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1、第十一章 三角形,11.1.1 三角形的边,一、学习目标,1、通过具体实例,进一步认识三角形的概念及其基本要素；2、学会三角形的表示及掌握对边与对角的关系；3、掌握三角形三边之间的关系；,重点：了解三角形定义,三边之间关系.难点：理解“首尾相连”等关键语句.,二、重点和难点,生活常识,生活常识,在我们的生活中几乎随处可见三角形。它简单，有趣，也十分有用。三角形可以帮助我们更好认识周围世界，解决很多的实际问题。那什么样的图形是三角形呢？,想一想,由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形，称为三角形.,不在同一条直线上,首尾顺次相接,一、三角形的定义,组成三角形的三条线段叫做三角形的边。
2、,如图，三角形ABC有几条边？它们分别是_,A,B,C,ABC的三边,有时也用a、b、c来表示.,a,b,c,二、三角形的要素边,BC、AC、AB,三角形相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。,如图，三角形ABC有几个顶点？它们分别是_,A,三角形的形状、大小和位置由它的三个顶点确定。,三、三角形的要素顶点,点A、B、C,三角形相邻两边所组成的角叫做三角形的内角。简称三角形的角。,如图，三角形ABC有几个内角？它们分是什么?,四、三角形的要素内角,A、B、C,B,C,A,在ABC中，AB边所对的角是：A所对的边是：,C,BC,再说几个对边与对角的关系试试。,三角形的对边与对角,A,B,C,记法,
3、三角形符号“”，,如：上图的三角形记作：ABC （或BCA或CBA 等）,我的姓是“”,我的名字是：三个顶点 字母“A、B、C”,注意：表示三角形时，字母没有先后顺序，但通常按逆时针来排列.,三角形的表示法,A,D,B,E,C,1.图中共有 个三角形，它们分别是 ：_,5,ABE, ABC,BCE, BCD ,CDE,小结:数三角形的个数时,抓住不在同一条直线上的三个点能组成一个三角形;再按字母的顺序去数.,练习一,2.以AB为边的三角形有哪些？,ABC、ABE,3.以E为顶点的三角形有哪些？, ABE 、BCE、 CDE,4.以D为角的三角形有哪些？, BCD、 DEC,练习二,A,B,C,
4、D,E,5.BCD的三边分别是:_三个角分别是：_ 三个顶点分别是：_其中顶点C的对边是：_D是由_和_两边组成的内角BEC是BCD的内角吗？,BC,CD,DB,DBC、 BCD、 CDB,点D、B、C,DB,DB,DC,不是,练习三,观察,三角形按角可分为：,直角三角形,锐角三角形,钝角三角形,三角形按边可分为：,三边各不相等 的三角形,腰与底边不相等的等腰三角形,腰与底边相等的等腰三角形,再观察,等腰三角形,角的分类,两点之间的所有连线中，线段最短,在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选择A B路线，而不选择A C B路线，难道小狗也懂数学？,C,B,A,谈谈你的想法！,请拿出准备好的
5、长度分别为:5cm,6cm,11cm,12cm的纸条各一根,从中任取三根看能不能摆成一个三角形?,从4根中取出3根有以下几种情况：,（1）5cm,6cm,11cm,通过动手发现： (3) (4) 可以摆成三角形， (1) (2) 不能摆成三角形。,（2）5cm,6cm,12cm,（3）5cm,11cm,12cm,（4）6cm,11cm,12cm,通过实验你能发现:构成一个三角形的三边有什么规律？,动手试一试,A,B,C,AC + CB AB,CB + AB AC,AB + AC CB,AB - CB AC,AC - AB CB,CB - AC AB,三角形任何两边之和大于第三边,两点之间的所有
6、连线中，线段最短,三角形三边的关系,三角形三边的关系,三角形任意两边的和大于第三边,三角形任意两边的差小于第三边,a-bcb-cac-ab,b+caa+cba+bc,下列长度的各组线段能否组成一个三角形？(1)15cm、10cm、7cm (2)4cm、5cm、10cm(3)3cm、8cm、5cm,(2) 因为4cm+5cm10cm，所以这三条线段不能组成一个三角形.,(3) 因为3cm+5cm=8cm，所以这三条线段不能组成一个三角形.,(1) 因为10cm+7cm15cm，所以这三条线段能组成一个三角形.,解：,(4) 因为(x+2)cm+(x+4) cm(x+5)cm，所以这三条线段能组成
7、一个三角形.,(4)(x+5)cm,(x+4)cm,(x+2)cmx为正数,巩固新知 拓展应用,较小两边之和大于第三边,才能构成三角形,结论:,只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，便可构成三角形;若不满足，则不能构成三角形.,构成三角形的条件,1. 张老师想制作一个三角形木架，现有两根长度为19cm和9cm的木棒，第三根的长度X的取值范围是多少？,10 x28,练习1,已知三角形两边的长度，第三边长度范围是:,如果告诉你：三角形两边的长度，第三边长度的范围你能确定吗？,大于这两边的差，小于这两边的和。,三角形三边的关系,2. 张老师想制作一个三角形木架，现有两根长度为19cm和9cm的木
8、棒，如果要求第三根木棒的长度是偶数，你有几种选法？第三根的长度可以是多少？,有8种选法。,第三根木棒的长度可以是：12cm，14cm，16cm, 18cm, 20cm ,22cm, 24cm ,26cm,练习2,3.张老师想制作一个三角形木架，现有两根长度为19cm和9cm的木棒，如果要求第三根木棒的长度是奇数，我有几种选法？第三根的长度可以是多少？,有8种选法。,第三根木棒的长度可以是：11cm，13cm, 15cm ,17cm 19cm ,21cm, 23cm ,25cm,练习3,4.张老师想制作一个等腰三角形木架，现有两根长度为19cm和8cm的木棒，我有几种选法？第三根的长度可以是多少
9、？三角形的周长是多少?,第三根木棒的长度可以是：19cm,三角形的周长是46cm,练习4,5.张老师想制作一个等腰三角形木架，现有两根长度为19cm和10cm的木棒，我有几种选法？第三根的长度可以是多少？三角形的周长是多少?,第三根木棒的长度可以是:19cm, 10cm,三角形的周长是:48cm, 39cm,练习5,他一步能走3米,不可能,A,B,C,答：不能.如果此人一步能走3米多,由三角形三边的关系得，此人两腿长的和得大于3米多,这与实际情况相矛盾，所以它一步不能走3米多.,你相信吗？,人行横道,你能用数学知识解释吗,为什么经常有些行人斜穿马路而不走人行横道,或两点之间的所有连线中，线段最
10、短,三角形任意两边之和大于第三边。,A,B,理由：,C,.,学以致用,小晶有两根长度为5cm、8cm的木条，她想钉一个三角形的木框,现在有长度分别为2cm 、3cm、 8cm 、15cm的木条供她选择，那她第三根应选择？（ ）A、2cm B、3cm C、8cm D、15cm,分析: 第三根可选择的范围是： 大于8-5=3（cm）小于8+5=13（cm）只有8cm的木条能钉成三角形木框,所以答案选C.,解题技巧：三角形第三边的取值范围是:两边之差第三边两边之和,你能帮助他吗？,C,小明有两根长为10cm和3cm的木条,他要钉一个三角形像框，并且使所选择的第三根木条长度是6的整数倍.聪明的你帮他想
11、想,第三根木条应取多长?,解：三角形像框第三边的取值范围是: 两边之差第三边两边之和 即10-3 x 10+3（7 x 13） 符合条件的数是12 第三根木条应取12cm,方法与拓展,三角形有基本要素,边,基本要素,角,顶点,A,B,C,（AB、BC、CA）,（A、B、C）,（A、B、C）,如上面的三角形ABC记作：,三角形的表示：,（用符号“”表示）,ABC,b,c,a,三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形,小结,1、三角形的三边关系的性质:,(2)确定三角形第三边的取值范围：,三角形的任何两边的和大于第三边。,小结,两边之差第三边两边之和,11.1.2 三角形的高、中
12、线与角平分线,1.理解三角形的高、中线和角平分线的含义,并会作出这三种重要的线段。2.了解三角形的高、中线、和角平分线的性质,并能应用它解决一些问题。3.感受数学知识的广泛用途和科学探究精神。,重点：,三角形的高、中线和角平分线的定义。,难点：,掌握各种线在三角形中分得的角和线段之间的倍分关系。,学习目标：,你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗?,画法,过三角形的一个顶点，你能画出它到对边的垂线段吗?,回顾与思考,A,从三角形的一个顶点,B,C,向它的对边,所在直线作垂线，,顶点,和垂足,之间的线段,叫做三角形这边上的高，,简称三角形的高。,如图, 线段AD是BC边上的高.,任意画一个锐角
13、ABC,垂直的记号和垂足的字母,请你画出BC边上的高.,标明,三角形的高,从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。,ADBC，则AD是ABC的BC边上的高,AD是ABC的BC边上的高,则ADBC,ADB=900,三角形的高的理解,锐角三角形的三条高,(1) 你能画出这个三角形的三条高吗?,(2) 这三条高之间有怎样的位置关系？,锐角三角形的三条高交于同一点.,(3)锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?,锐角三角形的三条高都在三角形的内部。,A,B,C,D,E,F,直角三角形的三条高,A,B,C,(1) 画出直角三角形的三条高,直角边BC边上的高
14、是 ;,AB,直角边AB边上的高是 ;,CB,它们有怎样的位置关系？,直角三角形的三条高交于直角顶点.,D,斜边AC边上的高是 ;,BD,钝角三角形的三条高,(1) 钝角三角形的三条高交于一点吗？,钝角三角形的三条高不相交于一点,它们所在的直线交于一点吗？,钝角三角形的三条高所在直线交于一点,O,小结:三角形的高,从三角形中的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，,顶点和垂足之间的线段,叫做三角形这边的高。,三角形的三条高的特性：,高所在的直线是否相交,高之间是否相交,高在三角形内部的数量,钝角三角形,直角三角形,锐角三角形,3,1,1,相交,相交,不相交,相交,相交,相交,三角形的三条高所在直线
15、交于一点,三条高所在直线的交点的位置,三角形内部,直角顶点,三角形外部,2、 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）,A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定,1.下列各组图形中,哪一组图形中AD是ABC 的高( ),B,D,拓展与练习,在三角形中,连接一个,顶点与它对边中点的线段,叫做这个三角形这边的中线.,D,AD是 ABC的中线,任意画一个三角形,然后利用刻度尺画出这个三角形三条边的中线,你发现了什么?,三角形的三条中线相交于一点,交点在三角形的内部.,三角形中线的理解,E,F,O,三角形的中线,也就是说：三角形的任意一条中线把这个三
16、角形分成了两个面积相等的三角形。,如右图D是BC的中点BD=DC而ABD的面积= BDAE ADC的面积= DCAE故ABD的面积= ADC的面积,例1：如图,在ABC中,AD,AE分别是BC边上的中线和高.试判断ABD和ADC的面积有何关系？,中线的性质,三角形的中线是一条线段。,任何三角形有三条中线，并且都在三角形的内部，交与一点。,三角形的任意一条中线把这个三角形分成了两个面积相等的三角形。,三角形中线的特点,叫做三角形的角平分线。,A,B,C,D,AD是 ABC的角平分线,任意画一个三角形,然后利用量角器画出这个三角形三个角的角平分线,你发现了什么?,在三角形中,一个,内角的角平分线与
17、它的对边相交，,这个角的顶点与交点之间的线段,三角形的三条角平分线相交于一点,交点在三角形的内部,三角形的角平分线,BE是ABC的角平分线,_=_= _,ACB=2_=2_,ABE,CBE,ABC,ACF,CF是ABC的角平分线,BCF,思考,三角形的角平分线是一条线段 , 角的平分线是一条射线。,三角形的角平分线与角的平分线有什么区别？,角平分线的理解,例2:如图,已知:ABC中,BD、CE分别是ABC的两条角平分线,相交于点O.,(1)当ABC=60,ACB=80时,求BOC的度数,例题讲解,解:,BD、CE分别是ABC的角平分线,例2:如图,已知:ABC中,BD、CE分别是ABC的两条角
18、平分线,相交于点O.,（2）当A=40时，求BOC的度数,例题讲解,解:,BD、CE分别是ABC的角平分线,例2:如图,已知:ABC中,BD、CE分别是ABC的两条角平分线,相交于点O.,（3）当A= x时，求BOC的度数(用含x代数式表示）,例题讲解,解:,BD、CE分别是ABC的角平分线,高、中线与角平分线的比较,如图,在ABC中, 1=2,G为AD中点,延长BG交AC于E,F为AB上一点,CFAD于H,判断下列说法那些是正确的,哪些是错误的.,AD是ABE的角平分线 ( ),BE是ABD边AD上的中线 ( ),BE是ABC边AC上的中线 ( ),CH是ACD边AD上的高 ( ),三角形的
19、高、中线与角平分线都是线段,拓展练习,小结,三角形的角平分线、中线、高线的比较,相同点：,（1）都是线段,（2）都从顶点画出,（3）所在直线都相交于一点,不同点：,角平分线反映的是角的相等关系,中线反映的是线段的相等关系,高线反映的是它和对边或对边所在直线的垂直关系,11.1.3 三角形的稳定性,一、学习目标,1、了解三角形具有稳定性；2、学会利用三角形的稳定性解析一些实际问题；3、掌握三角形稳定性的意义；,重点：了解三角形稳定性.难点：利用稳定性解析一些实际问题.,二、重点和难点,生活小常识,探索与思考,(1)将三根不条用钉子钉成一个三角形木架,然后扭动它,它的形状会改变吗?,(2)将四根不
20、条用钉子钉成一个四边形木架,然后扭动它,它的形状会改变吗?,(3)在四边形木架上再钉一根木条,将它的一对顶点连接起来,然后再扭动它,它的形状会改变吗?,三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性,结论,三角形木架的形状不会改变,而四边形木架的形状会改变.,用三根木棒钉一个三角形，你会发现再也无法改变这个三角形的形状和大小，也就是说，如果一个三角形的三条边固定了，那么三角形的形状和大小就完全确定了.在数学上把三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.,三角形的稳定性在生活中有广泛的应用 ，你能举出一些例子吗？,三角形的性质-三角形的稳定性,四边形不具有稳定性，人们往往通过改造，将其变成三角形从而增强其稳定性
21、,三角形的稳定性的应用,三角形的稳定性的应用,三角形的稳定性的应用,三角形的稳定性的应用,三角形的稳定性的应用,房屋的人字架,三角形的稳定性的应用,照相机的三脚架,三角形的稳定性的应用,自行车三脚架,三角形的稳定性的应用,固定树的两根支撑,四边形的不稳定性有广泛的应用,用来制作防盗门、防盗窗等,具有稳定性,不具有稳定性,不具有稳定性,具有稳定性,具有稳定性,不具有稳定性,练习1,下列图形中哪些具有稳定性,下列图中具有稳定性有（ ）,A 1个 B 2个 C 3个 D 4个,C,练习2,下列关于三角形稳定性和四边形不稳定性的说法正确的是( ),A、稳定性总是有益的，而不稳定性总是有害的,B、稳定性
22、有利用价值，而不稳定性没有利用价值,C、稳定性和不稳定性均有利用价值,D、以上说法都不对,C,练习3,解：要使四边形木架不变形，至少要再钉上1根木条；,要使五边形木架不变形，至少要再钉上2根木条；,要使六边形木架不变形，至少要再钉上3根木条；,要使n边形木架不变形，至少要再钉上(n-3)根木条；,n边形呢？,拓展题1,四边形,五边形,六边形,4-3,5-3,6-3,如图，当四边形内部有1个点时，把四边形分成的三角形数目为4，当四边形内部有2个点时，把四边形分成的三角形的数目为6,(1)当四边形内部有3个点时,三角形的数目为_,(2)当四边形内部有4个点时,三角形的数目为_,(3)当四边形内部有
23、n个点时,三角形的数目为_,8,10,2n+2,拓展题2,4,8,6,如图，当四边形内部有1个点时，把四边形分成的三角形数目为4，当四边形内部有2个点时，把四边形分成的三角形的数目为6,(4)三角形的数目能否为2006?若能,请求出此时四边形内部的个数;若不能,请说明理由.,解:2n+2=2006,2n=2004,n=1002,即三角形的数目能为2006,此时四边形内部点的个数是1002,拓展题2,三角形与四边形的不同,小结,(1)三角形有三条边、三个角；而四边形有四条边、四个角；,(2)三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性,(3)三角形的三个内角和为180，而四边形的四个内角和是360,The End！,
