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1、2. 与布朗运动有关的随机过程,过程1：d维布朗运动,相关函数,均值函数,布朗运动是一个高斯过程,性质,带漂移的布朗运动的民用航空发动机实时性能可靠性预测，航空动力学报2009，Vol.1,No.12.任淑红,布朗运动是一个高斯过程,证明,则,过程3：布朗桥,均值函数,相关函数,性质，从0到0的布朗桥是高斯过程,例 设常数,定义从a到b的布朗桥：,证明 ：,(2) 从a到b的布朗桥是高斯过程,且,布朗桥在研究经验分布函数中起着非常重要的作用。设X1,X2, Xn, 独立同分布，XnU(0,1) ，对0s1,记,Nn(s)表示前n个X1,X2, Xn 中取值不超过s的个数，,称Fn(s)为经验分
2、布函数。显然Nn(s)B(n,s)，由强大数定理有,补充 ：布朗桥在统计中的应用,由格利汶科-康泰利定理可以得到更强的结果，,即Fn(s)以概率1一致地收敛于s.,则,所以 的极限过程是一正态过程。可以证明 的联合分布趋于二维正态分布。,所以当n时，,的极限过程即为布朗桥过程。 一般的，设X1,X2, Xn, 独立同分布，F(x)为分布函数，则随机变量F(Xi)U(0,1)。记,类似可讨论 的极限分布。,过程:4：几何布朗运动（指数布朗运动）,均值函数,相关函数,股票价格服从几何布朗运动的证明,谢惠扬,过程5：反射布朗运动,均值函数,过程6：奥恩斯坦-乌伦贝克过程,其中,均值函数,相关函数,补
3、充：随机变量序列或随机过程均方极限均方连续均方可导均方可积,1均方极限的定义,定义设,如果,则称Xn,n=1,2,均方收敛于X,或称 X 为Xn,n=1,2,的均方极限，记为,2 均方连续,若对任意的tT, X(t), tT在t处均方连续,则称 X(t), tT在T上均方连续. 或称 X(t), tT是均方连续的.,1. 均方连续定义,3 均方导数,1. 均方导数的定义,4 均方积分,1. 均方积分的定义,设X(t),ta,b是二阶矩过程，f(t,u)是a,b U上的普通函数，对区间a,b 任一划分,作和式,如果以下均方极限存在,该均方极限值Y(u)称为,在a,b上的均方积分.,在a,b上均方可积.,记为,即,七.布朗运动的导数过程,八.布朗运动的积分过程,积分布朗运动是正态过程,九：在某点被吸收的布朗运动,本章作业 1. 2. 3. 6. 8.,举例,1.写出(，2)布朗运动的均值向量和协方差矩阵。2.计算标准布朗运动的二维分布函数及其密度函数。,3.写出W(1)+W(2)+W(3)+W(4)的分布,
