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1、第五章 动力学,工程力学,第一部分 理论力学,动力学是研究物体机械运动状态变化与作用力关系的科学，是研究物体机械运动最一般、最普遍的规律。在动力学中将物体抽象为质点、质点系及刚体。本章主要研究质点、质点系及刚体的动力学问题。,1,第五章 动力学工程力学第一部分 理论力学动力学是研究物体机,1.1.1 电路的组成,动力学是研究物体的运动与作用于物体上的力之间的关系的学科。在动力学中，有两类基本问题：已知物体的运动，求作用于物体上的力；已知作用于物体上的力，求物体的运动。第一定律 惯性定律任何质点如不受力作用，则将保持其原来静止的或匀速直线运动的状态。这个定律说明任何物体都具有保持静止或匀速直线运
2、动状态的特性，物体的这种保持运动状态不变的固有属性称为惯性，而匀速直线运动称为惯性运动，所以第一定律又称为惯性定律。第二定律 力与加速度的关系定律质点受力作用时所获得的加速度的大小与作用力的大小成正比，与质点的质量成反比，加速度的方向与力的方向相同。,第一节 质点动力学,一、动力学基本定律,2,工程力学,1.1.1 电路的组成动力学是研究物体的运动与作用于物体上的,1.1.1 电路的组成,如果用m表示质点的质量，F和a分别表示作用于质点上的力和质点的加速度，我们只要选取适当的单位，则第二定律可表示为或上述方程建立了质量、力和加速度之间的关系，称为质点动力学的基本方程，它是推导其他动力学方程的出
3、发点。若质点同时受几个力的作用，则力F应理解为这些力的合力。同时，这个定律说明质点的加速度不仅取决于作用力，而且与质点的质量有关。若使不同的质点获得同样的加速度，质量较大的质点则需要较大的力，这说明较大的质量具有较大的惯性。由此可知，质量是质点惯性的度量。由于平动物体可以看做质点，所以质量也是平动物体惯性的度量。在国际单位制中，质量的单位为kg，物体的质量m和重量G的关系为式中g是重力加速度。单位为m/s2。,3,工程力学,1.1.1 电路的组成如果用m表示质点的质量，F和a分别表示,1.1.1 电路的组成,第三定律 作用力和反作用力总是同时存在，大小相等、方向相反且在同一直线上，但分别作用在
4、两个物体上。上述的动力学基本定律是建立在绝对运动的基础上的，牛顿所理解的“绝对运动”系指在宇宙中存在着绝对静止的与物质无关的“死的”空间，而质点是在这样的空间里运动，也就是说把坐标系固连于这样绝对静止的空间里，而质点的运动称为绝对运动，与绝对运动相对应的时间被理解为与物质运动无关的绝对时间。因此，在古典力学中，时间与空间是不相干的。在动力学里，把适用于牛顿定律的这种参考坐标系称为惯性坐标系。,4,工程力学,1.1.1 电路的组成第三定律 作用力和反作用力总是同时存,1.1.1 电路的组成,设质点M的质量为m，所受力系的合力为F，运动的加速度为a。如图所示。根据动力学基本方程有由运动学知代入上式
5、后，得或式中，r是质点M相对某固定点O的矢径。式是矢量形式的质点运动微分方程。,二、质点运动微分方程,5,工程力学,1.1.1 电路的组成设质点M的质量为m，所受力系的合力为F,1.1.1 电路的组成,以x、y、z表示质点M在直角坐标系oxyz中的坐标，以X、Y、Z表示力F在各坐标轴上的投影，式在直角坐标轴上的投影式为：这就是直角坐标形式的质点运动微分方程。在实际应用中，采用自然坐标系有时更为方便。如图所示，过M点作运动轨迹的切线、法线和副法线。将式）投影在自然轴上，则得,6,工程力学,1.1.1 电路的组成以x、y、z表示质点M在直角坐标系ox,1.1.1 电路的组成,工程中多数机器的主要零
6、部件，如转子、飞轮和齿轮等，都在做定轴转动。转动定理建立了转动刚体运动变化与作用力矩之间的关系。转动刚体内各点均做圆周运动，得将上式两端同乘以ri后，得转动刚体对转轴的转动惯量与角加速度乘积等于作用于刚体的所有外力对转轴之矩的代数和，此结论称为转动定理。,第二节 刚体绕定轴转动动力学方程,一、刚体转动定理,7,工程力学,1.1.1 电路的组成工程中多数机器的主要零部件，如转子、飞,1.1.1 电路的组成,1.转动惯量的概念由前面可知，刚体对某轴z的转动惯量Jz等于刚体内各质点的质量与该质点到轴z的距离平方的乘积之和，即可见，转动惯量恒为正标量，其大小不仅与刚体的质量大小和质量的分布情况有关，还
7、与z轴的位置有关。当质量连续分布时，刚体对z轴的转动惯量可写为在国际单位制中，转动惯量的单位为kgm2,二、转动惯量,8,工程力学,1.1.1 电路的组成1.转动惯量的概念二、转动惯量8工程力,1.1.1 电路的组成,2.简单形体的转动惯量（1）均质圆柱体（圆盘）质量为m，半径为R，z轴过中心O且与圆盘平面相垂直，如图所示。将圆柱体看成由半径为r（0rR）,厚度为dr的薄圆环叠成。微元质量为,9,工程力学,1.1.1 电路的组成2.简单形体的转动惯量9工程力学,1.1.1 电路的组成,则整个圆柱体（盘）对其中心轴的转动惯量为（2）均质细直杆质量为m，杆长为l，z轴过质心C且与杆的轴线相垂直，如
8、图所示。距质心为x处长度为dx的微段，微元质量为杆对其对称轴z的转动惯量为,10,工程力学,1.1.1 电路的组成则整个圆柱体（盘）对其中心轴的转动惯量,1.1.1 电路的组成,3.回转半径工程上常把刚体的转动惯量表示为式中，z称为刚体对z轴的回转半径(或惯性半径)，即物体的转动惯量等于该物体的质量与回转半径平方的乘积。如果把刚体的质量全部集中于与转轴垂直距离为z的一点处，则这一集中质量对于z轴的转动惯量，就正好等于原刚体的转动惯量。几何形状相同的均质刚体的回转半径是相同的。在国际单位制中，回转半径的单位为m。4.平行轴定理设刚体的质量为m，质心在C点，z1轴是通过刚体质心的轴(简称质心轴)，
9、z轴平行于z1轴，两轴间距离为d，如图所示。,11,工程力学,1.1.1 电路的组成3.回转半径11工程力学,1.1.1 电路的组成,分别以C点、O点为原点，作直角坐标系Cx1y1z1和Oxyz，根据转动惯量的定义可知，刚体对质心轴的转动惯量Jzc和对z轴的转动惯量Jz分别为,12,工程力学,1.1.1 电路的组成分别以C点、O点为原点，作直角坐标系C,1.1.1 电路的组成,因为所以由质心坐标公式得故上式表明：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于平行于该轴的质心轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方之乘积。这就是转动惯量的平行轴定理。由此可见，在相互平行的各轴中，刚体对质心轴的转动惯
10、量为最小。,13,工程力学,1.1.1 电路的组成因为13工程力学,1.1.1 电路的组成,由前面的转动定理可知，作用于刚体上的所有外力对转轴之矩的代数和，等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积。即上式反映了刚体的转动状态变化与其所受的外力矩之间的关系，称为刚体定轴转动的动力学基本方程。它与质点的动力学基本方程在形式上十分相似。从刚体定轴转动微分方程可以看出：对于不同的刚体，若主动力对转轴之矩相同时，转动惯量大的刚体，角加速度小，即转动状态变化小；反之，转动惯量小的刚体，角加速度大，即转动状态变化大。这说明，转动惯量是刚体转动时惯性的度量。,三、刚体定轴转动的动力学方程,14,工程力学,1.
11、1.1 电路的组成由前面的转动定理可知，作用于刚体上的所,1.1.1 电路的组成,当质点受到其他物体作用而使运动状态发生变化时，由于质点本身的惯性，对施力物体产生反作用力，这种反作用力称为质点的惯性力。惯性力的大小等于质点的质量与其加速度的乘积，方向与加速度的方向相反，但作用于施力物体上。若用FI表示惯性力，则设质量为m的质点M，受主动力F和约束反力FN的作用，沿曲线运动，产生加速度a，如图所示。,第三节 质点系的动静法,一、质点惯性力的概念,15,工程力学,二、质点动力学问题的动静法,1.1.1 电路的组成当质点受到其他物体作用而使运动状态发生,1.1.1 电路的组成,根据牛顿第二定律，有此
12、时质点由于运动状态发生改变，它的惯性力为将以上两式相加，得上式表明：任一瞬时，作用于质点上的主动力、约束反力和虚加在质点上的惯性力在形式上组成平衡力系。这就是质点的达朗伯原理。应该指出：由于质点的惯性力并不作用于质点本身，而是假想地虚加在质点上的，质点实际上也并不平衡。式(5.12)反映了力与运动的关系，实质上仍然是动力学问题，但它提供了将动力学问题转化为静力学平衡问题的研究方法。这种方法对求解质点的动力学问题并未带来明显的方便，但在研究方法上显然是个新的突破，而且，它对求解非自由质点系的动力学问题是十分有益的。,16,工程力学,1.1.1 电路的组成根据牛顿第二定律，有16工程力学,1.1.
13、1 电路的组成,设有n个质点组成的非自由质点系，取其中任意一质量为mi的质点Mi，在该质点上作用有主动力Fi，约束反力FNi，其加速度为ai。根据质点的达朗伯原理，如在质点Mi上假想地加上惯性力则Fi、FNi和FIi构成一平衡力系，有对质点系的每个质点都作这样的处理，则做用于整个质点系的主动力系、约束力系和惯性力系组成一空间力系，此时力系的主矢和力系向任一点O简化的主矩都等于零，即上式表明：任一瞬时，作用于质点系上的主动力系、约束力系和虚加在质点系上惯性力系在形式上构成一平衡力系。这就是质点系的达朗伯原理。,三、质点系的动静法,17,工程力学,1.1.1 电路的组成设有n个质点组成的非自由质点
14、系，取其中,1.1.1 电路的组成,由于质点系内力系的主矢和主矩均等于零，故上式可以改写为上式表明：任一瞬时，作用于质点系上的外力系和虚加在质点系上的惯性力系在形式上构成一平衡力系。应用达朗伯原理解决质点系的动力学问题时，从理论上讲，在每个质点上虚加上惯性力是可行的。但质点系中质点很多时计算非常困难，对于由无穷多质点组成的刚体更是不可能。因此，对于刚体动力学问题，一般先用力系简化理论将刚体上的惯性力系加以简化，然后将惯性力系的简化结果直接虚加在刚体上。应用达朗伯原理求解刚体动力学问题时，首先应根据题意选取研究对象，分析其所受的外力，画出受力图；然后再根据刚体的运动方式，在受力图上虚加惯性力及惯
15、性力偶；最后根据达朗伯原理列平衡方程求解未知量。,18,工程力学,1.1.1 电路的组成由于质点系内力系的主矢和主矩均等于零，,1.1.1 电路的组成,1.质点的动量质点的质量与速度的乘积，称为质点的动量。即质点的动量是矢量，方向与质点速度的方向一致。它是质点运动的基本特征之一。动量的量纲为在国际单位制中，动量的单位为kgm/s2.质点系的动量如图所示，质点系运动时，某一瞬时，第i个质点的动量为而质点系的动量定义为质点系中各质点动量的矢量和，即,第四节 动力学普遍定理,一、动量,19,工程力学,1.1.1 电路的组成1.质点的动量第四节 动力学普遍定理一,1.1.1 电路的组成,1.质点的动量
16、定理一质点的质量为m，受到力F的作用加速度为a，由牛顿第二定律可得在质量为常量的条件下，有上式表明：质点动量对时间的倒数等于作用在该质点上的力。这就是质点动量定理的微分形式。在运动过程中质点的动量保持不变，即在运动过程中质点的动量在该轴上的投影保持不变，即以上结论称为质点的动量守恒定律。,二、动量定理,20,工程力学,1.1.1 电路的组成1.质点的动量定理二、动量定理20工程,1.1.1 电路的组成,2.质点系的动量定理质点系以外的物体对该质点Mi的作用力称为外力；质点系内的其他质点对该质点的作用力称为内力。根据质点的动量定理式，有将n个这样的方程相加，得到上式左端由于质点系的内力总是共线、
17、反向、等值地成对出现，所以上式右端的第二项于是有,21,工程力学,1.1.1 电路的组成2.质点系的动量定理21工程力学,1.1.1 电路的组成,即：质点系的动量对时间的导数等于作用于质点系上所有外力的矢量和，这就是质点系动量定理的微分形式。设t0瞬时，质点系的动量为p0，在t瞬时，质点系的动量为P，将式积分：有即：在某一时间段内质点系动量的改变量等于在此段时间内作用于质点系上外力冲量的矢量和。这就是质点系动量定理的积分形式。由质点系动量定理可知，只有外力才能改变质点系的动量，而内力则不能。内力只能改变质点系内的质点的动量，要改变整个质点系的动量只有依靠外力。,22,工程力学,1.1.1 电路
18、的组成即：质点系的动量对时间的导数等于作用于,1.1.1 电路的组成,1.质点的动量矩设质点M的质量为m,某瞬时的速度为v，质点相对于固定点O的矢径为r，如图所示。与第三章中空间力对点之矩的定义相似，质点对固定点的动量矩定义为:,三、动量矩定理,23,工程力学,1.1.1 电路的组成1.质点的动量矩三、动量矩定理23工程,1.1.1 电路的组成,质点M的动量对于O点的矩，称为质点对于O点的动量矩，即可见，质点对于固定点O的动量矩是固定矢量，它垂直于矢径r与mv所形成的平面，指向按右手法则确定，其大小为式中，AOMA表示三角形OMA的面积。与空间力对轴之矩的定义相似，质点对固定轴的动量矩定义为:
19、质点动量mv在Oxy平面内的投影(mv)xy对于点O的矩，称为质点对于z轴的动量矩，即质点对于固定轴z的动量矩是代数量，其正负号的规定与空间力对轴之矩的正负号规定相同。在国际单位制中，动量矩的单位为kgm2s。,24,工程力学,1.1.1 电路的组成质点M的动量对于O点的矩，称为质点对于,1.1.1 电路的组成,2.质点的动量矩定理设质点的质量为m，在力F作用下运动，某瞬时其速度为v，如图所示，则该质点对固定点O的动量矩为将上式对时间求一阶导数，有,25,工程力学,1.1.1 电路的组成2.质点的动量矩定理25工程力学,1.1.1 电路的组成,因为O为固定点，故有又根据质点的动量定理，有因此得
20、将式(5.27)向过O点的固定轴投影，并将质点对固定点的动量矩与对轴的动量矩之间的关系式和力对点之矩与力对轴之矩的关系式代入，得式（5.27）和式(5.28)表明：质点对任一固定点(或轴)的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于质点上的力对同一点(或轴)之矩。这就是质点的动量矩定理。其中式（5.27）为矢量形式，而式（5.28）为投影形式。,26,工程力学,1.1.1 电路的组成因为O为固定点，故有26工程力学,1.1.1 电路的组成,1.质点的动能动能是物体机械运动强弱的又一种度量。设质点的质量为m，在某一位置时的速度为v，则该质点的动能等于它的质量与速度平方乘积的一半，用EK表示，即由上式可知
21、，动能恒为正值，它是一个与速度方向无关的标量。在国际单位制中，动能的单位为Nm（牛米），即J（焦耳）。动能和动量都是表征物体机械运动的量，都与物体的质量和速度有关，但各有其特点和适用的范围。动量为矢量，是以机械运动形式传递运动时的度量；而动能为标量，是机械运动形式转化为其他运动形式（如热、电等）时的度量。,第五节 动能定理,一、动能,27,工程力学,1.1.1 电路的组成1.质点的动能第五节 动能定理一、动能,1.1.1 电路的组成,2.质点系的动能质点系内各质点的动能的总和，称为质点系的动能，即式中mi和vi分别表示质点系中任一质点的质量和速度的大小。刚体是由无数质点组成的质点系，刚体做不同
22、的运动时，各质点的速度分布不同，故刚体的动能应按照刚体的运动形式来计算。1.质点的动能定理设有质量为m的质点M在合力F的作用下沿曲线运动，如图所示。,28,工程力学,二、动能定理,1.1.1 电路的组成2.质点系的动能28工程力学二、动能定,1.1.1 电路的组成,根据动力学第二基本定律有maF，将该式投影在切线方向，得即由于dsvdt，将上式右端乘以ds，左端乘以vdt后，可得即上式表明：质点动能的微分，等于作用在质点上的力的元功，这就是微分形式的质点动能定理。将式（5.31）沿路径M1M2进行积分得,29,工程力学,1.1.1 电路的组成根据动力学第二基本定律有maF，将该,1.1.1 电
23、路的组成,上式表明：在任一路程中质点动能的变化，等于作用于质点上的力在同一路程中所做的功，这就是积分（有限）形式的质点动能定理。它说明了机械运动中功和动能相互转化的关系。从式（5.32）可以看出，若力做正功则质点的动能增加，即接收能量；若力做负功，则质点的动能减少，即输出能量，故可用动能mv2/2来度量质点因运动而具有的做功能力。若作用于质点的力为常力或是质点位置坐标的已知函数，而质点的运动路程已知或相反为需求，解这类问题宜用有限形式的质点的动能定理。2.质点系的动能定理取质点系内任一质点，质量为mi，速度为vi，作用在该质点上的力为Fi。根据质点的动能定理，微分形式有式中dWi表示作用于这个
24、质点的力所作的元功。设质点系有n个质点，对于每个质点都可列出一个如上的方程，将n个方程相加，得或,30,工程力学,1.1.1 电路的组成上式表明：在任一路程中质点动能的变化，,1.1.1 电路的组成,式中Eki为质点系的动能，以Ek表示。于是上式可写成上式表明：质点系动能的微分，等于作用于质点系全部力所做的元功的和。这就是质点系动能定理的微分形式。对式（5.33）积分，得式中EK1和EK2分别为质点系在某一段运动过程中的初始瞬时和终止瞬时的动能。上式表明：质点系在某一段运动过程中，动能的改变量，等于作用于质点系的全部力在这段过程中所做的功的和。这就是质点系动能定理的积分形式。,31,工程力学,1.1.1 电路的组成式中Eki为质点系的动能，以Ek表示,
