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1、巧用面积法 妙解几何题,人教版八年级数学 上册 映山中学 严正霞,何谓面积法,在求解平面几何问题的时候，根据有关几何量与涉及的有关图形面积之间的内在联系，用面积或面积之间的关系表示有关线段间的关系，从而把要论证的线段之间的关系转化为面积的关系，并通过图形面积的等积变换对所论问题来进行求解的方法，称之为面积法。抓住面积不但能把平面几何知识变得更容易学，而且使几何问题变得更简捷，更有趣味。,温故知新,填空：1.若ABCDEF，且ABC的面积为25，则DEF的面积为 。2.已知AD为ABC的中线，则S ABD与S ACD的大小关系为 。3.(1)平行四边形ABCD的一条对角线AC把它分成两个三角形A
2、BC 、ADC，则S ABC与S ADC的大小关系为 。(2)平行四边形ABCD的边AD上有一点E，连结EB、EC，则S EBC与S平行四边形ABCD的关系为 。4.已知直线a b，点M、N为b上两点，点A、B为a上两点，连结AM、AN、BM、BN，则S AMN 与S BMN的大小关系为 。,25,SABD=SACD,SABC=SADC,SABD=1/2S平行四边形ABCD,SAMN=SBMN,用面积法解几何问题常用到下列性质：,全等三角形的面积相等；三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分；平行四边形的对角线把其分成面积相等的两部分；三角形的面积等于同底（或等底）等高的平行四边形的面积的一半
3、；同底（或等底）等高的三角形面积相等。,例题讲解,证线段相等例1.已知：ABC中，A为锐角，AB=AC，BDAC于D，CEAB于E，求证：BD=CE.,分析：此题运用三角形全等可以解决，但考虑到有“高” ，不妨用面积法来试试，可用SABC=1/2ABCE=1/2ACBD来完成。,证明： ABC中，BDAC于D，CEAB于E SABC=1/2ABCE=1/2ACBD又AB=ACBD=CE,变式训练,1.已知：等腰ABC中，AB=AC，D为底边BC的中点，DEAB，DFAC，垂足分别为E、F.求证：DE=DF.,分析：此题用三角形全等可完成，但题中出现两条“垂线段”，可考虑面积法，连接AD，则SA
4、BD=SACD，由AB=AC，可得DE=DF.,2.平行四边形ABCD中，BEAC于E，DFAC于F，求证：BE=DF,变式训练,分析：此题可以用平行四边形和全等三角形的知识解决，但出现两条“垂线段”，且都垂直于同一条线段，可考虑面积法，根据S平行四边形ABCD=2S ABC=2SADC可得证。,证线段的和差关系例2.（1）已知： ABC中，AB=AC，P为底边BC上一点，PDAB于D，PEAC于E，BFAC于F，求证：PD+PE=BF.,分析：此题可构造矩形来证明，但较麻烦。考虑到题中有三条“垂线段”，可尝试面积法。连接AP，根据SABC=SABP+SACP，结合AB=AC，可得证。,证明：
5、 BFAC于F S ABC=1/2ACBF PDAB于D，PEAC于E S ABP=1/2ABPD， SACP=1/2ACPE S ABC= S ABP+ SACP1/2ACBF=1/2ABPD+1/2ACPEAB=AC PD+PE=BF,（2）若P为 ABC的底边BC的延长线上一点，其他条件不变，则（1）中的结论仍然成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的结论，并证明。,分析：虽然题目条件发生了变化，但思路不变，方法不变，还是用面积法。连接AP，根据SABC=SABP-SACP，结合AB=AC，可得到正确的结论:PD-PE=BF。,证明： BFAC于F S ABC=1/2ACBF
6、PDAB于D，PEAC于E S ABP=1/2ABPD， SACP=1/2ACPE S ABC= S ABPSACP1/2ACBF=1/2ABPD1/2ACPEAB=AC PDPE=BF,3.（1）已知等边ABC内有一点P，PDAB，PEBC，PFCA，垂足分别为D、E、F，又AH为ABC的高，求证：PD+PE+PF=AH.,变式训练,分析：考虑到题中出现了三条“垂线段”和一条“高”，可尝试面积法。连结PA、PB、PC，根据SABC=SABP+SBCP+SACP，由AB=BC=AC，可得证PD+PE+PF=AH,（2）若P是等边ABC外部一点，其他条件不变，（1）中的结论仍然成立吗？若成立，请
7、说明理由；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由。,分析：此题的条件虽然发生了变化，但是思路、方法不变，还是应用面积法。连结PA、PB、PC，根据SABC=SABP+SACPSBCP，由AB=BC=AC，可得正确结论：PD+PFPE=AH,证角相等例3.点C是线段AB上一点，分别以AC、BC为边在AB同侧作等边ACD和等边BCE，连接BD、AE交于O点，再连接OC，求证：AOC=BOC.,分析：要证AOC=BOC，可证点C到AO、BO的距离相等，如此就要过C点作CPAE于P，CQBD于Q，证CP=CQ，可考虑面积法，证ACEDCB,则有 SACE =SDCB 且AE=BD，可得CP=CQ。,P
8、,Q,证明：过点C作CPAE于P，CQBD于Q，ACD、BCE是等边三角形 AC=DC，EC=BC，ACD=ECB=60 ACE=DCB=120 ACEDCB SACE =SDCB ，AE=BD CP=CQ OC平分AOB，即AOC=BOC.,变式训练,4.在平行四边形ABCD的两边AD、CD上各取一点E、F，使AF=CE，且AF与CE交于点P，连接BP，求证：BP平分APC,分析：要证BP平分APC，可证点B到AP、CP的距离相等，故过B作BGAF于G，BHCE于H，连接BF、BE。由于AF=CE，只要SABF=SBCE即可，而SABF=SBCE=1/2S平行四边形ABCD，所以BG=BH，
9、命题得证。,课堂小结,面积法是平面几何中论证线段关系的一种较简单的数学方法；使用面积法的前提是：题中要有“垂线段”，若没有“垂线段”，则要结合角平分线的性质或判定构造“垂线段”；使用面积法解题的关键在于：抓住图形之间的面积关系，进而利用面积公式转化为线段关系。,课后练习,1.RtABC中，BAC=90，AB=3，M为边BC上一点，连接AM，若将ABM沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点B处，那么点M到AC的距离是 。2. ABC中，AB=AC，A=120，BC=6，PEAB于E，PFAC于F，则PE+PF= 。,3. ABC中，ABAC，BD和CE分别为AC、AB上的高，求证：BDCE.4.以ABC的边AB、AC为边长，在BC的同侧作正方形ABEF和正方形ACGH，连接FH，过点A作ADBC于D，延长DA交FH于点M，求证：FM=HM.,5.设E是ABC的角平分线AD上一点，连接EB、EC，过C作CFBE交AB的延长线于F，过B作BGEC交AC的延长线于G，求证：BF=CG.（提示：SBEF=SBEC=SCEG）,6.在ABC中，AD是BAC的平分线，求证：ABAC=BDCD.（提示：ABAC=SABDSACD）7.RtABC中，ACB=90，CDAB于D，已知AB=c，AC=b，BC=a，CD=h，求证：1/a2+1/b2=1/h2（提示：a2+b2=c2）,
