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1、第三章,静 磁 场,第三章静 磁 场,本章重点：1、矢势的引入和它满足的微分方程、静磁 场的能量2、引入磁标势的条件及磁标势满足的方程 与静电势方程的比较3、了解A-B效应和超导体的电磁性质,本章难点：利用磁标势解决具体问题,本章重点：本章难点：利用磁标势解决具体问题,介质中的麦克斯韦方程,2、12个未知量，6个独立方程，求解必须给出 与 ， 与 的关系。,1、介质中普适的电磁场基本方程，可用于任意介质， 当 ，回到真空情况。,介质中的麦克斯韦方程 2、12个未知量，6个独立方程，求,边值关系一般表达式,理想介质边值关系表达式,一侧为导体的边值关系表达式,边值关系一般表达式理想介质边值关系表达
2、式一侧为导体的边介质1,3.1 矢势及其微分方程,1稳恒电流磁场的基本方程,a.稳恒电流磁场：传导电流（即运动电荷）产生的不随时间变化的磁场。,b.基本方程,c.边值关系,本节仅讨论 情况，即非铁磁的均匀介质。这种情况静电场和磁场可以分离，不发生直接联系。,实际上当建立一个与电荷一起运动的参照系时，在这个参照系中观测，只有静电场。,3.1 矢势及其微分方程1稳恒电流磁场的基本方程a.稳恒,2矢势的引入及意义,静电场,b.物理意义：,（a） 与 的关系,稳恒电流磁场,其中S 为回路L 为边界的任一曲面,a.,2矢势的引入及意义静电场b.物理意义：（a） 与,（b）磁通量只与曲面L的边界有关，与曲
3、面的具体形状无关,（c）物理意义,、矢势的不唯一性,（b）磁通量只与曲面L的边界有关，与曲面的具体形状无关（c）,二矢势满足的方程及方程的解,1 满足的方程,（1）稳恒电流磁场矢势满足(矢量)泊松方程,（2）与静电场中 形式相同,（3）矢势为无源有旋场,二矢势满足的方程及方程的解1 满足的方程（1）稳恒电,2矢势的形式解,已知电流密度，可从方程直接积分求解，但一般电流分布与磁场相互制约，因此一般情况需要求解矢量泊松方程。,3 的解,这正是毕奥- 萨伐尔定律,通过类比,2矢势的形式解 已知电流密度，可从方程直接积分求解，但一,4 的边值关系 *,（a）,4 的边值关系 *12（a）,（b）,特殊
4、情况： 若分界面为柱面，柱坐标系中当, 若分界面为球面，当,（b）特殊情况： 若分界面为球面，当zxyxzy,5矢量泊松方程解的唯一性定理,定理：给定V内传导电流 和V边界S上的 或V 内稳恒电流磁场由 和边界 条件唯一确定。,三稳恒电流磁场的能量,已知均匀介质中总能量为,1在稳恒场中有, 不是能量密度。,能量分布在磁场内，不仅分布在电流区。,5矢量泊松方程解的唯一性定理定理：给定V内传导电流 和V, 导出过程, 导出过程,2. 电流分布在外磁场中的相互作用能,最后一项称为相互作用能，记为 ，,可以证明：,设 为外磁场电流分布， 为外磁场的矢势； 为处于外磁场 中的电流分布，它激发的场的矢势为
5、 。总能量：,2. 电流分布在外磁场中的相互作用能最后一项称为相互作用,第三章第二节,磁 标 势,第三章第二节磁 标 势,2. 磁标势,原因：静电力作功与路径无关， 引入的电势是单值的；而静磁场 一般不为零，即静磁场作功与路径有关，即使在能引入的区域，标势一般也不是单值的。,一引入磁标势的两个困难,2在电流为零区域引入磁标势可能非单值。,2. 磁标势原因：静电力作功与路径无关，,二引入磁标势的条件,语言表述：引入区域为无自由电流分布的单 连通域。,讨论：1）在有电流的区域必须根据情况挖去一部分区域；2）若空间仅有永久磁铁，则可在全空间引入。,用公式表示,显然只能在 区域引入，且在引入区域中任何
6、回路都不能与电流相链环。,二引入磁标势的条件语言表述：引入区域为无自由电流分布的单讨,三磁标势满足的方程,1引入磁标势区域磁场满足的场方程,不仅可用于均匀各向同性非铁磁介质，而且也可讨论铁磁介质或非线性介质。,2引入磁标势,三磁标势满足的方程1引入磁标势区域磁场满足的场方程,3 满足的泊松方程,4边值关系,3 满足的泊松方程4边值关系,四静电场与静磁场方程的比较,静磁场,静电场,四静电场与静磁场方程的比较静磁场静电场,静电势与磁标势的差别：,因为到目前为止实验上还未真正发现以磁单极形式存在的自由磁荷。对静磁场人们认为分子电流具有磁偶极矩，它们由磁荷构成，不能分开。,静电场可在全空间引入，无限制
7、条件；静磁场要 求在无自由电流分布的单连通域中才能引入。, 静电场中存在自由电荷，而静磁场无自由磁荷。,注意：在处理同一问题时，磁荷观点与分子 电流观点不能同时使用。,虽然磁场强度与电场强度表面上相对应，但从物 理本质上看只有磁感应强度才与电场强度地位相 当。描述宏观磁场，磁场强度仅是个辅助量。,静电势与磁标势的差别： 因为到目前为止实验上还未真正发,例1 证明的磁性物质表面为等磁势面。,解:,例1 证明的磁性物质表面为等磁势面。解:以角标1,以及,可得,式中n和t分别表示法向和切向分量。,因此，在该磁性物质外面，H2与表面垂直，因而表面为等磁势面。,两式相除得,以及可得式中n和t分别表示法向
8、和切向分量。因此，在该磁性物质,例2 求磁化矢量为M0的均匀磁化铁球产生的磁场。,铁球内和铁球外两均匀区域。在铁球外没有磁荷。在铁球内由于均匀磁化，则有,因此磁荷只分布在铁球表面上。球外磁势1和球内磁势 2 都满足拉普拉斯方程，即,解:,例2 求磁化矢量为M0的均匀磁化铁球产生的磁场。铁球内和铁,当R时， 10 ，所以 1只含R负幂次项。,当R=0时，2为有限值，所以2只含R正次幂项。,铁球表面边界条件为当R=R0 (R0为铁球半径)时，,当R时， 10 ，所以 1只含R负幂次项。当R=0,比较Pn的系数，得,于是得,比较Pn的系数，得于是得,由此可见，铁球外的磁场是磁偶极子产生的场，磁矩为,
9、V为铁球的体积。,球内磁场是,由此可见，铁球外的磁场是磁偶极子产生的场，磁矩为V为铁球的体,3 磁多极矩,本节研究空间局部范围内的电流分布所激发的磁场在远处的展开式。与电多极矩对应，引入磁多极矩概念，并讨论这种电流分布在外磁场中的能量问题。,1、矢势的多级展开,给定电流分布激发的磁场矢势为,如果电流分布于小区域V内，而场点x又比较远，可以把A(x)作多极展开。,3 磁多极矩本节研究空间局部范围内的电流分布所激发的磁场在,取区域内某点O为坐标原点，把1/r的展开式得,则第一项为,由恒定电流的连续性，可把电流分为许多闭合的流管，则,I为在该流管内流过的电流。因此,磁场展开式不含磁单极项，即不含与点
10、电荷对应的项,，此式表示,取区域内某点O为坐标原点，把1/r的展开式得则第一项为由恒定,第二项为,先就一个闭合线圈情形计算上式。若线圈电流为I，,在被积式中，R/R3为固定矢量，与积分变量无关。,有,x为线圈上各点的坐标，因此,第二项为先就一个闭合线圈情形计算上式。若线圈电流为I，在被积,利用全微分绕闭合回路的线积分等于零,得到,A(1)可写为,利用全微分绕闭合回路的线积分等于零得到A(1)可写为式中称为,因为,Idl JdV ,所以磁矩为：,对于一个小线圈，设它所围的面元为S ，有,所以,特例：圆形载流线圈，圆面积S=R2,因此,因为Idl JdV 所以磁矩为：对于一个小线圈，设,二、磁偶极
11、矩的场和磁标势,由A(1)可算出磁偶极矩的磁场,因为,所以,二、磁偶极矩的场和磁标势由A(1)可算出磁偶极矩的磁场因为所,在电流分布以外的空间中，磁场应可以用标势描述，因此再把上式化为磁标势的梯度形式。m为常矢量，由附录（I.23式），,所以,磁偶极势形式上和电偶极势相似。,在电流分布以外的空间中，磁场应可以用标势描述，因此再把上式化,三、小区域内电流分布在外磁场中的能量,设外磁场Be的矢势为Ae, 则J(x) 在外磁场中的相互作用能量为：,载电流I 的线圈在外磁场中的能量为：,e为外磁场对线圈L的磁通量。,三、小区域内电流分布在外磁场中的能量设外磁场Be的矢势为Ae,注意：,这式子和电偶极子
12、在外场中的能量-pE完全对应。,磁偶极子受到外磁场Be的力和力矩，应根据势函数,磁偶极子在外磁场中所受的力是,来计算。磁偶极子在外场Be中的势函数为：,注意：这式子和电偶极子在外场中的能量-pE完全对应。磁偶极,磁偶极子所受的力矩为,计及力矩的方向，得,磁偶极子所受的力矩为计及力矩的方向，得电偶极子磁偶极子,第三章,第四节 阿哈罗夫-玻姆效应,第三章第四节 阿哈罗夫-玻姆效应,3.4 阿哈罗夫-玻姆（A-B）效应,1959年阿哈罗夫-玻姆提出在量子力学可适用 的微观态中 和 有可观测的物理效应，这 一效应被称为A-B效应。,A-B效应表明，在量子物理中磁场的物理效 应不能完全用 来描述，矢势可以对电子发 生相互作用。但是由于 的任意性，用它描 述磁场显然又过多。,3.4 阿哈罗夫-玻姆（A-B）效应 1959年阿哈罗夫-,带有螺线管电子衍射实验发现，能够完全且恰当的描述磁场的物理量是相因子： 。若L为可缩小到一点的无穷小路径，则,因此相因子描述等价于局域磁场的描述。但是当L为不能缩小到一点的路径时，则相因子所包含的物理信息就不能用局域场描述。,带有螺线管电子衍射实验发现，能够完全且恰当的描述磁场,第五节 超导体的电磁性质（自学）,第五节 超导体的电磁性质（自学）,
