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1、第六章 机械振动,任一物理量在某一定值附近往复变化均称为振动.,机械振动 物体在某一中心位置附近来回往复的运动.,简谐运动 最简单、最基本的振动.,简谐振动：物体运动时，离开平衡位置的位移(或角位移)按余弦(或正弦)规律随时间变化。,6-1 简谐振动,1.弹簧振子,弹簧振子：,连接在一起的一个忽略了质量的弹簧和一个不发生形变的物体系统。,简谐振动的特征及其表达式,回复力：作简谐运动的质点所受的沿位移方向的合外力, 该力与位移成正比且反向。,简谐振动的动力学特征:,据牛顿第二定律，得,令,或,位移 之解可写为：,或,简谐振动的运动学特征:物体的加速度与位移成正 比而方向相反，物体的位移按余弦规律
2、变化。,速度,加速度,简谐振动的特征及其表达式,简谐振动中质点位移、速度、加速度与时间的关系:,简谐振动的特征及其表达式,根据初始条件： 时， , ，得,在 到 之间，通常 存在两个值，可根据 进行取舍。,取,6.2 简谐振动的振幅、周期和相位,(1)振幅: 物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。,(2)周期和频率,周期：物体作一次完全运动所经历的时间。,频率：单位时间内物体所作完全运动的次数。,角频率: 物体在 秒内所作的完全运动的次数。,对于弹簧振子，因有 ，得:,利用上述关系式，得谐振动表达式：,(3)相位和初相,简谐振动的振幅、周期、频率和相位,1） 存在一一对应的关系;,2）相位在 内
3、变化，质点无相同的运动状态；,相差 为整数 质点运动状态全同.（周期性）,相位 ：决定简谐运动状态的物理量。,初相位 ：t =0 时的相位。描述质点初始时刻的运动状态.,以 为原点旋转矢量 的端点在 轴上的投影点的运动为简谐运动.,6.3 简谐振动的矢量表示法,简谐振动的矢量图示法,简谐振动的矢量图示法,用旋转矢量图画简谐运动的 图,相位差：表示两个相位之差 .,用旋转矢量方便的比较简谐振动状态。,1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间。,二者的相位差为：,简谐振动的振幅、周期、频率和相位,2）对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它们间步调上的差异.,采用旋转矢量直观表示
4、为：,简谐振动的振幅、周期、频率和相位,讨论:,(a)当 时,称两个振动为同相；,(b)当 时,称两个振动为反相；,(d)当 时,称第二个振动落后第一个振动 。,(c)当 时,称第二个振动超前第一个振动 ；,简谐振动的振幅、周期、频率和相位,速度的相位比位移的相位超前 ，加速度的相位比位移的相位超前 。,简谐振动的振幅、周期、频率和相位,相位可以用来比较不同物理量变化的步调，对于简谐振动的位移、速度和加速度，存在:,例6-1 一物体沿X轴作简谐振动，振幅A=0.12m,周期T=2s。当t=0时,物体的位移x=0.06m,且向X轴正向运动。求:(1)简谐振动表达式；(2) t =T/4时物体的位
5、置、速度和加速度；(3)物体从 x =-0.06m向 X 轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需时间。,解: (1)取平衡位置为坐标原点,谐振动方程写为：,其中A=0.12m, T=2s,初始条件：t = 0, x0=0.06m,可得,据初始条件 得,简谐振动的矢量图示法,在t =T/4=0.5s时，从前面所列的表达式可得,简谐振动的矢量图示法,(2) t =T/4时物体的位置、速度和加速度；,当x = -0.06m时，该时刻设为t1,得,因该时刻速度为负，应舍去 ，,设物体在t2时刻第一次回到平衡位置，相位是,因此从x = -0.06m处第一次回到平衡位置的时间：,另解：从t1时刻到t2时刻所
6、对应的相差为：,简谐振动的矢量图示法,(3)物体从 x = - 0.06m向 X 轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需时间。, 几种常见的简谐振动,(1) 单摆,重物所受合外力矩：,据转动定律，得到,很小时(小于 )，可取,令 ,有,转角 的表达式可写为：,几种常见的简谐振动,(2) 复摆,一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆。,刚体的质心为C, 对过O 点的转轴的转动惯量为J, O、C 两点间距离的距离为l。,所受合外力矩：,令,据转动定律，得,若 角度较小时,几种常见的简谐振动,例6-2 一质量为m 的平底船，其平均水平截面积为S，吃水深度为h，如不计水的阻力，求此船在竖直方向的振动周期。,解
7、: 船静止时浮力与重力平衡，,在任一位置时船的位移用y 表示。,几种常见的简谐振动,船的位移为y 时船所受合力为：,船在竖直方向作简谐振动。,其角频率和周期为:,因,得:,几种常见的简谐振动,6.4 简谐振子的能量,动能,势能,以水平弹簧振子为例讨论简谐振动系统的能量。,系统总的机械能：,考虑到 ，系统总能量为 ，表明简谐振动的机械能守恒。,简谐振动的能量,能量平均值,上述结果对任一谐振系统均成立。,谐振子的动能、势能和总能量随时间的变化曲线:,简谐振动的能量,从振动系统机械能守恒出发，建立运动微分方程。,6-5 简谐振动的合成,1.同方向同频率的两个简谐振动的合成,设一质点同时参与沿同一方向
8、(x 轴)的两个独立的同频率的简谐振动，两个振动位移为：,合位移：,合振动仍然是简谐振动，其方向和频率与原来相同。,矢量沿X 轴之投影表征了合运动的规律。,同方向同频率的两个简谐振动的合成,同方向同频率的两个简谐振动的合成,(1)当Df=f 2-f1=2kp (k=0及正负整数)，cos(f2 -f1)=1, 有,同相迭加，合振幅最大。,讨论：,同方向同频率的两个简谐振动的合成,(2)当Df=f 2-f1=(2k+1)p (k=0及正负整数), cos(f2 - f1)=0, 有,反相迭加，合振幅最小。 当A1=A2 时，A=0。,同方向同频率的两个简谐振动的合成,同方向同频率的两个简谐振动的
9、合成,(3)通常情况下，合振幅介于 和 之间。,一般情况,2.同方向不同频率的两个简谐振动的合成,两个简谐振动合成得：,当两个同方向简谐振动的频率不同时，在旋转矢量图示法中两个旋转矢量的转动角速度不相同，二者的相位差与时间有关，合矢量的长度和角速度都将随时间变化。,两个简谐振动的频率 和 很接近，且,x = x1+ x2,同方向不同频率的两个简谐振动的合成 拍,合振动的振幅随时间作缓慢的周期性的变化，振动出现时强时弱的拍现象。,拍频:单位时间内强弱变化的次数。,同方向不同频率的两个简谐振动的合成 拍,拍频:单位时间内强弱变化的次数。,振幅部分,拍频,同方向不同频率的两个简谐振动的合成 拍,相互
10、垂直的简谐振动的合成,两个同频率的相互垂直的分运动位移表达式,消时间参数，得,合运动一般是在 ( x 向)、 ( y 向)范围内的一个椭圆。,椭圆的性质(方位、长短轴、左右旋 )在 A1 、A2确定之后,主要决定于 。,用旋转矢量描绘振动合成图,相互垂直的简谐振动的合成,(1) f2 - f1=0, 两个分振动同相位，得,在任一时刻离开坐标原点位移为：,(2) f2 -f1 =p, 两个分运动反相位，得,几种特殊情况：,(3) f2-f1=p/2，得,(4) f2 -f1 =3p/2，仍然得,几种特殊情况：,这是坐标轴为主轴的椭圆，质点的轨迹是顺时针旋转。,与(3)相同，只是质点的轨迹沿逆时针
11、旋转。,相互垂直的简谐振动的合成,相互垂直的简谐振动的合成,几种特殊情况：,相互垂直的简谐振动的合成,方向垂直的不同频率的简谐振动的合成,两分振动频率相差很小,可看作两频率相等而Df 随t 缓慢变化，合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化,轨迹称为李萨如图形,两振动的频率成整数比,相互垂直的简谐振动的合成,几幅典型的利萨如图形,相互垂直的简谐振动的合成,相互垂直的简谐振动的合成,相互垂直的简谐振动的合成,相互垂直的简谐振动的合成,6-6 阻尼振动 受迫振动 共振,振动物体不受任何阻力的影响，只在回复力作用下所作的振动，称为无阻尼自由振动。,在回复力和阻力作用下的振动称为阻尼振动。,阻尼：消耗振动系统
12、能量的原因。,阻尼种类：摩擦阻尼 辐射阻尼,摩擦阻尼：由于摩擦阻力使系统能量逐渐变为热能；,辐射阻尼：由于振动系统引起临近质点的振动，使振动系统的能量逐渐向四周辐射出去，转变为波动的能量；,对在流体(液体、气体)中运动的物体，当物体速度较小时，阻力大小正比于速度，且方向相反，表示为,：阻力系数,在阻力作用下的弹簧振子,阻尼振动,受力：,运动方程:,引入 阻尼因子,固有频率,在小阻尼条件下 ，微分方程的解为:,其中,其中 和 为积分常数,由初始条件决定。上式中的余弦项表征了在弹性力和阻力作用下的周期运动； 反映了阻尼对振幅的影响。,其中,阻尼振动不是周期性振动，更不是简谐振动，因位移不是时间的周
13、期函数。但阻尼振动有某种重复性。,位移相继两次达到极大值的时间间隔叫做阻尼振动的周期，有,由于阻尼，振动变慢了。,阻尼振动的振幅为：,振幅随时间作指数衰减。阻尼 大小决定了阻尼振动振幅的衰减程度。,阻尼振动,其中,阻尼振动的三种情形：,欠阻尼,通过控制阻尼的大小，以满足不同实际需要。,阻尼振动,2.受迫振动,物体在周期性外力的持续作用下发生的振动称为受迫振动。,物体所受驱动力：,运动方程：,设,受 迫 振 动,对于阻尼较小的情形，运动方程之解表为:,衰减项,稳态项,经过一段时间后，衰减项忽略不计，仅考虑稳态项。,稳态时振动物体速度：,在受迫振动中，周期性的驱动力对振动系统提供能量，另一方面系统又因阻尼而消耗能量，若二者相等，则系统达到稳定振动状态。,受 迫 振 动,2.共振,根据,共振,位移共振,根据,共振,受迫振动速度在一定条件下发生共振的的现象称为速度共振。,在阻尼很小的前提下，速度共振和位移共振可以认为等同。,共振现象的危害,1940 年7月1日美国 Tocama 悬索桥因共振而坍塌,
