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1、读书是基础 反思是重点 行动是关键,1.2.1任意角的三角函数,例3,四,例2,例4,检测,作业,问题提出,1.现在我们是怎样认识角这一数学概念的，包括哪些情形？,（1）角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形.,（2）按逆时针方向旋转形成的角为正角，按顺时针方向旋转形成的角为负角，没有作任何旋转形成的角为零角.,（3）角的大小是任意的.,2.什么叫做1弧度的角？度与弧度是怎样换算的？,（1）等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.,3. 与角终边相同的角的一般表达式是什么？,=k360（kZ）,（2）180 rad.,4.如图，在直角三角形ABC中，sin，co
2、s，tan分别叫做角的正弦、余弦和正切，它们的值分别等于什么？,5.当角不是锐角时，我们必须对sin，cos，tan的值进行推广，以适应任意角的需要.,y,x,思考1 在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？,o,a,r,如果改变点在终边上的位置，这三个比值会改变吗？,M,O,y,x,P(a,b),诱思探究,能否通过|op|取特殊值将表达式简化呢？,1、任意角的三角函数第一定义,设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点,规定:（1） 叫做 的正弦，记作 ，即 ；,（2） 叫做 的余弦，记作 ，即 ；,（3） 叫做 的正切，记作 ，即 。,注意：正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的
3、坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将他们称为三角函数.,R,R,任意角的三角函数的定义过程：,例1：如图已知角的终边与单位圆的交点是 ， 求角的正弦、余弦和正切值。,解：根据任意角的三角函数定义：,点评：若已知角的终边与单位圆的交点坐标，则可直接利用定义求三角函数值。,实例剖析,理论迁移,例2、求 的正弦、余弦和正切值.,所以,思考：若把角 改为 呢?,，,数形结合法,例3 已知角 的终边经过点 ，求角 的正弦、余弦和正切值 .,解:由已知可得,设角 的终边与单位圆交于 ，,分别过点 、 作 轴的垂线 、,于是，,于是，,法二解：由已知可得：,定义法,设角 是一个任意角， 是终边上的任意一点
4、，点 与原点的距离,那么 叫做 的正弦，即, 叫做 的余弦，即, 叫做 的正弦，即,任意角 的三角函数值仅与 有关，而与点 在角的终边上的位置无关.,定义推广：,点评：已知角终边上异于单位圆上一点的坐标，求三角函数值，可根据三角形相似将问题化归到单位圆上，再由定义得解。,2、任意角的三角函数第二定义：,几个特殊角的三角函数值,变式1、已知角 的终边过点 ， 求 的三个三角函数值.,于是，,解：由已知可得：,变式2：已知角的终边经过点P(2a,-3a)，求角的正弦、余弦、正切值,三角函数的符号三角函数在各象限内的符号：,三角函数在各象限内的符号：,三角函数在各象限内的符号：,规律： “一全正、二
5、正弦、三正切、四余弦”,例4 求证：当且仅当下列不等式组成立时， 角 为第三象限角.反之也对。,证明：,因为式 成立,所以 角的终边可能位于第三 或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上；,又因为式 成立，所以角 的终边可能位于第一或第三象限.,因为式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限.于是角 为第三象限角.,反过来请同学们自己证明.,思考6：,如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？,？,思考6：,如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？,终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）,公式作用：可以把求任意角的三角函数值，转化为求 角的三角函数值 .
6、,？,例5 求下列三角函数值： （1） （2）,解：（1）,练习 求下列三角函数值,（2）,例6 确定下列三角函数值的符号： （1） （2） （3）,（2）因为 = ， 而 是第一象限角，所以 ；,练习 确定下列三角函数值的符号,（3）因为 是第四象限角，所以 .,1. 内容总结：,三角函数的概念.三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号.诱导公式一.,运用了定义法、公式法、数形结合法解题.,划归的思想，数形结合的思想.,2 .方法总结：,3 .体现的数学思想：,角的终边与单位圆交于点P.过点P作x轴的垂线,垂足为M.,|MP|=|y|=|sin|OM|=|x|=|cos|,三角函数线正弦线
7、和余弦线,【思考】为了去掉上述等式中的绝对值符号,能否给线段OM、MP规定一个适当的方向,使它们的取值与点P的坐标一致?,【定义】有向线段,* 带有方向的线段叫有向线段.,*有向线段的大小称为它的数量.,在坐标系中,规定: 有向线段的方向与坐标系的方向相同.即同向时,数量为正;反向时,数量为负.,当角的终边不在坐标轴上时,以M为始点、P为终点,规定: 当线段MP与y轴同向 时,MP的方向为正向,且有正值y; 当线段MP与y轴反向时MP的方向为负向,且有负值y. MP=y=sin 有向线段MP叫角的正弦线,|MP|=|y|=|sin|OM|=|x|=|cos|,当角的终边不在坐标轴上时,以O为始
8、点、M为终点,规定: 当线段OM与x轴同向 时,OM的方向为正向,且有正值x; 当线段OM与x轴反向时,OM的方向为负向,且有负值x. OM=x=cos 有向线段OM叫角的余弦线,过点A(1,0)作单位圆的切线,设它与的终边或其反向延长线相交于点T.,有向线段AT叫角的正切线,这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT,分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线,统称为三角函数线,当角的终边与x轴重合时,正弦线、正切线,分别变成一个点,此时角的正弦值和正切值都为0;当角的终边与y轴重合时,余弦线变成一个点,正切线不存在,此时角的正切值不存在.,例 在单位圆中作出符合下列条件的角的终边:,例题,例:在单位圆中作出符合条件的角的终边:,例:在单位圆中作出符合条件的角的终边:,变式： 写出满足条件 cos 的角的集合.,虚线,5.利用单位圆中的三角函数线，确定满足如下条件角的取值范围：sincos。,1. 内容总结：,(1)三角函数的概念.(2)三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号(3)诱导公式一.(4)三角函数线,运用了定义法、公式法、数形结合法解题.,划归的思想，数形结合的思想.,2 .方法总结：,3 .体现的数学思想：,
