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1、 投入产出与分析模型研究投资项目组合选择摘要投资项目组合问题，是现实世界中普遍存在的一个问题。首先，我们通过认真分析问题，把它转化为了一个线性规划问题，利用数学知识找出其决策变量、约束条件、目标函数，并建立了相应的数学模型（模型一）。其次，我们分别利用MATLAB软件、LINGO软件编写了相应的MATLAB程序、LINGO程序，并发现利用两个软件所求得的目标函数值相同，但最优解并不相同。再次，为了验证结果的正确性，我们建立了另一个模型模型二，并利用MATLAB软件和LINGO软件分别对它求解，发现模型一和模型二的LINGO求解的最优解相同，而MATLAB求解的最优解仍不相同。通过对问题和模型的
2、分析，我们得出两个模型均正确的结论，另外，利用运筹学的知识知问题有无穷多个最优解。最后，我们对实验结果进行了分析，对模型的灵敏度（即鲁棒性）进行了分析，还对模型进行了评价和推广。关键词：投资组合；线性规划；MATLAB；LINGO；鲁棒性(灵敏度)THE CHOOSES OF PORTFOLIO PROJECTABSTRACTInvestment combinatorial problems in the real world, is a widespread problem. First, we through careful analysis problem, convert it to
3、a linear programming problem, using mathematical knowledge to find its decision variables and constraints,the objective function, and establishes the mathematical model (model one). Secondly, we were using the software MATLAB, software LINGO writted the corresponding MATLAB program, the correspondin
4、g LINGO program, and found the two results for the objective function values are the same, but the optimal solution is not the same. Again, in order to verify the correctness of the results, we establish another model(model two), and using software MATLAB and LINGO the two softwares to solve it, res
5、pectively.And the optimal solution calculated by LINGO software of two models is same,but the optimal solution calculated by MATLAB software of two models is not the same. Through the analysis of the problem and models, we draw two models are correct conclusion. In addition, using knowledge of opera
6、tion research know that the problem has multiple optimal solutions. Finally, we analyses experimental results of model, the sensitivity (robustness), and analyses the model evaluation and promotion.Key words: Portfolioformation; Linear program; The software of MATLAB; The software of LINGO; robustne
7、ss (sensitiveness)目 录1 问题的提出.12 问题的分析.13 问题假设.34 符号说明.35 建立模型一.46 模型一的求解.47 模型验证.77.1模型一的LINGO求解验证 . .77.2 建立模型二.97.3 模型二的求解.97.4 对比结果并分析.118 结果分析.1281灵敏度分析.1382结果分析.149 模型的推广与改进. .14参考文献.16 附录.17 1 问题的提出 某投资者有50万元可用于长期投资，可供选择的投资项目包括购买国库券、购买公司债券等。各种投资方式的投资期限、年收益率等见表。若投资者希望投资组合的平均年限不超过5年，平均的期望收益率不低于1
8、3，风险系数不超过4，收益的增长潜力不低于10。 问在满足上述要求前提下，投资者该如何选择投资组合使平均年收益率最高？序号投资方式投资期限（年）年收益率（）风险系数增长潜力（）1国库券311102公司债券10153153房地产6258304股票2206205短期储蓄110156长期储蓄5122102 问题的分析面对每种投资项目应该投资多少这个问题，如果你是这个投资者，你从何处入手？解决任何问题，第一步都是要把问题理解和描述清楚。“每种投资项目应该投资多少”这个问题本身已经隐含了该问题描述的第一个方面：你要做的决策就是给每种投资项目分配一个投资额。所谓决策，可以说就是选择，往往是对多个因素的选择
9、。比如，在这个组合投资问题中，每种投资项目的投资额就是一个选择的因素。决策问题描述的第一个方面就是决策的各个构成因素。这个投资者用于这次投资的总额为50万元，同时还对收益率、平均年限、风险系数以及增长潜力等给出限制条件。这就是决策问题描述的第二个方面：各种限制条件。任何事情往往都有若干前提条件或实际限制。比如，不可能不顾安全，不顾风险；不可能不计成本，不计代价；不可能不受自然规律的制约等等。作为决策者，当然不会忘记，应使这次组合投资的年收益率期望值达到最大，这就是问题描述的第三个方面，也就是目标。上面给出了问题描述的初步分析，属于最优化问题的范畴。在决策问题以及许多其他问题中，往往需要用数学方
10、式来描述问题，以便于用数学方法来有效地解决问题。问题的数学描述称为数学模型，获得数学模型的过程就叫数学建模。下面我们一起来试着建立投资项目组合投资决策问题的数学模型。决策变量：它们是决策者所控制的那些变量，它们取什么值需要决策者来决策，最优化问题的求解就是找出决策变量的最优取值。例如在上述投资组合问题中，所考虑的各种投资项目的投资额就是决策变量。进而，设6种投资项目的投资额分别为，单位为万元。约束条件：它们是决策变量在现实世界中所收到的限制或决策者规定的一些强制性要求，正如前面已经提到的，不可能不顾安全，不顾风险；不可能不计成本，不计代价；不可能不受自然规律的制约等等。在投资组合问题中，比如投
11、资总额是固定的，每种投资项目的投资额不能为负等等。如下：投资额为50万元：+=50。投资项目组合投资的平均年限不超过5年：（3+10+6+2+5）/(+)=5，即 -2+5+-3-4=0.13，即 0.02-0.02-0.12-0.07+0.03+0.01=0。风险系数不超过4：1*+3*+8*+6*+1*+2*=4*(+)，即 -3-+4+2-3-2=0.10(+),即0.10-0.05-0.20-0.10+0.05=0, =0, =0, =0, =0, =0。目标函数：它代表决策者希望对其优化的那个指标，根据不同情形，可能希望最大，也可能希望最小。例如，把目标定为效益，自然要求最大；如果目
12、标是风险之类，当然要求最小。目标函数就是决策变量的函数。如下：最后是目标的表示，投资项目的组合投资的年收益率期望值达到最大：0.11+0.15+0.25+0.20+0.10+0.12达到最大。3 问题假设1）假定投资项目的参数是固定不变的，即年收益率，风险系数，增长潜力并不因为时间的变化而变化。2）投资者的获利不因为各各投资项目之间的关系而变化，也就是说不管投资哪个项目，其它项目并不影响这个项目的利润。4 符号说明：国库券的投资额；：公司债券的投资额；：房地产的投资额；：股票的投资额；：短期储蓄的投资额；：长期储蓄的投资额；：=是决策变量（向量）；L：变量的下界；U：变量的上界A：约束条件的系
13、数矩阵。 5 建立模型一 通过对问题的分析，我们知道此投资组合问题的决策变量、约束条件、目标函数（见问题的分析），所以综合起来，就得到下面的数学模型：求，使0.11+0.15+0.25+0.20+0.10+0.12达到最大，并满足：+=50；-2+5+-3-4=0；0.02-0.02-0.12-0.07+0.03+0.01=0；-3-+4+2-3-2=0；0.10-0.05-0.20-0.10+0.05=0, =0, =0, =0, =0, =0。我们把上述模型定义为模型一。6 模型一的求解 上述模型可以写成：min-0.11-0.15-0.25-0.20-0.10-0.12。s.t.+=50
14、；-2+5+-3-4=0；0.02-0.02-0.12-0.07+0.03+0.01=0；-3-+4+2-3-2=0；0.10-0.05-0.20-0.10+0.05=0, =0, =0, =0, =0, =0。或者：min .s.t =, =, =.其中，=是决策变量（向量），代表6种投资项目；=-0.11,-0.15,-0.25,-0.20,-0.10,-0.12；=1 1 1 1 1 1；=50；=， =0,0,0,0；=zeros(6,1)；利用MATLAB软件编写程序(见附录程序1)如下：echo offclose all hidden;fclose(all);clear;clcfo
15、rmat short;c=-0.11;-0.15;-0.25;-0.20;-0.10;-0.12;A=-2 5 1 -3 -5 0;0.02 -0.02 -0.12 -0.07 0.03 0.01;-3 -1 4 2 -3 -2;0.10 -0.05 -0.20 -0.10 0.05 0;b=0;0;0;0;Aeq=1 1 1 1 1 1;beq=50;xL=zeros(6,1);xU=;x,fmin=linprog(c,A,b,Aeq,beq,xL,xU);Bond1=x(1)Bond2=x(2)Bond3=x(3)Bond4=x(4)Bond5=x(5)Bond6=x(6)ReturnEx
16、pectation=-fmin运行结果如下：Optimization terminated.Bond1 = 26.7329Bond2 = 2.5739Bond3 = 20.6932Bond4 = 3.2339e-008Bond5 = 1.7284e-008Bond6 = 6.6055e-008ReturnExpectation = 8.5000由模型一的求解可知，当x1=26.7329,x2=2.5739,x3= 20.6932，其它x均等于0，最优值为z=8.500000,即投资国库券26.7329万元，投资公司债券2.5739万元,投资房地产20.6932万元，其它投资均为0万元可使得年收
17、益最高。且平均年收益为17%满足题目要求。 7 模型验证 7.1 模型一的LINGO求解验证下面我们对模型一进行LINGO求解，程序(附录程序2)如下：max=*0.11+*0.15+x3*0.25+x4*0.20+x5*0.10+x6*0.12;+=50；-2*+5*+1*-3*-4*=0;0.02*-0.02*-0.12*-0.07*+0.03*+0.01*=0;-3*-+4*+2*-3*-2*=0;0.10*-0.05*0.20*-0.10*+0.05*=0; =0; =0; =0; =0; =0;运行结果如下： Global optimal solution found. Object
18、ive value: 8.500000 Total solver iterations: 2 Variable Value Reduced Cost X1 28.57143 0.000000 X2 0.000000 0.000000 X3 21.42857 0.000000 X4 0.000000 0.1000000E-01 X5 0.000000 0.1000000E-01 X6 0.000000 0.1000000E-01 Row Slack or Surplus Dual Price 1 8.500000 1.000000 2 0.000000 0.1700000 3 35.71429
19、0.000000 4 2.000000 0.000000 5 0.000000 0.2000000E-01 6 1.428571 0.000000 7 28.57143 0.000000 8 0.000000 0.000000 9 21.42857 0.000000 10 0.000000 0.000000 11 0.000000 0.000000 12 0.000000 0.000000由模型一的求解可知，当x1=28.57143,x2=0,x3= 21.42857，其它x均等于0，最优值为z=8.500000,即投资国库券28.57143万元，投资公司债券0万元,投资房地产21.42857
20、万元，其它投资均为0万元可使得年收益最高。且平均年收益为17%满足题目要求。这与模型一的目标函数的结果相同，但最优解的值不同。为了更进一步了解解的情况，我们将建立模型二。7.2 建立模型二由模型一的LINGO求解可知，当x1=28.57143,x2=0,x3= 21.42857，其它x均等于0，最优值为z=8.500000,即投资国库券28.57143万元，投资公司债券0万元,投资房地产21.42857万元，其它投资均为0万元可使得年收益最高。且平均年收益为17%满足题目要求。为了验证结果的正确性，我们建立另一个模型，并利用LINGO软件来求解。由问题的分析，把上述问题转化为数学模型：max=
21、0.11*+0.15*+0.25*+0.20*+0.10*x5+0.12*;+=50；3*+10*+6*+2*+5*=650;+3*+8*+6*+2*=500;=0; =0; =0; =0; =0; =0;7.3 模型二的求解通过模型二的建立，我们可以编写LINGO程序（见附录程序3）如下：max=0.11*x1+0.15*x2+0.25*x3+0.20*x4+0.10*x5+0.12*x6;x1+x2+x3+x4+x5+x6=50;3*x1+10*x2+6*x3+2*x4+x5+5*x6=650;x1+3*x2+8*x3+6*x4+x5+2*x6=500;x1=0;x2=0;x3=0;x4=
22、0;x5=0;x6=0;运行结果如下： Global optimal solution found. Objective value: 8.500000 Total solver iterations: 2 Variable Value Reduced Cost X1 28.57143 0.000000 X2 0.000000 0.000000 X3 21.42857 0.000000 X4 0.000000 0.1000000E-01 X5 0.000000 0.1000000E-01 X6 0.000000 0.1000000E-01 Row Slack or Surplus Dual P
23、rice 1 8.500000 1.000000 2 0.000000 0.9000000E-01 3 35.71429 0.000000 4 200.0000 0.000000 5 0.000000 0.2000000E-01 6 142.8571 0.000000 7 28.57143 0.000000 8 0.000000 0.000000 9 21.42857 0.000000 10 0.000000 0.000000 11 0.000000 0.000000 12 0.000000 0.000000由模型二的LINGO求解可知，当x1=28.57143,x2=0,x3= 21.428
24、57，其它x均等于0，最优值为z=8.500000,即投资国库券28.57143万元，投资公司债券0万元,投资房地产21.42857万元，其它投资均为0万元可使得年收益最高。且平均年收益为17%满足题目要求。所以x1=28.57143,x2=0,x3= 21.42857，其它x均等于0，最优值为z=8.500000是此问题的一个最优解。7.4 对比结果并分析由模型二的求解可知，当x1=28.57143,x2=0,x3= 21.42857，其它x均等于0，最优值为z=8.500000,即投资国库券28.57143万元，投资公司债券0万元,投资房地产21.42857万元，其它投资均为0万元可使得年
25、收益最高。且平均年收益为17%满足题目要求，这与模型一的LINGO求解所得的结果是相同的，故我们所建立的模型一与模型二均正确。但是我们发现，最优解解并不相同，虽然目标函数的最大值相同，均为8.5。可知上述利用MATLAB求解的过程和程序均为正确的。下面分析为什么最优解不相同：当x1=28.57143,x2=0,x3= 21.42857，其它x均等于0时，约束条件+3*+8*+6*+2*=200的值为+3*+8*+6*+2*=199.99999；当x1=26.7329,x2=2.5739,x3= 20.6932，x4= 3.2339e-008，x5= 1.7284e-008，x5= 6.6055
26、e-008时，+3*+8*+6*+2*= 1.999999999919289e+002。所以两个结果都是正确的，我们也可以对模型二利用MATLAB软件求解（模型一与模型二的正确性上面已验证过）,程序（见附录程序4）如下：format short;c=-11 -15 -25 -20 -10 -12;A=3 10 6 2 1 5;-11 -15 -25 -20 -10 -12;1 3 8 6 1 2;0 -15 -30 -20 -5 -10;b=250 -650 200 -500;Aeq=1 1 1 1 1 1;beq=50;xL=zeros(6,1);xU=;x,fmin=linprog(c,A
27、,b,Aeq,beq,xL,xU);x,fmin=-fmin/100运行结果如下：Optimization terminated.x = 27.3065 1.7708 20.9226 0.0000 0.0000 0.0000fmin = 8.5000由上可知，目标函数的结果值相同，但是最优解又不相同，可见此投资组合问题的最优解并不唯一，由运筹学的知识可知，此投资组合问题的最优解有无穷多个，目标函数的最大值为8.5万元，即平均年收益率为17%。8 结果分析 8.1 灵敏度分析由于模型一与模型二均正确，则我们利用程序2（模型一的LINGO求解）对上述问题进行灵敏度分析，可得：Ranges in w
28、hich the basis is unchanged: Objective Coefficient Ranges Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X1 0.1100000 0.1400000 0.0 X2 0.1500000 0.0 INFINITY X3 0.2500000 INFINITY 0.0 X4 0.2000000 0.1000000E-01 INFINITY X5 0.1000000 0.1000000E-01 INFINITY X6 0.1200000 0.1000000E-
29、01 INFINITY Righthand Side Ranges Row Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease 2 50.00000 INFINITY 50.00000 3 0.0 INFINITY 35.71429 4 0.0 2.000000 INFINITY 5 0.0 83.33333 33.33333 6 0.0 142.8571 INFINITY 7 0.0 28.57143 INFINITY 8 0.0 0.0 INFINITY 9 0.0 21.42857 INFINITY 10 0.0 0.0 INFINITY
30、11 0.0 0.0 INFINITY 12 0.0 0.0 INFINITY8.2对结果的分析1)对解进行分析有，这个线性规划的一个最优解为x1=28.57143,x2=0,x3= 21.42857，其它x均等于0，最优值为z=8.500000,即投资国库券28.57143万元，投资公司债券0万元,投资房地产21.42857万元，其它投资均为0万元可使得年收益最高。且平均年收益为17%满足题目要求。这只是此投资组合问题的一个最优解，其实它有无穷多个最优解，如： =27.3065, =1.7708, =20.9226, =0, =0, =0。2)上述结果给出了最优解不变条件下目标函数系数的允许
31、变化范围：的系数为（0.11-0，0.11+0.14）； 的系数为(0.25-0,0.25+ INFINITY)（INFINITY代表无穷大）;所以当国库券的年收益率向上波动，或向下波动时，我们的投资方案将不再一定是最优的，应该重新制订。如若国库券的年收益率下调5%，应将原模型（1）式中的系数数改为0.1045，重新计算，得到的最优解为=24.418604, =5.813953, =19.767443,其它x均为0，最优值为8.365698，即投资国库券的金额减少为0.24418604，增加对公司债券的投资为5.813953，减少房地产的投资为19.767443，年均收益也有变化，这就是说，最
32、优投资方案对每个投资项目的年收益率的波动是很敏感的。3)我们再对数据进行处理下，四舍五入取4位有效数字得到：=28.57; =0; =21.43;； =0； =0,； =0。再将结果代入方程不等式中，其结果满足方程，且平均年收益率为17%。9模型的推广及改进本题属于线性规划问题，上述方法不仅可以求经济问题上的最大效益问题，而且还可以求其他各方面的最优解，例如人事安排问题、运输问题等等。其实，现实生活中的许多问题都可以抽象为或转化为线性规划问题，然后利用MATLAB软件或者LINGO软件对抽象出的数学模型进行求解。此题还可以用运筹学的方法来求出最优解，还可以利用单纯形法求出最优解，并验证解的特性，但是利用单纯形法比较麻烦，因为这里有六个变量，由于约束条件的缘故，还要加上一个人工变量、四个松弛变量，故比较麻烦。除此之外，我们还可以利用计算机模拟六维空间，对问题的解空间、最优解一一分析，并对模型和问题做更进一步的分析和评价。参考文献： 1 姜启源 谢金星 叶 俊编数学模型（第
