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1、1 建立方程、定解条件,方程的导出定解条件和定解问题变分原理分离变量法,1 建立方程、定解条件方程的导出,1.方程的导出,本章研究调和方程（又称拉普拉斯方程）,以及泊松方程,的基本定解问题及解的性质。,(1.1),(1.2),1.方程的导出 本章研究调和方程（又称拉普拉斯方程）以及泊松,(1) 引力位势,(1) 引力位势,经计算可得：,直接计算可得：,还可进一步验证：,经计算可得：直接计算可得：还可进一步验证：,(2) 静电场的电位势,应用高斯公式，上式可改写为：,(2) 静电场的电位势 应用高斯公式，上式可改写为：,由区域G的任意性得：,静电场方程,由于静电场是无旋场，因而存在电势u，,从而
2、静电场的电势u应当满足泊松方程,如果静电场的某一区域里没有电荷，即=0，则静电场方程在该区域上简化为拉普拉斯方程,由区域G的任意性得：静电场方程由于静电场是无旋场，因而存在电,(3) 稳定温度分布,(3) 稳定温度分布,2.定解条件和定解问题,(1) 第一边值问题（Dirichlet问题）,(2) 第二边值问题（Neumann问题）,2.定解条件和定解问题(1) 第一边值问题（Dirichle,(3) Dirichlet外问题,(4) Neumann外问题,注：当考虑外问题时，为保证解的唯一性，还需对解在无穷远的状况加以限制。在三维情形，通常要求：,(3) Dirichlet外问题 (4) N
3、eumann外问,其它边界条件,(5) 第三类边界条件,(6) 等值面边界条件 （总流量边界条件）,其它边界条件 (5) 第三类边界条件 (6) 等值面边界条件,3.变分原理,膜的平衡问题：,3.变分原理膜的平衡问题：,建立方程定解条件课件,外力作功总位能应变能,即：,即：,(1),问题2的解答：,(1)问题2的解答：,建立方程定解条件课件,建立方程定解条件课件,(3),(3),(5),(5)(4)即,建立方程定解条件课件,4.分离变量法求解Laplace方程,(1) 矩形区域上Laplace方程的第一边值问题,代入方程(1)得：,分离变量：,4.分离变量法求解Laplace方程(1) 矩形区
4、域上Lap,由此得 X，Y 满足得常微分方程：,由边界条件(2)知：,得固有值问题：,解之得：,由此得 X，Y 满足得常微分方程：由边界条件(2)知：得固有,通解为,其中Ak，Bk为任意常数。,因此,是满足方程(1)和边界条件(2)的解。,通解为其中Ak，Bk为任意常数。因此 是满足方程(1)和边界,叠加所有的Uk ，即,代入边界条件(3)，得：,叠加所有的Uk ，即 代入边界条件(3)，得：,由傅里叶正弦展式的系数公式得,解得：,由傅里叶正弦展式的系数公式得解得：,(2) 圆形区域上Laplace方程的第一边值问题,(2) 圆形区域上Laplace方程的第一边值问题,(3),(4),即：,(
5、3)(4)即：,由此得 R， 满足得常微分方程：,由周期性条件(4)得:,固有值问题的讨论：,由此得 R， 满足得常微分方程：由周期性条件(4)得:固有,(6),(6),因此,是满足方程(1)和自然边界条件(3)以及周期性条件(4)的解。,由叠加原理，满足(1)(3)(4)的解可表为：,因此 是满足方程(1)和自然边界条件(3)以及周期性条件由叠,代入边界条件(2)得：,故,代入边界条件(2)得：故,代入级数得：,证明,代入级数得：证明,建立方程定解条件课件,(3) 圆形区域上热传导方程的混合问题,(3) 圆形区域上热传导方程的混合问题,即：,于是有：,由(2)知：,另有自然边界条件：,即：于是有：由(2)知：另有自然边界条件：,得偏微分方程固有值问题：,即：,得偏微分方程即：,于是：,于是：,建立方程定解条件课件,
