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1、“相似型”的教学策略上海市民办梅陇中学 李贞上海普陀区教育学院 叶锦义华师范大学 数学系 黄荣金 一、“相似型”教学策略的设计背景1、“相似型”教学策略的描述定义在初中数学中，有相当规模的一类知识单元具有如下特征：它们有相似的组织结构；它们各自具有相对独立的整体性；知识的呈现方式、知识的发生、发展轨迹基本相同。例如初中平面几何中的“平行线的判定”、“等腰三角形的判定”、“全等三角形的判定”、“平行四边形的判定”和“相似三角形的判定”等都是以相似的方式呈现知识：定义判定性质。我们称这类具有相似组织结构和呈现序列的知识组块为“相似型”知识。其中，“相似三角形的判定”与“全等三角形的判定”这两个“相
2、似型”知识，它们的“相似度”最高。 2、已往教学上的弊病已往，教师一般在进行其一类“相似型”教学时，很少考虑“相似型”知识之间的内在联系，往往是按部就班，依据教材的课时划分。今天教“判定定理1”，明天教“判定定理2”，后天教“判定定理3”每个判定定理都是以固定的模式展开：“已知”、“求证”、“证明”，而且只是注重定理的本身展开，而不思考与其他相似知识的联系。证明后用较多的时间直接操练该定理的“应用”。这样教学的弊端是十分明显的。首先，学生对判定定理整体性认识一开始就被人为地割裂，缺乏对这类知识的整体性认识，不能从大局观上与原有知识建立有效的联系。也许从当堂课操练效果不错，对练习中单一使用本定理
3、显示出“能掌握、能理解”。但当几条定理全部呈现后操练时，不少学生对定理运用的选择上存在障碍。这是这种“单一对象”的教学无法克服的弊病。其次，这种“单一对象”的教学不尊重学生和低估学生原有的认知基础。明明学生对这一类相似型知识有一种“似曾相识”的感觉，有一种内在的对两类“相似型”知识主动的认知欲望或冲动，但这种主动的欲望和冲动总是被拒绝的。因此学生往往处于被动地位。第三，这种“单一对象”的教学耗时多，效益低。3、“相似型”教学策略的研究价值由于“相似型”知识在初中数学中占有相当的比重，这部分内容的教学成功与否对整个数学教学成功与否具有重要的意义。由于“相似型”知识具有相似性，这种相似性在学生的知
4、识建构中具有怎样的作用？如何把这种相似性与系统整体认识论、建构主义学习理论、数学学习的本质 化归恰当地整合起来，提高学生学习质量？我们认为对“相似型”教学的策略研究，是具有很高的实践与理论价值。于是我们设想从中选取一个具有代表性的课例作为我们研究的载体。我们想以此来说明我们可通过教师教学方式与策略的改变，促使学生学习方式和策略的改变，以达到学习质量提高的目的。4、为何以“相似三角形判定”作为研究载体相似三角形的判定是平面几何中直线图形中最后学习的内容，教材中安排在初三第一学期。教相似三角形判定前，学生已经接触了不少“相似型”知识，对“相似型”知识已经积累了一定的体验。很有可能一些学生意识到或初
5、步感受到一种默会知识，即“相似型”知识学习方式的元认知：“相似型X”的概念及定义由定义体现的“相似型X”的最基本的性质或判定“相似型X的判定定理。特别引人兴奋的是相似三角形的判定与全等三角形的判定的相似性高，因为全等三角形是相似三角形的特例（相似比等于1），也是人们的认识从特殊向一般发展的一个范例，因此，这是一个很理想的探究主题。于是我们选择了相似三角形的判定作为课例研究的载体。在这课例中，我们可用如下的框架表达我们的设计（如图1）5、“相似型“教学策略的理论依据在这个课例的设计中，我们以促进学生的主动学习、自主发展为出发点和归宿。因此以下列的理念或理论作为设计的支柱。整体放入，整体认识，整体
6、把握。我们把相似三角形的三条判定定理作为一般三角形相似的判定方法整体学习的，使学生对相似三角形判定方法在较短时间内形成完整的认知结构，有利于学生面对选择时，作出正确、有效的判断，有利于领悟学习知识时所应考虑的方式与策略等默会知识。这种策略源自系统论的整体认识论。数学教学“需要从整体上把握，至少把一个单元的数学思想，核心意识，象一个胚胎那样置于中心地位，然后，教师和学生则向这个“数学胚胎”输送营养和活力，使数学学习健康进行?”1。因此，基于知识整体结构相似性考虑，运用整体认识论来设计的“相似型”知识教学是有利于结构化知识的构建及培养元认知“调控”的能力。充分尊重学生认知基础，找准新知识的固着点。
7、现代建构主义的理论告诉我们，只有充分调动学生的认知准备，使学生将新知识与原有知识建立有效的实质性的联系，以学生的亲身体验主动构建新知识，这种学习才是有效的。我们在设计中始终以“全等三角形的判定”，“相似三角形的预备定理”作为固着点，以类比、化归为方法来构建相似三角形判定的新知识。同时，当我们构建起相似三角形判定的新知识结构时，反过来对原来全等三角形判定的知识作出适当的改变，使它纳入到新的相似三角形判定这一新的认知结构中去。在这课例中，知识的同化与顺应是非常清晰的。符号表示类比类比类比类比（部分学生存有的“？”）顺应（放到课的最后）“相似型”A全等三角形“相似型”B全等三角形全等三角形判定 （固
8、着点2）定理SASASAAASSSS（固着点1） 预备定义相似三角形判定定理？AB/A1B1= AC/A1C1，AB/A1B1BC/B1C1CA/C1A1全等三角形的概念及定义相似三角型的概念及定义最基本的性质（由定义给出）最基本的性质（由定义给出）今天学什么？ （创设问题情景）简记同化已学过的知识即将学习的知识化归图1凸现数学学习的本质，注重思想方法的领悟数学学习中经常体现化归的数学思想，学生已有一定的领悟。从某种意义上讲，数学就是一门化归的科学，数学学习的本质就是化归。在“相似三角形判定定理”的学习过程学生将看到三条判定定理的得出都是通过将其化归为预备定理得以实现的，这将势必感受到数学学习
9、的本质是化归。化归的思想不仅是数学的学科思想，而且是人们认识世界、分析问题、解决问题不可或缺的思想方法。同时，在具体构建新知识时，又用了类比推理的数学思想，这些数学思想的领悟是数学学习的主题目标之一。创设问题情境，使问题情境化、过程化、延伸化。教育心理学的理论启示我们，应该充分运用动机原理，使学生的学习具有内驱力，学习将会取得良好效果。要激起学生学习数学的内驱力的一种很有效的方法，就是创设问题情境，使学生引起认知冲突或置身于渴望求得新知解决问题的情境中，这时的学习是最为有效的。为此，我们设计了“网格中的两个三角形是否相似”的问题情境，学生用定义或预备定理难解决，激起新的判定方法的学习欲望。当学
10、了三条判定定理后，就较容易地解决了问题，使他们体会到一种学习成功的愉悦。二、“相似三角形的判定”的教学研究（一）教学设计教学目标： 1掌握相似三角形的判定定理，并能初步运用这些知识解决有关问题。 2经历“观察探索猜测证明”的学习过程，体验科学发现的一般规律，同时提高几何的图形语言、符号语言、文字语言表达能力。 3。通过相似三角形的判定定理的探索过程，渗透类比、化归等数学思想。 4。通过合作交流、自主评价改进学生的学习方式，提高学习质量，逐步形成正确的数学价值观。教学过程：教学环节教师活动学生活动板书复习提问你知道的有关相似三角形的知识有哪些？（1）相似三角形的定义及预备定理。（2）全等三角形与
11、相似三角形的关系以及全等三角形的判定。在ABC和A1B1C1中：A=A1，BB1、，CC1全等三角形的判定A.S.A；A.A.S；S.A.S;S.S.S；H.L创设情景利用已有知识，能否解此题？如图，在边长为1个单位的方格纸上有ABC和BDE，猜测ABC与BDE是否相似。若相似，能证明吗？当运用已知知识（预备定理和定义）来证明这两个三角形相似面临困难时，产生寻求更为有效的、简便的判定方法需求？课题：相似三角形的判定探求新知1猜测根据全等三角形的判定（条件），利用相似三角形定义条件，选择尽可能少的条件判定两个三角形相似。小组讨论大胆猜测板书全等相似ASA两角对应相等AAASAS两边对应成比例且夹
12、角相等SSS三边对应成比例HL2证明以上猜想是否正确，必须证明，请学生选择他们希望首先证明的命题，逐一证明。小组讨论后，全班交流。（第一个命题的证明学生口述，教师板演，强调证明思路；第二、第三个命题证明学生口述）第一个判定定理证明全过程简单应用运用相似三角形的判定定理解“情境问题”独立思考，完成后全班交流比较学生的不同证法小结与自主评价提问：全等三角形是相似三角形的特例，那么，全等三角形的判定一定也是相似三角形判定的特例，若将全等三角形的判定纳入到相似三角形的判定中，全等三角形的判定用相似三角形的判定如何描述？反思和发表对本堂课的体验和收获布置作业必做题：练习册28.4（1）选做题：将课堂中的
13、例题引申；（1）ABE为几度；（2）连结AE，ABE是什么三角形？（3）将BED沿BD翻折，再沿BC平移后，均123为几度？（运动过程，多媒体展示） （二）课堂教学行为的变化 在课堂教学实施过程中，我们特别关注以下几个环节。1、基于已有认知准备，学生通过类比猜测判定两三角形相似的条件。在学生已回顾了全等三角形的判定以及相似三角形的定义后教师鼓励学生利用已有的知识，大胆猜测判定两三角形相似的可能条件。请看以下片断。 师：刚才同学们已经回顾了相似三角形的一些性质，以及全等三角形的判定方法，结合这些知识，请你思考一下，在这些条件中，选择尽可能少的条件来判断两个三角形的相似，讨论后回答。（学生讨论，教
14、师巡视并参与组内讨论） 生：A=A1，BB1（学生口述，教师板书） 师：还有吗？ 生：AB/A1B1=AC/A1C1,且A=A1。（学生口述，教师板书） 师：还有吗？ 生：AB/A1B1=AC/A1C1BC/B1C1；（板书）还有比较复杂的。 师：噢，没关系，你说说看。 生：A=A1，BB1，AB/A1B1= BC/B1C1（板书） 师：好，请坐。他们小组得到了四种，其他小组看一看。有什么意见吗 生：前面三种我们小组同意，最后一种我们不同意，前面已有两个角相等了，只要这两个角相等，就能判定这两个三角形相似的话，后面的例式AB/A1B1= BC/B1C1是多余的.在上述师生互动中，教学鼓励学生根
15、据已有的知识及认识策略，通过学生的合作与讨论猜测三角形相似的判定条件（），进一步在同伴的帮助下，明晰判定条件（），经历构建知识的活动体验。2、学生自主探究，验证命题。学生意识到通过类比猜测所得到的命题不一定都成立,因此学生有强烈地愿望去证明这些他们亲自构建的命题是否正确。于是,组织小组讨论,不探究命题的证明。在这一过程中，充分体现学生的自主合作与交流，倾听与评价。下面这一片段展示了同学之间的互帮互学： 请你说说你们的想法。 生：已知：在ABC与A1B1C1，AB/A1B1=AC/A1C1BC/B1C1 师：他要证的是“三边对应成比例，两三角形相似” 生：在ABC中取ADA1B1 师：在哪条边上
16、取？ 生：在AB上截取ADA1B1，在AC上截取AEAC/A1C1，连结DE，可以证出ADEA1B1C1 师：很好，怎么证明这两个三角形全等？ 生：ADA1B1，AEA1C1，然后（学生证不下去了） 师：他的想法很好，但在证明两个三角形全等时，遇到了困难谁能帮助他，好你来说说。 生：因为ADA1B1，AEA1C1，且A1B1/ABA1C1 /AC，所以AD/ABAE/AC，所以DEBC，所以AD/ABDE/BC，又因为A1B1/ABB1C1 /BC，所以DEB1C1，所以ADEA1B1C1，又因为DEBC，所以ADEABC，所以ABCA1B1C1。在上述片段中，先是一位同学上黑板报告他们小组讨
17、论的结果：证明“三边对应成比例，两三角形相似”，可是讲到一半，这位学生“卡”住了（-）。此时，老师并没有急着将正确的证明教给学生，而是鼓励其他同学帮助这个同学修正和发展这一证明（,）。这样，教师仅作为问题的提供者，而将发言权交给学生，教学任务是在学生自主学习中完成的，学生才是学习的主体。3、反思交流，逐渐明晰化学生对概念或性质的理解通常经历一个从蒙胧（也许包含一些错误的理解）到明晰，直到灵活应用的过程，而这一过程需要学生通过不断的实践、交流和反思来完成的。自我的反思在这一过程中起着关键的作用。在这节课中，一开始，史莹璐同学提出“全等三角形的判定定理都可以用在相似三角形的判定中”，而且在教师的追
18、问下，她一再坚持这个说法是正确的，考虑学生说法内含一定的合理成分，但仅学生的当时知识基础，老师说“这个问题留着，新课上完后我们再来讨论”。这样很自然地为学生设计了一个反思的问题。等到介绍完了三个判定定理，把学生引向到讨论是否“全等三角形的判定定理都可以用在相似三角形的判定中”。师：我们再回到史莹璐提出的这个问题。“全等三角形的判定方法都可以用在相似三角形的判定上”。刚才，史莹璐同学还是认为她的观点是对的。噢，你说说。史莹璐：我现在认为，比如，全等中的S、S、S边、边、边只要把它的对应“相等”改为对应“成比例”，就可以用在相似三角形的判定中了。师：对，这样就对了。通过上述对话，学生通过这节课的学
19、习与反思，把自己的观点明晰化，把原先原始的直觉观点，精致成为科学的论断。这种过程的呈现，不仅对这位同学是一个主动学习与内化的过程，也促进了学生之间互相启发、取长补短的学习共同体的形成。 （三）教师理念、行为的转变1、课堂整体设计的转变 （1）重视现代信息技术的应用现代信息技术的迅速发展和广泛应用，对数学课堂教学产生了重大的影响，现代信息技术的应用对于改善数学课堂教学过程，帮助学生理解数学知识本质和提高数学应用能力、改进学习方式起到重要作用。在第一次教学设计中，多媒体仅仅用作呈现教学材料的目的，而在第二次教学设计中，充分考虑如何用多媒技术来展示证明的思想方法及过程，以及通过图形的变换来揭示问题之
20、间的内在联系，这样较好地把技术与数学学习的本质结构起来。正如在课后访谈中，同学在回答“今天这堂课留给你最好印象是什么？”时，有的说“充分利用学校的硬件设备，使课堂变得生动、形象，我很喜欢”；也有的答道：多媒体教室里设备齐全，可以使老师做好充分准备，以致于不会浪费时间，毕竟四十分钟很有限”。的确，现代技术与课程内容整合，可将数学中抽象的东西直观化，展示思维的过程，对于改进教学，提高教学质量有着积极作用。 （2）任务的创设与使用课堂总是围绕某些任务（或问题）而展开的。一个精心设计的问题，不仅可以用来激发学生学习新知识的动机，也可用来作为应用学习新知识的载体，更可通过适当的变式使问题解决延伸到课堂以
21、外，拓展学生探究的空间。在这节课中贯穿始终的只有一个任务（即判定方格纸中两个三角形的相似性），在课的开头，它作为激发学生探究“三角形相似判定”的问题情境。在学习了新知识后，它成为学生运用新知来解决此问题自然平台，使学生有学以致用的成就感。此外，当学生解决了这个问题时，教师再将此题引申形成新的具有挑战性的问题，并将问题延伸到课后。这样不仅使这节课前后呼应，内在一致，而且为学生的主动探究，从情感与认知两方面都提供了合理的载体。这样的教学往往给人新鲜的感觉，能唤起学生的好奇心和求知欲，因而产生主动参与的动力。然而，第一次教学设计中，任务的创设主要是为激发学习动机的情境服务。而在第二次教学设计中，创设
22、的任务贯穿于整个课堂：激发动机，知识应用，课后探究。2、课堂关注点的改变在以往的教学中，我们往往关注知识的传授与获得。例如，在本节课的教学中，会把学生是否掌握相似三角形的判定定理作为教学成功与否的唯一标准。而在这节课的处理时，教师更关注对思想方法的理解。本课由类比全等三角形的判定猜想得到相似三角形的判定，企盼在这一过程中，学生能了解两者的内在联系，理解蕴含在其中的辩证唯物主义思想。在证明相似三角形判定定理的过程中，始终贯彻“化归”的思想，从而达到突破教学难点的目的。此外，我们更关注学生的学习方式。从形式上，将课堂教学的空间形式由原来的“秧田式”座位排列改为T型排列，缩短了学生与学生之间的距离，
23、增强了学生间的相互交流的机会，形成合作学习的课堂氛围。从本质上说，这节课的教学试图体现对“相似型”知识”的学习方式：利用已有知识，通过类比与化归来构建新知。 （四）教学评价1、学生课后调查我们分别对同年级两个平行班的学生进行调查。甲班是按课本内容、教学进度进行教学，一节课中仅完成了相似三角形判定定理1的教学。乙班是按本文中提及的教案进行教学，一节课完成了三个判定定理的教学。在甲、乙两班中的由班主任各抽15名学生（好、中、差各5名），进行两方面的调查，一方面是学生对这节课的感受，另一方面是对教学内容的测试。统计结果表明，对于数学学科喜爱程度相仿的两个班，在授课方式上的喜爱程度乙班略高，在数学思想
24、的认识上，乙班明显优于甲班。 在第二部分的测试中，对乙班15名学生进行“判定定理3”证明的测试，其中13名学生完全正确，2名学生也掌握了证明的方法，但偶有叙述上的错误。由此可见，实验班的学生，不仅喜欢这种课堂设计、对知识有较好的把握，而且较好地领会本节课设计思想：利用类比与化归来探究新知。 2、自主评价 在课的最后，留出5分钟的时间，让学生交流本堂课中的体验及收获。这种交流是开放式的。它包括知识上的收获，能力上的提高，数学思想、方法的领悟，过程的体验与感受，以及对老师、同伴、自身教学行为的反思、评价。同时，学生也可以对本堂课进行质疑，说出心中的疑惑，谈谈自己不同的见解。在本节课中，学生自主评价
25、提到如下几个方面（1）数学思想方法：类比、化归。生1：我们学习相似三角形的判定是结合全等三角形的判定得到的。生2：相似三角形的判定定理的证明都是用预备定理来解决的。（2）同伴互助。生3：我第一次站起来讲错了，但经同学的帮助，我现在学会了。（3）自主发现。生4：我认为今天我们学到的三个判定定理比预备定理更加有用、实用。（4）学生质疑。生5：为什么全等中的A.A.S在相似三角形中没有对应的判定定理。立刻有学生回答了这个问题：A.A.S没有必要去证它，困为A.S.A与A.A.S都对应于“两角对应相等”。此外，全等三角形与相似三角形的特殊关系在“小结与自主评价”这一教学环节中得以升华，在由学生认识到，
26、把“全等三角形三边对应相等”改为“相似三角形三边对应成比例”后，教师提出“能否将全等三角形的判定定理纳入到相似三角形的判定定理中，用相似三角形的判定定理来描述”这一问题，使学生真正领悟到全等三角形与相似三角形两者之间的内在联系。可见，自主评价是数学教学过程中极为重要的一环，是学生一节课的升华阶段，我们提倡“让学生在学习过程中评价，在评价过程中学习”，并且认为，学生长期经历自主评价，能形成价值判断意识，获得强劲的评价能力，逐步树立正确的数学价值观。三、结论与讨论在”相似型”知识教学设计与实施中，我们深切感受到，这种教学设计策略是有效的、可行的，有利于促进自主探索、合作交流的学习方式的形成，是实施
27、新课程所倡导理念的一种有效尝试。具体来说，这种教学设计策略有如下特点：(1)优化认知结构给学生提供一个较为完整的知识整体结构有利学生对知识的理解（即，知识之间的关系的把握），并形成合理的、本质相关的认知结构，这将有助于学生在应用知识时，迅速而有效地提取及重组。在这一方面，“相似型”知识教学设计策略具有独特的优点，而且在中小学数学教材中有许多“相似型”知识单元，因此，这种教学策略有一定的普适性。(2)促进自主学习由于，“相似型”知识教学策略十分强调学生已有的知识和学习经验，把新知识的获得看成是一个学生根据他们已有的认知准备，通过类比、猜测新的知识，进行证明或反驳的科学发现过程，这为学生的主动探究
28、学习提供了理想的平台及可能性。(3)改进学习质量学习方式改变的正真目的在于改进学习质量。通过“相似型”教学策略的实施，学生不仅可以主动的探究、获得新知识，而且体验到构建新知识的方法：类比和化归。这是十分重要的两种数学思想方法。因此，在种课堂教学中，学生不仅获得了知识与技能、数学思想方法，更为重要的是经历了主动构建过程的体验，改变了学习的习惯。然而，我们在设计与实施过程中，也体会实施这种教学策略需要教师较高的教学智慧。比如，“相似型”教学设计呈现块状的知识，相对来说知识的容量较大，在一节课中，如何处理好关键知识点的深广度与各个知识点的全面理解是一个需要平稳的问题？如何设问来引发学生对“相似型”的
29、联想，以及创设问题情境来激发学生通过类比方法来探究新知识，这也是一个富有挑战性的问题？另一个基本问题是如何处理学生的主动探究与教师的适度介入问题。一般而言，鼓励学生发表他们的观点，经常反思是十分重要的。总之，我们认为，“相似型”教学策略是有其独特魅力，值得教师去探究的一个领域。参考文献 1张奠宙、李士錡、李俊。数学教育学导论。高等教育出版社。2003年4月，第125页。评点本课例关注一个有一定共性的“相似型”知识的教学问题，而且大胆地突破了常规处理。这种探究对日常教学有直接的启示作用。在整个课例的设计、实施、反思和改进过程中，始终关注数学学习规律的应用（将新知识建立在学生原有的知识准备之上），
30、强调利用类比和化归思想来主动建构数学知识，追求学习方式的转变（观察探索猜测证明的学习过程）。而实现这一设计理念的一个关键是合适的情境创设。本课例中，一个精心设计的“判定方格纸中两个三角形的相似性”问题，不仅用来激发学生学习新知识的动机，也用来作为应用学习新知识的载体，而且通过适当的变式使问题解决延伸到课堂以外，拓展学生探究的空间。另外，通过主自评价对课堂学习进行质疑、反思和评价，培养学生监控学习过程的元认知能力的做法也值得借鉴。（评点人：黄荣金）技术支持下的数学应用教学一个“利用数学知识解决水土流失问题”案例研究 上海市闸北区教育局教研室 孟小龙 上海市新中高级中学 张慧 华中全 陶志诚一、引
31、子伴随着略带伤感的钢琴曲，六幅反映我国水土流失日益严重的图片依次呈现在学生面前，接着，大屏幕上显示：2002-9-15国家林业局人事教育司江泽慧在“西部开发林业系列讲座”第一讲中指出：我国是世界上水土流失最为严重的国家之一，我国现有水土流失面积179万平方公里，全国15-25度的坡耕地面积1.9亿亩。日益严重的水土流失导致生态环境恶化严重制约了我国部分地区的经济社会发展，下决心改善这些地区的水土流失问题，已成为摆在我们面前的一项紧迫任务。学生们望着目不转睛、全神贯注地看着屏幕，沉思着。此时，的同学们，老师深情地说：“由上述信息，我们发现我国的水土流失现象已经非常地严重。国家兴亡，匹夫有责。这节
32、课我们就来尝试利用我们已学过的数学知识来探究探究 水土流失问题”这是在上海市某高中高二年级进行的一节关于数学应用研究课的开头。为了促进新课程理念在数学课堂中的真正落实，我们按照顾泠沅教授倡导的“三个阶段，两个反思”行动教育研究模式，选择了“利用数学知识解决水土流失问题”这一既具有时代感又体现人文精神的数学应用课题，开展了行动研究。本课例研究共进行了三次试讲与两次课后反思，上述片段是经两次改进后的课堂教学的一幕。下面，我们将分别介绍:改进后的课堂教学特点；改进过程中老师的转变；以及学生的体会和收获。 二、改进后的课堂教学特点 1、课堂总体结构本节课由下列阶段组成：情境创设；提出问题；问题解决；问
33、题延伸和总结。在这些过程中，教师和学生的活动如下表一所示。表一、 课堂总体结构教学过程教师行为学生行为屏幕演示或板书（一）课题引入播放一组有关“水土流失”的图片。配音乐，文字说明看大屏幕。利用数学知识探究“水土流失”问题。（二）引出问题教师：由上述材料，很明显坡耕地的存在是造成水土流失的一大隐患。因此我们非常有必要采取些什么措施来解决这个问题？学生回答：退耕还林。一九九九年八月六日，在延安考察工作的中国国务院前总理朱镕基提出了“退耕还林(草)、封山绿化、个体承包、以粮代赈”的政策措施教师：事实上九九年我国政府就已明确了政策看大屏幕。教师：同时，我收集到了我国近4年退耕数据（教师分发材料）学生看
34、材料屏幕显示材料教师提出问题：假如按近四年退耕还林的速度，我国到哪一年能完成退耕任务？学生结合材料提炼、整理数据、讨论。教师在黑板上板书：问题:我国到哪一年能完成退耕任务？（三）课题探究教师在各小组中巡视，适当参与同学们的讨论，并鼓励学生尝试各种方法，并作适当总结学生运用TI计算器自主解决问题。方法1：二阶等差数列方法2：函数拟合（学生板书与操作略）（四）问题引伸教师：假设国家加大退耕的力度，要求2009年底完成退耕任务，那应该怎么办？学生自主探究解决。屏幕显示学生用图形计算器探究过程教师：现在国家实行退耕政策，农民会面临些什么问题？学生回答：、农民没耕地了。、他们怎么生活啊？教师：大家想一想
35、怎么办？学生回答：政府给农民补粮食、补钱。教师：确实我国政府也是这么考虑的。教师演示课件。学生看大屏幕：中国国务院前总理朱镕基指示：（略 ）教师：我们假定国家财政补助农民每亩500 斤粮食，每斤粮食按 0.7元折算。 请大家来算一算：学生运用TI计算器，讨论解题，得出结论：政府给予财政补助达4千多亿到国家2009年底完成退耕任务时，国家财政共需支付约多少亿元？屏幕显示学生探究过程（五）问题深入教师：政府不能一直补贴下去，可进一步采取什么措施？学生：种树、种草、劳务输出、修梯田等在学生提到修梯田时，教师补充：修梯田在我国很多地方已经实施；比较著名的有。学生看大屏幕：显示红河哈尼梯田改造前后的比较
36、图（六）问题延续教师就种树适当展开，留下课后探究作业：假定某农民在政府鼓励下承包了一大片坡耕地，经过几年的苦心经营，现已建成了一初具规模的林场。现在，他想把林场稳定在一定规模的同时，又通过木材的上市去获取尽可能多的经济效益，大家不妨帮他出谋划策：看看怎样的种植率和砍伐率能帮他实现这个目标。当然，在探究的过程中，要注意考虑到树木的生长周期及市场上木材的价格等等，可上网查找（七）小 结1、 教师提问：通过本节课的学习，同学们有何感想？学生谈到：应关注环保、数学有用、探究问题不容易、TI计算器功能强大等。2、教师小结2、课堂片段分析为了揭示学生是如何根据教师提供的信息，通过合作与交流，提出问题，寻求
37、不同的解决问题策略，最后引发对社会的关爱，下面我们摘录部分片段进行讨论。（1）明晰信息，提出问题 接着本文开头描述的一幕: 当学生开始关注“水土流失”问题时，教师立即给学生提供以下几组数据：数据一：我国近4年(1999年-2002年)完成退耕还林数据(如图1所示) 图1 1999年至2002年完成退耕还林数据数据二：“我国现有水土流失面积为179万平方公里，全国15-25度的坡耕地面积为1.9亿亩(2002年9月数据)。数据三：光明日报报道：全国25度以上的坡耕地面积为9100万亩(2000年4月数据)。说明：坡耕地分为4类：08、815、1525、25以上。其中25以上的坡耕地会造成较多的水
38、土流失，因此国家决定对这一部分坡耕地实行“退耕还林（草）”政策。接着，教师要求学生根据这些数据来探究问题I: 我国到哪一年能完成退耕任务？学生运用TI计算器自主解决问题，教师巡视,不时鼓励学生尝试各种方法.然后,教师邀请同学上讲台演示他们的方法. （1）师：下面请A 同学谈一下他的做法。 （2）学生A：据前四年退耕数据，我发现它们近似成二阶等差 后一项减前一项依次为140,160和180(近似数)构成一等差数列.，就按照此规律从03年开始探究。 （3）教师：非常好，请你上去给大家演示一下。 （4）学生A操作： （5）师：A同学根据二阶等差规律，探究出我国到2012年底能完成退耕任务，对此大家有
39、没有什么异疑。 （6）学生B：老师，A同学好象做错了，我认为应该从1999年开始退，因为99年数据是现成的；我做出来是13年，也就是我国到2011年底能完成退耕任务，而不是2012年底。 （7）学生C：我认为都可以的，只不过开始探究的年份不一样，但结果都对的，象我从2002年做也是到2011年底。 （8）学生D：老师，A同学是不对的，我是从2000年开始探究的，做出来也是到2011年底能完成退耕任务的。 （9）教 师：应该说C同学说得对，这个问题我们不管从哪一年开始探究，都应该得到同样的结果；可现在我们同学得到了两种不同的结果，大家来找一找是什么原因。利用学生的不同答案生疑,然后,鼓励学生释疑
40、 （10）学生E：老师，你看黑板上A同学的三个数据：140、160、180，而第三个数据精确值为181.9，误差差不多10%，所以相差一年也很正常。 （11）教师：有道理，A同学发现二阶等差规律时采取了近似处理，有比较大的误差，从而会对结果造成一定的影响。不过，大家再想一想还有没有其它原因？ （12）学生F：我不知道A同学怎么想到二阶等差的，我认为数据体现的应该是等比规律。（13）教师：很好，我们可以接着探究；但是还没有说明前面矛盾产生的原因。这样，我再问一下A同学，你看一下大屏幕，为什么你认为是第10年底，而不认为是第9年底呢？ （14）学生A：因为2003年现有坡耕地28100万亩 190
41、00（15-25度，2002年9月数据）+9100（25度以上，2000年4月数据）=28100万亩。 （15）教师：好，大家再结合材料看看能否发现原因？ （16）学生G：我看出来了，材料三2000年4月11日光明日报指出的坡耕地可认为是99年底的数据，现在A从2003年做，那现有坡耕地应该是28100减去00年、01年、02年已退的。 （17）师：非常好！大家再算一算2003年我国现有坡耕地应该为多少？学 生：24176万亩 28100-(1141.1+1300.5+1482.4)=24176。 （18）教师：大家再看一下屏幕上的显示，我们发现第9年底24728就已经超过了24716。因此，
42、我们也应得出：到2011年底能完成退耕任务。在上述讨论中,由于三位学生获得相同的答案,从而一致质疑学生A答案的合理性( ).此时,教师不失时机地鼓励学生去解释学生A产生错误的原因().有的学生试图从数据取近视值的误差来解释(),有的学生从二阶等差数列规律的不合适来解释(),最后,在教师的启发下,学生找到了导致同学A求解错误的根源是递推的初始值不正确().这种基于学生的错误,由学生提出问题,并解决问题的教学策略,有利于培养学生独立的探究和批判精神。(2) 优化解题策略根据学生观点“二阶等差有比较大的误差,等比数列更加精确”,教师进一步鼓励学生去寻求不同的解法。教 师：好，这个问题解决了。应该说，
43、A同学通过前四年的数据找规律去探究问题，这个思维模式非常好；不过，E同学又提出了，A发现的二阶等差有比较大的误差，那我们就再看看能不能发现更好的规律？事实上，F同学已经提出了是等比，大家试一试。学生H：我认为A和E的方法本质上是一样的，都有误差；今天，我们是探究实际问题，这样科学吗？教 师：好！我们发现后面一年和前面一年数据的比都非常接近于？学 生：1.14！教 师：对！是等比。可是H同学提出这也有误差。既然我们今天是探究实际问题，应该使我们发现的规律具有比较高的可信度才行。学生I：提到可信度，我想到了函数拟合，它不是可以进行可信度的比较吗？教 师：非常好！通过数据找规律，TI计算器函数拟合功
44、能很好，而且能给出拟合的可信度。下面大家就来尝试一下。学生I上讲台操作：输入前四年退耕数据（1），画出离散点图形（2），用直线型拟合（3）（4） （1） （2） （3） （4）I同学操作过程中，A同学又提出：我用指数型函数拟合，我觉得效果好。学生I用指数型函数拟合（5）、（6） （5） （6） （教师巡视）。学生J：老师，可以用二次函数拟合吧？教 师：可以，你去尝试一下！大屏幕上显示I同学操作到指数型函数拟合与直线型拟合可信度的比较时教师问同学J：二次函数的可信度是多少？学生J ：比指数型低。教师：好！同学们分别用直线型、二次函数、指数型函数对前四年的数据进行了拟合，我们发现哪一个可信度高？学
45、生：指数型函数。在解决实际问题时，允许有一定的误差。由于不同方法的误差有大小，学生自然想到用函数拟合的方法来比较各种解法的“可靠性”。出人意料的是，学生们除了用指数型函数拟合之外，还用到了一次函数、二次函数。教师抓住时机鼓励学生比较不同解法的拟合可靠度，优化解题策略。学生借助于TI计算器的强大功能，这些问题得到了圆满的解决。在这一过程中，教师不仅鼓励学生寻求多种解题策略，也且也启发学生对问题的解进行优化，使学生真正感受与体验解决问题的过程。（3）提炼数学思想方法教 师：我们再来看一下大屏幕，指数型函数拟合的结果可靠系数r=0.99999988,又进一步告诉我们：前四年的数据呈现了什么规律？学 生：等比。教 师：公比为多少？学 生 ：1.14。教 师：这实际上证明F同学发现的等比规律有很高的可信度。好，下面我们就按照此规律继续探究
