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1、含绝对值竞赛题的求解策略浙江上虞春晖中学 王启东（312353）有关含绝对值的试题，尤其是绝对值与不等式的综合试题在各级各类数学竞赛中频频出现，本文就此介绍一些常见的求解策略。 1、凑配的策略该策略是根据题设条件或结论进行凑配，如：分组、添项、裂项等方法，以达到解决问题的目的。例1、函数在上连续，且对任意不同的， 都有，求证： （1983年全国联赛试题） 解：在上连续，在上有最大值和最小值。 不妨设最大值（1）当时，| 即：（2）当时，设 即： 若，同理可得：对任意的，都有 2、裂项求和的策略本策略是运用数列求和的方法，巧妙地拆项、裂项，再相互抵消，以达到化简求解的目的。例2、已知满足，求证：
2、 （1989全国联赛试题）证明：设，且 （不妨设，则 于是3、特殊化的策略 本策略的思想是从特殊的点、特殊的图形、特殊的值出发，借以问题的部分与整体的内在联系来考虑问题，以寻找解决问题的突破口。 例3、对实数，已知不等式无解， 求证： （第15届全苏数学奥林匹克试题）证：取分别代入得：即： 例4设f(x)和g(x)是定义在0，1上的函数，求证：存在，使，且。（第20届美国数学竞赛）证明：如果对一切，0，1 ，不成立，考虑在端点的特殊值得： =+=1矛盾。即假设不成立。原命题成立。4三角换元的策略例5已知a1,a2 R,z1,z2是复数， 求证： （1989中学生数理化征解题）证：设，并设a1=
3、Rcos,a2=Rsin则原不等式等价为： = =上述不等式化为：即()+而左边 = = = = =右边原不等式成立。5、反证的策略正难则反，反证法是解决数学问题的常用策略，也是处理绝对值的强有力工具。例6已知a,b,c均为实数，且a100,证明最多有二个整数x,使。（1991年江苏省数学夏令营试题）证明：假设有三个不同的整数、，满足，则由抽屉原则、中必有两个同时大于（或同时小于）不妨设,、均为整数，a(+)+b2a+a+ba从而=a100另一方面： +50+50=100矛盾。满足条件的整数最多只有二个。6、构造的策略该策略通过构造某些函数、数列、复数等辅助量，然后利用辅助量的某些性质达到求解
4、的目的。例7、设a,b,x,yR,且=1,试证+（数学通报1985年征解题）证明：构造复数，设=ax+byi, =bx+ayi则+=+=原不等式成立。注：本题构造复数，将根号转换为模，巧妙求解。例8、已知f(x)=是一个n次复系数多项式，求证：一定存在一个复数，并且满足。（1994年中国数学冬令营试题）证明：对于给定的多项式f(z)，常数的辐角是确定的（当=0时，辐角可任意选取），所以可取一个与有相同辐角的复数，使构造多项式f(z)- =-,则方程f(z)- =0必有模小于或等于1的根，否则设f(z)- =0的根(I=1,2,n)的模都大于1，那么由韦达定理有1=1矛盾，因此必有为f(z)-
5、=0的模不大于1的根，即，使得结论成立。 7、数学归纳的策略 该策略通过抓住题设中与n有关的要点，然后应用数学归纳法加以证明。例9、设n是正整数，证明：对所有实数x， 有证明：用数学归纳法证明：当n=0时，结论显然成立。当n=1时，如果那么结论成立。如果，那么,即从而，结论亦成立。 假设n=k-1,k时结论成立，则当n=k+1时如果，由归纳假设有如果,由n=1时及假设即n=k+1时，结论成立，对任意正整数n，题论结论成立。例10.设函数f(x)对所有的有理数m,n都有证明：对所有正整数k,有 (第12届韩国数学奥林匹克试题)证：当k=1时,左边=右边=0k=2时,左边=右边假设k=n时,结论成
6、立,即：+成立则当n=k+1时, = n+ n n1+= 即k=n+1时,结论成立。 原命题成立。 8等分区间的策略求策略的思想是根据已知条件作一恰当的区间，然后将其等分成若干个长度为某正数的小区间，使得问题涉及到的某两个量、落在同一小区间内，从而得关键性结论|-|，而解决问题。例11 设n个实数x1、x2、xn，满足x12+x22+、+xn2=1 求证：对任意整数k2，存在n 个不全为零的整数 ai，|ai| k-1(i=1、2,、，n)使得（第28届IMO试题）证：由柯西不等式：把区间0,等分成份，每个小区间之长为，由于 所以一共有个数根据抽屉原则，总有两个数：和落在同一区间内。令则得证。
