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1、,小结与复习,第十八章 平行四边形,要点梳理,考点讲练,课堂小结,课后作业,八年级数学下（RJ） 教学课件,一、几种特殊四边形的性质,对边平行且相等,对边平行且相等,对边平行且四边相等,对边平行且四边相等,对角相等,四个角都是直角,对角相等,四个角都是直角,互相平分,互相平分且相等,互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角,轴对称图形,轴对称图形,轴对称图形,互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角,二、几种特殊四边形的常用判定方法：,1.定义：两组对边分别平行 2.两组对边分别相等 3.两组对角分别相等 4.对角线互相平分5.一组对边平行且相等,1.定义：有一个角是直角的平行四边形 2.
2、对角线相等的平行四边形3.有三个角是直角的四边形,1.定义：一组邻边相等的平行四边形 ;2.对角线互相垂直的平行四边形,3.四条边都相等的四边形,1.定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形2.有一组邻边相等的矩形 3.有一个角是直角的菱形,5种判定方法,三个角是直角,四条边相等,一个角是直角,或对角线相等,一组邻边相等,或对角线垂直,一组邻边相等,或对角线垂直,一个角是直角,或对角线相等,一个角是直角且一组邻边相等,三、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系,四、其他重要概念及性质,1.两条平行线之间的距离：,2.三角形的中位线定理：,两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距
3、离叫做两条平行线之间的距离.,三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.,3.直角三角形斜边上的中线：,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.,考点讲练,例1 如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，B90，AGCD交BC于点G，点E、F分别为AG、CD的中点，连接DE、FG.(1)求证：四边形DEGF是平行四边形；(2)如果点G是BC的中点，且BC12，DC10，求 四边形AGCD的面积,解：(1)AGDC，ADBC，四边形AGCD是平行四边形，AGDC.,E、F分别为AG、DC的中点，GE AG，DF DC，即GEDF，GEDF，四边形DEGF是平行四边形.(2)点G是BC的中点，B
4、C12，BGCG BC6.四边形AGCD是平行四边形，DC10，AGDC10，在RtABG中，根据勾股定理得AB8，四边形AGCD的面积为6848.,例2 在ABC中，AB=AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DFAC交直线AB于点F，DEAB交直线AC于点E(1)当点D在边BC上时，如图，求证：DE+DF=AC,证明：DFAC，DEAB，四边形AFDE是平行四边形AF=DE.DFAC，FDB=C,又AB=AC，B=C，FDB=B,DF=BF,DE+DF=AF+BF=AB=AC.,（2）当点D在边BC的延长线上时，如图；当点D在边BC的反向延长线上时，如图，请分别写出图、图中DE，DF，A
5、C之间的数量关系，不需要证明（3）若AC=6，DE=4，求DF的值,解：（2）图中：AC+DE=DF 图中：AC+DF=DE（3）当如图的情况，DF=AC-DE=6-4=2； 当如图的情况，DF=AC+DE=6+4=10,2.如图，在ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC=24cm，BD=38cm，AD=28cm，则BOC的周长是 （ ）A45cm B59cm C62cm D90cm,B,1.如图，在ABCD中，ODA=90，AC=10cm， BD=6cm，则AD的长为 （）A4cm B5cm C6cm D8cm,A,3.如图是某公交汽车挡风玻璃的雨刮器，其工作原理如图雨刷EFAD，垂足为
6、A，AB=CD且AD=BC，这样能使雨刷EF在运动时，始终垂直于玻璃窗下沿BC，请证明这一结论,证明：AB=CD，AD=BC，四边形ABCD是平行四边形，ADBC.又EFAD，EFBC,图,图,例3 如图，在ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）求证：DHF=DEF,证明：（1）点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，DE、EF都是ABC的中位线，EFAB，DEAC，四边形ADEF是平行四边形.,（2）四边形ADEF是平行四边形，DEF=BAC，D，F分别是AB，CA的中点， AH是边BC上的高，DH=AD，FH=
7、AF，DAH=DHA，FAH=FHA，DAH+FAH=BAC， DHA+FHA=DHF，DHF=BAC，DHF=DEF,例4 如图，在RtABC中，ACB=90，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF= BC若AB=12，求EF的长,解：连接CD，点D，E分别是边AB，AC的中点，DEBC，DE= BC，DC= AB.CF= BC，DE FC，DE =FC，四边形DEFC是平行四边形，DC=EF，EF= AB=6,5.如图，是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=4m，A=30，则DE等于 （）A1m B2m C3m D4m,A,4.如
8、图，等边三角形ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，则DEC的度数为（） A150 B120 C60 D30,B,6.如图，在ABC中，CAB=90，DE、DF是ABC的中位线，连接EF、AD，求证：EF=AD,证明：DE，DF是ABC的中位线，DEAB，DFAC，四边形AEDF是平行四边形，又BAC=90，平行四边形AEDF是矩形，EF=AD,例5 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AEBD，过点D作EDAC，两线相交于点E求证：四边形AODE是菱形；,证明：AEBD，EDAC，四边形AODE是平行四边形.四边形ABCD是矩形，AC=BD，OA=OC= AC，
9、OB=OD= BD，OA=OC=OD，四边形AODE是菱形.,【变式题】如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作BEAC，CEBD，BE、CE交于点E，四边形CEBO是矩形吗？说出你的理由.,D,A,B,C,E,O,解：四边形CEBO是矩形.理由如下：已知四边形ABCD是菱形. ACBD. BOC=90. BEAC,CEBD， 四边形CEBO是平行四边形. 四边形CEBO是矩形.,例6 如图，已知在四边形ABFC中，ACB90，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CFAE；(1)试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由；(2)当A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请
10、回答并证明你的结论,解：(1)四边形BECF是菱形理由如下：EF垂直平分BC，BFFC，BEEC，31.ACB90，3490，1290,24，,ECAE，BEAE.CFAE，BEECCFBF，四边形BECF是菱形；(2)当A45时，菱形BECF是正方形证明如下：A45，ACB90，CBA45，EBF2CBA90，菱形BECF是正方形,正方形的判定方法：先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角；还可以先判定四边形是平行四边形，再用或进行判定,例7 如图，ABC中，点O是AC上的一动点，过点O作直线MNBC，设MN交BCA的平分线于点E，交
11、BCA的外角ACG的平分线于点F，连接AE、AF.(1)求证：ECF90；(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？请 说明理由；,(1)证明：CE平分BCO，CF平分GCO，OCEBCE，OCFGCF，ECF 18090.,(2)解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形理由如下：MNBC，OECBCE，OFCGCF.又CE平分BCO，CF平分GCO，OCEBCE，OCFGCF，OCEOEC，OCFOFC，EOCO，FOCO，OEOF.又当点O运动到AC的中点时，AOCO，四边形AECF是平行四边形.ECF90，四边形AECF是矩形.,解：当点O运动到AC的中点时，且满足ACB
12、为直角时，四边形AECF是正方形由(2)知当点O运动到AC的中点时，四边形AECF 是矩形，已知MNBC，当ACB90，则AOFCOECOFAOE90，即ACEF，四边形AECF是正方形,(3)在(2)的条件下，ABC应该满足什么条件时， 四边形AECF为正方形,7.如图，两个含有30角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线FC滑动，下列说法错误的是（）A四边形ACDF是平行四边形 B当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形 C当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形 D四边形ACDF不可能是正方形,B,8.如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=10，则菱形ABCD的面积为_,30,9
13、.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连接AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，12，34.(1)证明：ABEDAF；(2)若AGB30，求EF的长,(1)证明：四边形ABCD是正方形，ABAD.在ABE和DAF中， ABEDAF.,(2) 解：四边形ABCD是正方形，1490.34，1390，AFD90.在正方形ABCD中， ADBC，1AGB30.在RtADF中，AFD90，AD2，AF ，DF1.由(1)得ABEDAF，AEDF1，EFAFAE 1.,例8 在一个平行四边形中，若一个角的平分线把一条边分成长是2cm和3cm的两条线段，求该平行四边形的周长
14、是多少.,解：如图，在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，ADBC，AEB=CBE又ABE=CBE,ABE=AEB,AB=AE（1）当AE=2时，则平行四边形的周长=2(2+5)=14（2）当AE=3时，则平行四边形的周长=2(3+5)=16,分类讨论思想,考点四 本章解题思想方法,平行四边形的性质与判定中要是出现角平分线，常与等腰三角形的性质和判定结合起来考查，当边指向不明时需要分类讨论，常见的的模型如下：,例9 如图，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，BC=10cm，AB=8cm，求：（1）FC的长；（2）EF的长,方程思想,解：（1）由题意得AF=AD=10cm，在R
15、tABF中，AB=8，BF=6cm，FC=BC-BF=10-6=4cm（2）由题意可得EF=DE，可设DE的长为x，在RtEFC中，(8-x)2+42=x2，解得x=5，即EF的长为5cm,例10 如图，平行四边形ABCD中，AC、BD为对角线，其交点为O，若BC=6，BC边上的高为4，试求阴影部分的面积,转化思想,解：四边形ABCD为平行四边形，OA=OC，OB=OD.ABCD，EAO=HCO.又 AOECOH，AEOCHO（ASA），同理可得OAQOCG，OPDOFB，S阴影=SBCD，则SBCD= S平行四边形ABCD= 64=12,E,H,Q,G,F,P,四边形,课堂小结,矩形,菱形,正方形,平行四边形,两组对边平行,一个角是直角,一组邻边相等,一组邻边相等,一个角是直角,一个角是直角且一组邻边相等,见章末复习,课后作业,
