频率,M点的角速度,20,现在已知,运动方程,速度,加速度,都包含有（t+）项，括号中的整体具有角度量纲（弧度）称为相位或周相。在振动过程中，相位（t+）随时间变化，当相位变化2时，作振动的质点就完成一次全振动。当振幅A为已知时，任一时刻的相位可完全决定这一时刻的位置和速度。,初相,t = 0时的相位,它决定开始计时时的位置和速度,21,相位与初相位,22,当位移为零时，加速度
7、也为零，但速度的数值最大；而当加速度的数值最大时，位移的数值也最大，但加速度与位移的方向相反，此时速度等于零。,谐振动的x、v、a与t 的关系图,三者的周期相同，但在同一时刻三者的相位不同。,23,前面曾令,周期,频率,T与称为固有周期和固有频率。,其它振动系统例如单摆，振动周期与频率也是由振动系统本身力学性质决定，与振幅及初相无关。,振子的周期（频率）是由振动系统本身力学性质决定，而与振幅及初相位无关。,四 弹簧振子的周期、振幅及初位相的确定,24,振幅及初相的确定,已知,A和可由振动初始条件来确定,将两式平方，有,相加得到,若 t = 0，x = x0，v = v0，则,25,将两式平方，
8、有,相加得到,即,及,上述结果表明，如果已知初位移x0和初速度v0，就能由上式求出谐振动的振幅和初位相。,26, 起始时，小球在振动正方向的端点，即t=0时，x=A，则 cos=1 =0。小球从正的最大位移开始运动时，初相=0，运动方程的形式为,利用旋转矢量法，据起始条件可立即看出矢径A在0A位置，即矢径与X轴之间的夹角为零，所以初位相为零。,初相位也可用参考圆法确定,假定弹簧下挂一小球作谐振动，其方程为,27,用旋转矢量图画简谐运动的 图,28,起始时，小球在振动负方向的端点,当 t = 0时，x = A，此时 v = 0,29,起始时在平衡位置向负方向运动,当 t = 0时，x = 0，此
9、时,小球沿x轴负方向运动，所以 v 0，则,取,方程,30,用旋转矢量图画简谐运动的 图,31,起始时在平衡位置向正方向运动,当 t = 0时，x = 0，此时,小球沿x轴正方向运动，所以 v 0，则,取,或,32,起始时过x=A/2向x正方向运动,当 t = 0时，x = A/2，此时,小球沿x轴正方向运动，所以 v 0，则,取,或,方程,33,振动曲线, 起始时小球在振动正方向的端点,34, 起始时小球在振动正方向的端点,起始时小球在振动负方向的端点,振动曲线,35, 起始时小球在振动正方向的端点,起始时小球在振动负方向的端点,起始时在平衡位置向负方向运动,振动曲线,36, 起始时小球在振
10、动正方向的端点,起始时小球在振动负方向的端点,起始时在平衡位置向负方向运动,起始时在平衡位置向正方向运动,振动曲线,37, 起始时小球在振动正方向的端点,起始时小球在振动负方向的端点,起始时在平衡位置向负方向运动,起始时在平衡位置向正方向运动,起始时过x=A/2向x正方向运动（红虚线）,振动曲线,38, 起始时小球在振动正方向的端点,起始时小球在振动负方向的端点,起始时在平衡位置向负方向运动,起始时在平衡位置向正方向运动,起始时过x=A/2向x正方向运动（红虚线）,(6)起始时过x=A/2向x负方向运动（黑虚线）,振动曲线,39,k为弹簧的倔强系数，负号表示力和位移的方向相反，即弹性力的方向永
11、远指向原点。,物体在左右两个端点位移最大，因此所受力的数值最大，加速度亦最大。但由于物体静止，其速度为零；但在其原点处，位移为零，受力为零，所以加速度为零，但此时速度最大。,虎克定律,40,运动方程,41,设=0,图像如下,此图像表明，随着时间的推移，m的位移x在数值A到-A之间作往复周期性的变化，即振动。,A,振幅：振动物体离开平衡位置的最大位移,周期：作谐振动的物体往复运动一次所需的时间,T,42,频率,圆频率,43,谐振动的速度和加速度,已知简谐振动的位移,则物体的运动速度,加速度,44,在任一时刻t，A在0 x轴上的投影是,参考圆（旋转矢量）谐振动的位相,谐振动的运动方程,45,上述结
12、果表明，如果已知初位移x0和初速度v0，就能由上式求出谐振动的振幅和初位相。,弹簧振子的周期、振幅及初位相的确定,则弹簧振子的周期,频率,初位相也可以用参考圆法来确定,46,2.如图所示，以向右为正方向，用向左的力压缩一弹簧，然后松手任其振动。若从松手时开始计时，则该弹簧振子的初相应为, ,D,起始时物体在X轴负方向的端点,47,5 一个质点作简谐振动，已知质点由平衡位置运动到二分之一最大位移处所需要的最短时间为t0，则该质点的振动周期T应为（A） 4t0 （B）12t0 （C）6t0 （D） 8t0,平衡位置开始，= -/2，,二分之一最大位移处,取, ,B,方程为,48,7.一简谐振动的旋
13、转矢量图如图所示，设图中圆的半径为R，则该简谐振动的振动方程为, ,A,49,8.已知某简谐振动的振动曲线如图所示，位移的单位为米，时间单位为秒，则此简谐振动的振动方程为, ,C,50,3.已知简谐振动x=Acos(t+0)的周期为T，在t=T/2时质点的速度为_;加速度为_。,51,5.一简谐振动的振动曲线如图所示，则由图可得其振幅为_，其初相位_，其周期为_，其振动方程为_.,v0，取= -/2或=3/2,52,由于,五 简谐振动的能量,以弹簧振子为例，当物体处于位移为x的某点时，其速度为v，具有,动能,弹性势能,53,弹簧振子作简谐振动时的总机械能为,振动过程中，振幅A是一恒量，所以谐振
14、动的机械能为一恒量，即机械能守恒。,54,能量变化与时间的关系曲线,尽管作谐振动的物体的动能和势能分别随时间作周期性变化，但谐振动的总能量保持恒定不随时间变化。在运动过程中，动能和势能相互转化，而总和保持不变，即符合机械能守恒与转化定律。,对于作谐振动的一定的振动系统，振动的总能量与振幅的平方成正比，这个规律具有普遍意义。对其它形式的振动及波动也适用。,55,考虑两简谐振动，其频率相同，但相位不同。其振动方程为,显然在同一时刻t，它们的相位不同，因此它们在同一时刻的运动状态亦不同，即一个比一个超前或落后一些。这种差异就可以用它们之间的相位差来描述。,即在同频率的条件下，它们的相位差等于它们的初
15、相差。,七相位差,56,假定两振动的振幅相同，我们用OM和ON分别代表这两个振动的旋转矢量，它们的长度相等，初角位置分别是1和2 ，并设2 1 。,由于频率相同即旋转角速度相同，所以ON矢量的运动始终比OM矢量的运动超前一个角度2 1 ，相应地端点N在x轴上的投影点Q及端点M在x轴上的投影点P，在同一直线上作简谐振动，它们的振幅和频率相同，但在步调上有先后之分。,利用参考圆法可进一步理解相位差,57,用两相位来加以比较知，Q点比P点的振动超前一恒定的相位差2 1 ，在振动的步调上Q点要比P点超前一段时间,此两振动的位移与时间关系曲线如下图。如果把红线向左方沿 t 轴移动t，两曲线重迭。这表明振
16、动2（Q点）取某一x值的时刻比振动1（P点）取同一x值的时刻提前t，也就是Q点的振动在时间上比P点超前t，在相位上就是超前t=21（当然也可以说振动1比振动2落后相位）。,58,两振动相位相差半周期，反向。,相位差21可正可负，相应地常说振动2比振动1超前或落后。,2=1,两个振动同相,21=,59,实际问题中，常遇到一质点同时参与两个或几个振动的情况，例如两列声波传到某处，该处的空气质点就同时参与这两个振动，这就需要讨论振动的合成问题。,设有物体同时参与两个频率相等，沿着同一方向例如X轴的谐振动，它们的振动方程分别是,下面求合振动的方程,八 两同方向同频率简谐振动的合成,60,用参考圆法。振
17、幅矢量A1和A2以同样的角速度绕原点0转动，在x轴上的投影x1和x2分别是P1和P2点沿x轴作谐振动的位移。因角速度相同，A1和A2在转动过程中始终保持一定的夹角21 ，且它们的矢量和A始终保持一定的大小，又以同样的角速度绕原点转动。这表明合成矢量A的端点在x轴上的投影点P也沿x轴作谐振动，A的投影x就是P点作谐振动的位移，即,可知，两同方向同频率谐振动的合成运动也是一谐振动，其振动方程为,61,如果用三角函数的方法进行运算同样可以得到上述结果。,式中的初相及合成振幅A可从图上直接得出,62,1、应用解析法,令,63,从上式中可以看出，合振幅A除了与分振幅A1、A2有关外，还决定于两个振动的位
18、相差。讨论两种特殊情况。,即两分振动的位相差为2的整数倍。这种情况叫同位相，此时,上式表明，此时合振幅为最大，两个分振动的合成效果使振动加强。,64,（1）相位差,65,即两分振动的位相差等于的奇数倍时，位相相反。,这表明此种情况下合振幅最小，两分振动的合成效果使振动减弱。,66,（2）相位差,67,特别地，若 A1 = A2，则 A = 0，即物体处于静止状态。,一般地，若=21为上述两种特殊情况外的任意值时，合振幅A在A1+A2和|A1A2|之间。,68,合振幅最大，两分振动的合成效果使振动加强。,合振幅最小，两分振动的合成效果使振动减弱。,请记住上述结果,位相相同,位相相反,69,例 一
19、质点作简谐振动，周期为T。当它由平衡位置向X轴正方向运动时，由二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为（A） T/12 （B）T/8 （C）T/6 （D） T/4,由平衡位置开始向x轴正方向运动时，= /2，方程为,二分之一最大位移处,取, ,C,70,最大位移,71,7.一简谐振动的旋转矢量图如图所示，设图中圆的半径为R，则该简谐振动的振动方程为, ,A,72,8.已知某简谐振动的振动曲线如图所示，位移的单位为米，时间单位为秒，则此简谐振动的振动方程为, ,C,73,11.两同方向同频率的简谐振动的振动方程为,则它们的合振动的振动方程应为,合振幅：6-2=4,合振动的初相：/2,合振动方程：, ,D,74,9.已知弹簧振子的弹簧的劲度系数为K，其振动振幅为A，则当振子移动到正的1/2最大位移处时的动能为_。,势能：,动能：,75,10.已知一物体同时参与两个同方向同频率的简谐振动，这两个简谐振动的振动曲线如图所示，其中A1A2，则该物体振动的初相位_。,两振动周期相同,
