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1、 微積分基礎篇 使用 Maple 3-49 3導數與導函數大自然許多的物理現象均牽涉到短時間內量的變化，例如汽車的瞬間加速度，或者是運動選手的暴發力等等。如果數據可以簡化成一個數學函數，那麼這個函數的導函數(derivative)即是量測這些瞬間變化率的一個量規，而導數即是用量規所量測到的數值。本章將介紹導函數的求法、它們的物理觀念，以及有關Maple用來計算導函數之指令等等。3.1 切線與導函數3-23.2 導函數的求法3-173.3 Maple的微分指令3-223.4 三角函數的導函數3-283.5 鏈鎖律3-333.6 高階導函數3-373.7 隱微分法3-413.8 微分量與近似值3-
2、463.1 切線與導函數本節介紹了函數圖形於某一點的切線，以及切線與導函數之間的關係。首先從幾何上的觀點來探討切線於幾何上的意義。3.1.1 切線假設與為函數圖形上的兩點，如圖3.1.1所示。由(1.4.1)式可知，連接P、Q兩點之直線L的斜率為 (3.1.1)xyPQ圖3.1.1 割線的斜率直線L稱為割線(secant line)，而割線方程式可以簡單的由兩點式或點斜式來求得。當趨近於時，直線的斜率將趨近於函數在之切線(tangent line)的斜率，由(3.1.1)式可得函數在之切線的斜率為 (3.1.2)如果令，則當時，。所以(3.1.2)式可改寫成 (3.1.3) 定義3.1.1 切
3、線的斜率設為函數圖形上的一點，則通過P點之切線的斜率為 Maple的student程式庫裡提供了showtangent指令，用來繪製函數於某一點之切線。它的用法與選項與plot指令相似，但需額外指定所欲繪製切線之點。讀者必須注意，在使用showtangent指令之前，必須先載入student程式庫。showtangent(f(x),x=x0,x=x1.x2,options) 以options為選項，範圍取，繪出切於的切線【例題3.1.1】試求切圖形於點之切線的斜率。【解】因，由定義3.1.1可知，故可知通過點之切線斜率為2。現在再嚐試利用showtangent指令來繪出此條切線，並由圖上來驗證
4、所得之斜率的正確性。載入student繪圖程式庫。 with(student):繪出通過之切線，並指定繪圖的比例為1:1。由圖中約略可見切線的斜率為2，剛好符合本題的計算結果。 showtangent(x2,x=1,x=0.2, y=0.2,scaling=constrained);v繪製函數的切線，除了使用showtangent指令之外，也可以利用割線的繪圖來一步步的逼近切線，如此更可說明了函數圖形之切線於幾何上的意義。接下來以函數為範例來做說明。首先於函數圖形上取P、Q兩點，求出通過P、Q兩點之直線方程式並做圖，然後將Q點往P點移動，看看通過P、Q兩點的直線會有什麼變化。載入plots與s
5、tudent繪圖程式庫。 with(plots): with(student):定義。 f:=x-(x-3)2+9; 繪出的圖形，由圖中可見其圖形為一開口向下的拋物線。 plot(f(x),x=0.6);設定P為圖形上的一點，其坐標為。 P:=1,f(1); 設定Q為圖形上的另一點，其坐標為。 Q:=3,f(3); 利用student程式庫裡的slope指令計算連接P、Q兩點之直線的斜率，得到斜率為2。 m:=slope(P,Q); 利用點斜式，可以求出通過P、Q兩點的直線方程式為。 eqn:=f(1)+m*(x-1); 繪出的圖形，並把圖形設給變數g1。注意在指令之後加上冒號，目的在不顯示任
6、何輸出，但會執行運算。 g1:=plot(f(x),x=0.6):繪出通過P、Q兩點的直線與的函數圖。很明顯的，直線交於與兩點，由此可驗證所求的直線方程式正確無誤。 display(plot(eqn,x=0.6, y=0.10),g1);現在把Q點移近P點，取 。 Q:=2,f(2); 計算P、Q兩點連線的斜率，得到斜率為3。 m:=slope(P,Q); 這是通過P、Q兩點之直線方程式。 eqn:=f(1)+m*(x-1); 繪出通過P、Q兩點的直線與的圖形。由圖中可看出直線交於與兩點。 display(plot(eqn,x=0.6, y=0.10),g1);接下來，再將Q點往左移，令。 Q
7、:=1.1,f(1.1); 計算得P、Q兩點連線的斜率為3.9。 m:=slope(P,Q); 這是通過P、Q兩點之直線方程式。 eqn:=f(1)+m*(x-1); 繪出與通過P、Q兩點的直線圖。由圖中可觀察到P、Q兩點的連線近似一條切於P點的切線。 display(plot(eqn,x=0.6, y=0.10),g1);最後，取。直覺上，現在的Q點相當接近於P點。 Q:=1.01,f(1.01); P、Q兩點連線的斜率為3.99。綜觀上面的計算，若把Q點越往P點移動，其連線的斜率越接近4.0。 slope(P,Q); 這是利用定義3.1.1來求切線斜率的數學式。 Limit(f(x+h)-
8、f(x)/h,h=0); 用value指令來對上式求值，可得斜率之函數為。 L:=value(%); 因P點的x坐標為1，故可找出當時，切於P點的切線斜率為4。此值與先前的預測頗為吻合。 eval(L,x=1); 事實上，利用(3.1.2)式亦可求出相同的結果。右式是以(3.1.2)式所求出的數學式。 Limit(f(x)-f(x0)/(x-x0),x0=x); 用value指令求值，可得相同的答案。 value(%); showtangent指令可以更快速的繪出函數於某點的切線。右圖顯示直線切函數於(1, 5)。 showtangent(f(x),x=1,x=0.6, y=0.10);本例已
9、經求出斜率的函數為，而有趣的是，在哪一點斜率會是零？還有，斜率為零的點會有哪些特性？接下來將初淺的探討這兩個問題。solve指令可求得於時，斜率為0。 solve(-2*x+6=0,x); 繪出切於的切線與函數圖。由圖中可看出，斜率為0之點正是函數的極大值。 showtangent(f(x),x=3,x=0.6, y=0.10);，故可知的極大值為9。 f(3); 用student程式庫裡的maximize指令來驗證，亦可得到相同的極大值。 maximize(f(x),x); 由上面的討論可觀察到，函數的極值(extrema，意指極大或極小值)可能位於函數斜率為零之處，這是一個重要的觀念，關於
10、這個部分留到4.2節再做詳細的介紹，目前讀者僅需要知道於幾何上有這項性質即可。3.1.2 導函數與導數如果刪掉定義3.1.1中x的下標，即可得到微積分學裡一個重要的函數-導函數(derivative)。而的導函數之物理意義，即是之切線的斜率函數。 定義3.1.2 導函數函數的導函數定義為 ，而的定義域為使得該極限存在的所有x所組成求導函數的過程稱為微分(differentiate)，而其方法則稱為微分法。通常以或來代表微分運算子(differential operator)，因此。【例題3.1.2】設，試依導函數的定義式來計算。【解】(展開平方項)(消去相同的項)(約去h) v雖然於例題3.1
11、.2中，導函數的計算頗為煩瑣，然而大多數的導函數公式卻是經由這個推導過程而得的。導函數的計算公式留於3.2節再做討論，在此先看看如何利用Maple模仿例題3.1.2的步驟來計算導函數。定義。 f:=x-x2+3*x-4; 計算。注意Maple已做了少量的化簡，再輸出右式。 Limit(f(x+h)-f(x)/h,h=0); 用expand指令展開上式，可化簡得。 expand(%); value計算得上式的極限值為，與例題3.1.2所得的答案相同。 value(%); 【例題3.1.3】設，試依導函數的定義式來計算。【解】(通分)(約去h並化簡)(約去h)v函數的極值是導函數的一個有趣的應用。
12、於3.1.1節已提過，導函數即代表切線的斜率，而函數的極值則可能(但不一定)位於切線斜率為零之處。下面的範例說明了如何利用導函數來求解方程式的極值。定義。 f:=x-x3+x2-3*x+2; 繪出的函數圖。由圖中可看出有兩個斜率為零之處，而這兩個位置也就是函數極值之所在。它們約略位於與。於數學上，這兩個極值稱為區域極值(local extrema)或相對極值(realtive extrema)，有別於全域極值(global exterma)，因為它們並不是整個函數的極值。 plot(f(x),x=-3.2);利用定義3.1.2來求的導函數。 Limit(f(x+h)-f(x)/h,h=0);
13、用value指令求解上式，可解得導函數為，這個函數也就是之切線斜率的函數。 value(%); 定義為的導函數。 fp:=unapply(%,x); 繪出與的函數圖。讀者可以發現為三次曲線，而為二次曲線。此外，於函數相對極值的點其對應的斜率(即的值)均為零。 plot(f(x),fp(x),x=-3.2,y=-7.8);用fsolve指令可以解得斜率為零之處的數值解。 sol:=fsolve(fp(x)=0,x); 將所求得的解代入中，解得相對極大值為5.416，而相對極小值為0.731。您可以與上圖比對看看這兩個值是否與圖形吻合。 map(subs,sol,f(x); 函數的導函數本身亦為一
14、函數，而導函數上的某個點的值則稱為導數，下面說明了導數的定義。 定義3.1.3 導數函數在的導數記為，亦即 若函數在的導數存在，亦即 (3.1.4)則稱f在可微分(differentiable)。若於定義域內的每一點皆可微分，則函數稱為可微分函數(differentiable function)。一般而言，若f在可微分，則必可繪出一條通過點的切線。這也意味著此切線於不能有斷裂，或者是不連續的情況發生。【例題3.1.4】試討論(a)，(b)於的可微分性。【解】(a) 因為當時為一定值，故於為可微分。事實上，因為平滑且連續，所以一定可以找到一切線切函數於任意點，故處處可微分。(b) 當時， (試驗
15、證之!)因於時並不存在，故於不可微分。v一般而言，函數於不可微分通常發生於下面三種情況：1. 函數的圖形於為一尖角或折點。2. 函數於不連續 (斷點)。3. 函數於的切線為一垂直線 (斜率為)。下面的範例分別探討了這幾種常見的情況。利用piecewise指令定義。 f:=x-piecewise(x -(2-x)(1/3)+1,x2,(x-2)(1/3)+1); 繪出的函數圖。由圖中隱約可見於之處，函數切線的斜率為一垂直線。 plot(f(x),x=0.4,y=-0.5.2.5);計算於的右極限與左極限，二者均得到1，故可知於連續。 limit(f(x),x=2,left), limit(f(x
16、),x=2,right); 依定義3.1.2來計算，其值為無限大，故並不存在，所以於不可微分。 limit(f(2+h)-f(2)/h,h=0); 定義。 g:=x-5-abs(x2-4); 繪出的函數圖。由圖中可看出於之處圖形有一尖點存在，因而可預測於不可微分。 plot(g(x),x=0.4);於的雙邊極限存在，故可知於此處連續。 limit(g(x),x=2); 依(3.1.4)式來測試是否存在，計算得。 limit(g(2+h)-g(2)/h,h=0,left); 。因左右極限不相等，故可知並不存在。 limit(g(2+h)-g(2)/h,h=0,right); 直接以定義3.1.3
17、來求，Maple回應undefined，故可知於並沒有定義，亦即不存在。 limit(g(2+h)-g(2)/h,h=0); 定義 。 p:=x-piecewise(x1, 2*x); 繪出的函數圖。雖然為一片段函數，但右圖中顯示於之處既連續，且無尖角、折角，或者是跳躍的情形發生，故可預測於之處可微分。 plot(p(x),x=-2.3);，因為雙邊極限存在，故可知於之處可微分。 limit(p(1+h)-p(1)/h,h=1); 定義 。 q:=x-piecewise(x1, x-2); 繪出的函數圖。雖然於之處為連續，但於此處有折角發生，故可預測於之處不可微分。 plot(q(x),x=-
18、2.4);因雙邊極限並不存在，故可知也不存在，因而於之處不可微分。 limit(q(1+h)-q(1)/h,h=0); 由上面的討論可知，函數於某一點為可微分(differentiable)的必要條件之一為-函數於該點必須要連續(continuous)。事實上，函數的連續性與是否可微分有著密切的關係，下面的定理說明了這兩者的關係。 定理3.1.1 可微分與連續若函數在為可微分，則在連續。因此由定理3.1.1可知，若在可微分，則在連續，但此定理反過來並不成立，亦即若在連續，則在並不一定可微分。事實上，前面的幾個範例已說明了這個事實，讀者可由這些範例來做驗證。習 題 3.1於習題16中，依導函數的
19、定義式來求。1. 2. 3. 4. 5. 6. 於習題79中，給予一函數f與函數圖形上的一點p，試計算f於p點之切線斜率。7. ; 於點。8. ; 於點。9. ; 於點。10. 考慮下面的函數圖。xy(1) 於，哪一個函數的導函數之值較大?(2) 於，哪一個函數的導函數之值較大?11. 若，是否意味著必須成立?為什麼?12. 試以幾何上的觀點來說明為什麼於的導函數不存在?3.2 導函數的求法於上節中，已介紹了如何以導函數的定義式 (3.2.1)來求得函數的微分。但因其計算的過程頗為煩瑣，故許多微分法則也就相繼發展而出。本節將介紹一些微分的基本公式，以方便導函數的計算。限於篇幅的關係，本書並無法
20、對每一個定理都詳加證明，有興趣的讀者可以參考相關的微積分書籍。 定理3.2.1 常數的微分為零設為一常數函數，則定理3.2.1的證明並不難，把代入(3.2.1)中，可得故可得證。以幾何的觀點來看，常數函數的圖形為一水平線，無論位於何處，其切線的斜率均為零，故也可由此推測常數函數的導函數為0。 定理3.2.2 乘冪律 (power rule)若n為正整數，則 雖然於定理3.2.2中，指數n為正整數，但事實上，n為實數時，本定理亦成立。定理3.2.2可以利用二項式公式 (3.2.2)來證明。令，則消去分子與分母中的共同因子h，於括號內除了第一項之外，每一項均含有h。當時這些項的極限值均為0，故可得
21、 (3.2.3)利用Maple的limit指令也可以驗證這個結果：定義。 f:=x-xn; 這是求解導函數的公式。 Limit(f(x+h)-f(x)/h,h=0); 利用value指令求解極限值並化簡之，可得與定理3.2.2相同的結果。 simplify(value(%); 定理3.2.3 常數與函數相乘之微分若c為一常數，且f為可微分函數，則cf 亦為可微分函數，且 定理3.2.3可以直接將代入定義(3.2.1)中來驗證明。 定理3.2.4 和與差的公式 若f與g為可微分函數，則 ， 定理3.2.4說明了函數之和或差的導函數，等於各別函數之導函數的和或差。【例題 3.2.1】 試求 的導函
22、數。【解】 (定理 3.2.4)(定理 3.2.1、3.2.3)(定理 3.2.2)現在利用Maple來驗證所求得的結果：定義。 f:=x-6*x3-4*x+3; 利用(3.2.1)式，可求得與先前之計算相同的答案。 limit(f(x+h)-f(x)/h,h=0); v【例題 3.2.2】 設，試求通過f上之一點的切線方程式。【解】因代表函數圖形之切線斜率，故只要計算出，即可利用點斜式來求出通過點的切線方程式。依定理3.2.2，可得因此，當時，函數圖形之切線斜率m為由點斜式，可得切線方程式為現在，以Maple來驗證上面的計算過程：定義。 f:=x-x(1/3); 由(3.2.1)式可求得。
23、limit(f(x+h)-f(x)/h,h=0); 將代入，可求得，故可知於時，函數圖形之切線斜率為。 subs(x=1,%); 由點斜式可知切線方程式為。 y:=1+(x-1)/3; 繪出的圖形與切線的圖形。由圖中可看出切線切函數圖形於這點，故可驗證計算的正確性。 plot(f(x),y,x=0.4);v值得注意的是，函數乘積或商的導函數並不等於各別函數之導函數的商或和。下面的定理列出了函數乘積與商之導函數之公式，相關的證明可以參考本節的習題。 定理3.2.5 積的公式 (product rule) 若f與g皆為可微分函數，則 定理3.2.6 商的公式 (quotient rule) 若f與
24、g皆為可微分函數，且，則 【例題 3.2.3】 設 ，試求。【解】(定理 3.2.6)(1)接下來，利用Maple以導函數的定義式來驗證所求得的結果。定義。 f:=x-(x-2)/(x2-1); 以3.2.1式求導函數，Maple回應與(1)式相同的結果。 limit(f(x+h)-f(x)/h,h=0); v到目前為止，本書均以導函數的定義式來要求Maple計算函數的導函數。事實上，Maple的內建指令diff提供了更方便的方法來計算微分，於下節裡，我們將介紹它的使用方法與技巧，讀者更能藉此瞭解Maple在符號運算上的潛能，以及它所帶來的便利性。習 題 3.2於習題16中，試計算各式的導函數
25、。1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 設，試求出切f於的切線方程式。8. 試以導函數的定義式(3.2.1)來導出積的公式9. 試以定理3.2.5來證明定理3.2.6。(提示：可以寫成)。10. 如果，這個關係是否意味著?試解釋之。3.3 Maple的微分指令Maple提供了微分指令diff與微分運算子D來處理函數的微分。diff是用來計算函數的微分，而D則是針對函數運算子所設計，用以求出運算子的微分式。以下兩個小節分別介紹這兩個微分指令。 3.3.1 微分指令 diffMaple以diff來計算函數的微分。diff可以把一函數對單一變數微分，或者是對多個變數微分。而Diff指令則保留了微
26、分的原式，而不對微分式求值。diff(f(x),x) 或 diff(f(x),x)計算微分式 Diff(f(x),x)保留微分的原式，不對微分式求值Maple的微分指令計算。 diff(x3,x); 計算。 diff(x-2)/(x2-1),x); 除了指定的變數之外，Maple視其它的符號為常數。於此例中，指定x為變數，而a, b與c均為常數。 diff(a*x2+b*x+c,x); Diff指令(以大寫的D開頭)有別於diff指令，Diff並不對微分式求值，而只會回應所輸入的微分式。如果想求出微分式的值，可以使用value指令來達成。此外，數學上慣用以來表示單變數函數f對x微分。若f為多變
27、數函數，則習慣上以來表示f對x的偏微分(partial differentiation)。值得注意的是，Maple的輸出是以較廣義的偏微分符號來取代慣用的。Diff以標準的數學式來顯示所輸入的微分指令。於數學上，慣用來代表對單變數函數做微分，但Maple則以偏微分符號來表示所有的微分式。 Diff(x2+b*x,x); 用右式的語法，可以建構一個完整的數學式。 Diff(x2+b*x,x)=diff(x2+b*x,x); 微分。讀者可以注意到，函數和的微分等於微分的和。 diff(f+g)(x),x); 這是微分的乘法公式。 diff(f*g)(x),x); 這是微分的除法公式。 diff(f
28、/g)(x),x); normal指令則可以把兩個分式合併成一個分式。您可以對照一下，右式正是定理3.2.6的公式。 normal(%); 3.3.2 微分運算子D()在介紹微分運算子之前，讀者必須先瞭解Maple的函數運算子(functional operator)。Maple的內建函數如sin、cos、abs與sqrt等皆為函數運算子，而函數運算子加上引數(如、.等)即成為一個標準的函數，如圖3.3.1所示。sin(x)函數運算子引數sin為內建的函數運算子圖3.3.1 函數運算子與其引數的關係函數運算子加上引數即成為一個標準的函數。 (sin+sqrt)(x); 如果於Maple裡自定一
29、個函數，其語法為f:=x-2*x+3則其中的x-2*x+3即為自定的函數運算子。因自定的函數運算子通常頗為冗長且不易記憶，故習慣上，常會把它設給一個變數(如f:=x-2*x+3)，而以這個變數來代表這一整個函數運算子。圖3.3.2說明了函數運算子與其引數的關係。f(6)函數運算子引數f:=x-2*x+3函數運算子設定f為函數運算子利用函數運算子來計算圖3.3.2 自定的函數運算子與其引數的關係x-2*x+3是一個函數運算子。 x-2*x+3; 在函數運算子之後加上一個引數，Maple即可求得其函數值。 (x-2*x+3)(4); 設定f為函數運算子x-2*x+3。 f:=x-2*x+3; 利用
30、所定義的函數運算子來計算的值。於此例中，讀者可以發現f與sin兩個函數運算子實有異曲同工之妙。 f(4),sin(Pi); 熟悉了Maple的函數運算子之後，再來看看微分運算子D。Maple的微分運算子係針對函數運算子所設計，給予一函數運算子，微分運算子D即可求出這個運算子的微分式。因此，D是用在計算函數運算子的微分，而diff則是用來計算數學運算式的微分。由此可知，diff的運算結果是一個運算式，而D的運算結果則是一個運算子。D(f)求函數運算子f的一階微分運算子微分運算子D()接下來的範例介紹了微分運算子的各種用法，其中有部份的範例取材於三角函數的微分，這個部分的微分理論很快的於下節中便會
31、介紹，但讀者可以先參考一下微分運算子D()的用法。sin為Maple的一個內建函數運算子，微分此一運算子可得cos，而cos本身也是一個函數運算子。 D(sin); diff則是用來計算數學式的微分。 diff(sin(x),x); D(sin)回應cos，故D(sin)(x)回應。 D(sin)(x); 同時對數個函數運算子的組合微分。注意其結果是一組函數運算子。 D(sin+cos+sqrt); 函數運算子加上引數即成一般的數學表示式。 D(sin+cos+sqrt)(x); D指令不僅可以用在Maple的內建函數運算子，同時也可以用在自定的函數運算子，其用與上面的幾個例子相同於。定義一函
32、數運算子f。 f:=x-x3+x+1; 的結果亦為一函數運算子。於右邊的範例中，我們把運算結果設給另一變數g。 g:=D(f); 求的值，得到在時的導數。 g(k); 計算。 D(f+g)(x); 計算於時的導數。 D(f*g)(1); 除去f與g的定義。 unassign(f,g);因f並沒有任何定義，故回應原式。 D(f); 這是函數運算子的一階微分，並於零這一點求值。此式相當於。 D(f)(0); 此式相當於。 D(f)(x); 利用convert指令可以將微分運算子的表示式轉換成傳統的數學表示式。 convert(%,diff); D(sin)得cos，而cos(0)=1。 D(sin
33、)(0); 習 題 3.3於習題18中，試以Maple的diff指令計算各式。1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 試以Maple的微分運算子D來計算習題18，並驗證所得的結果是否相同。於習題1012中，試以Maple的微分運算子D來計算各式。10. ，求。11. ，求。12. ，求。13. 設。(1) 試繪出的圖形，範圍取。(2) 繪出的圖形，範圍取。(3) 的點約位於何處? 試由所繪的圖形來說明。(4) 試以solve指令求出所有的解，並由函數圖形來驗証所求得的答案。(5) 的最高點與最低點約位於何處? 試由函數的圖形來說明。(6) 於的最高點與最低點之處，的值為何? 試由
34、函數的圖形來說明。3.4 三角函數的導函數本節將探討如何計算三角函數的導函數，而於推導的過程中，所有的角度均以弳度為單位。附錄E附有三角函數簡單的複習，有需要的讀者可逕行參考。於本節一開始先來推導的導函數，其它三角函數的導函數均可藉由的導函數與微分的基本公式來導出。由導函數的定義，(導函數的定義)(將展開)(提出與) (3.4.1)稍後將證明 與 (3.4.2)故(3.4.1)式可以化簡成 (3.4.3)的導函數可仿照上例，由(3.4.2)式，可得 (3.4.4)的導函數可由(3.4.3)與(3.4.4)式來推導而得：於是，可得 (3.4.5)其它三角函數的導函數之證明將留做習題： (3.4.
35、6) (3.4.7) (3.4.8) 定理3.4.1 (a) (b) 定理3.4.1 的證明頗為有趣，以下先證出(a)的部份，而(b)的證明則留做習題。如圖3.4.1所示，先於紙上繪一個半徑為1的四分之一圓，並交x軸於A點。繪一線段交圓於B點，而垂直於x軸。xyCBAOh半徑r=1圖3.4.1 定理3.4.1 (a)的證明由圖中可看出OAB的面積扇形OAB的面積OAC的面積因三角形面積為底乘高除二，而扇形面積為，其中r為半徑，為角度。所以OAB的面積，扇形OAB的面積，OAC的面積故可得將上式同乘，再取倒數，可得 (3.4.9)(3.4.9)式係在的區間內所推導而得，事實上，在區間內，(3.4
36、.9)式亦成立，因為當時，故由夾擊定理可推得 (3.4.10)定理3.4.1 (b)式的證明可由(3.4.10)推導而得，這個部分留做習題。有趣的是，如果把(3.4.9)的每一個函數繪於的範圍內，則更可以了解夾擊定理所表現的真實意義：繪出與1的函數圖。圖中顯示最頂端的水平線為，而最底端的曲線為，而的圖形則被夾擊在1與之間。由圖中可看出當時，。 plot(cos(h),sin(h)/h,1, h=-Pi/2.Pi/2,y=0.4.1.2);接下來，再來看幾個Maple計算三角函數之導函數的範例。這是的定義式。 Limit(sin(x+h)-sin(x)/h,h=0); 利用value求值，得到。
37、 value(%); 直接以diff指令計算。 diff(sin(x),x); 以微分運算子D也可以求得相同的結果。 D(sin)(x); 繪出(紅色)與其導函數(即，綠色)的圖形。由圖中可看出於的極大值處，其導函數的值為零，相同的，當導函數的值為極大時，的值亦為零。 plot(sin(x),diff(sin(x),x), x=-Pi.2*Pi);計算的導函數。由三角恆等式 ，故可知的導函數亦可寫成。 Diff(tan(x),x):%=value(%); 這是的導函數。 Diff(sec(x),x):%=value(%); 習 題 3.4於習題13中，試導出各恒等式。1. 2. 3. 4. 試
38、證明 (提示：將的分子與分母同乘，經運算後再利用(3.4.10)式來計算)於習題510中，試計算各微分式。5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 試求之圖形在點之切線方程式，並繪圖來驗證所求得的結果。3.5 鏈鎖律本節將探討合成函數(composite function)的微分，而合成函數的微分需要用到一些小技巧。在此先舉一個範例來做說明，於前幾節裡已經學過如何微分函數 與 那麼，要如何利用已知的微分方法，來求得合成函數的導函數呢？首先，設，則 ，於是 (3.5.1) (3.5.2)如果把看成是一個簡單的除法，則可以改寫成 (3.5.3)將(3.5.1)與(3.5.2)式代入(3.5.3
39、)式，可得再把 代入上式，即可得如此便可求得合成函數的導函數。(3.5.3)式所用的微分方法稱為鏈鎖律(chain rule)，下面的定理說明了鏈鎖律的法則。 定理3.5.1 鏈鎖律 設g在x為可微分，且f在為可微分，則合成函數在x為可微分，且 如果設且，則定理3.5.1可以改寫成 (3.5.4)讀者可以注意到，此式與(3.5.3)式相同。【例題3.5.1】 設，試求。【解】 令，由(3.5.4)式，可得v有些函數可能須要用到兩次，或者是兩次以上的鏈鎖律才能求得其導函數。下面的範例說明了這個情形。【例題3.5.2】 設，試求。【解】設，則，所以 (a)要求出上式中的，必須再用一次鏈鎖律。設， ，於是 (b) 將(b)式入(a)中可得 v於許多的應用中，計算的微分可直接利用廣義的乘冪律(general power rule)，此定律的敘述如下： 定理3.5.2 廣義的乘冪律 若為x的可微分函數，則
