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1、对流方程的差分法,一、研究对象,1. 研究的对象 对流方程（一阶双曲型）.,易见，此方程有精确解,事实上，由 知，,当 时，就有 .,即存在一族特征线,其中 为任意常数，,使得在这样的特征线上有 ，也就是 u 值为常数。,要获得在 x- t 平面上的任意一点 处的函数值，,只要将其沿特征线投影到 x 轴上，得到投影点 ，,则 .,考虑一维双曲型对流方程：,1. 区域剖分(区域离散）,将原方程的上半平面求解区域分割成矩形一致网格。,h 空间步长， 时间步长，, 网格节点，,2. 原方程弱化为节点处的离散方程,3. 处理方程 中的偏导数,对偏导数用不同的差商近似将建立不同的差分格式。,下面进行具体
2、的讨论。,：关于时间、空间的一阶偏导数都用向前差商近似，,误差为,误差为,将上面的式子代入离散方程，可得,二、迎风格式（Upwind Scheme）,将数值解 代替精确解 并忽略高阶小项，则可以建立以下差分格式：,可见上述格式的局部截断误差为,4.差分格式的求解, 时间渐进显格式,5. 用谐波分析方法利用增长因子来讨论稳定性。,设 ，相当于对数值解进行变量分离，,对数值格式稳定性的考察现在就转化为对振幅 是否会放大进行讨论。,如果 则 G 就称为增长因子，且,是数值格式稳定的充要条件，也称为 Von Neumann条件。,现在研究上述格式的稳定性。,易见，,从而,为使数值格式稳定，则增长因子
3、G 必须满足,从而获得原格式的稳定性条件,即 且,：关于时间、空间的一阶偏导数分别利用一阶向前差商和一阶向后差商近似，即有,，,误差为,误差为,再将上述近似代入离散方程，可得,将数值解 代替精确解 并忽略高阶小项，则可以建立以下差分格式：,可见上述格式的局部截断误差为,上述格式还可简写为,也不难得到此格式的增长因子为,从而有稳定性条件要求,即 且,综上，我们有以下迎风格式：,a 0时,a 0时,且稳定性条件为,这样我们可以根据原方程中系数 a的符号来选取恰当的步长及合适的数值格式。迎风格式实际上是在双曲型方程离散的过程中将关于空间的偏导数用在特征方向一侧的单边差商来代替，体现了原方程中波的传播
4、方向，它们都是一阶格式。事实上，原方程含有未知函数关于空间的一阶偏导数项，也就是对流项，尽管在数学理论上对这个一阶偏导数进行离散是没有什么特殊困难的，但在物理过程看却不是这样，因为对流作用带有强烈的方向性，所以对流项的离散是否合适直接影响数值格式的性能，这也就说明了迎风格式之所以有效是因为使用了单边差商。,：前面讨论了关于时间和空间的一阶偏导数均用一阶差商近似的情况，接下来容易想到可以对空间的偏导数采用二阶中心差分来近似，从而有,误差为,误差为,再将上述近似代入离散方程，可得,将数值解 代替精确解 并忽略高阶小项，则可以建立以下差分格式：,可见上述格式的局部截断误差为,上述格式还可简写为,也不
5、难得到此格式的增长因子为,显然对任何 都有,从而数值格式完全不稳定。,三、蛙跳格式（Leap-Frog Scheme）,：对上述不稳定情形进行改进，容易想到对时间和空间的偏导数都采用二阶中心差分来近似，从而有,误差为,误差为,再将上述近似代入离散方程，可得,将数值解 代替精确解 并忽略高阶小项，则可以建立以下蛙跳格式：,可见上述格式的局部截断误差为,上述格式还可简写为三层格式,也不难得到此格式的增长因子为,当且仅当 时， 从而,Von Neumann条件满足，数值格式稳定。,蛙跳格式是个三层格式，不能自启动，需要与其它方法（二阶方法）联合。,四、Lax-Friedrichs 格式,：在情形中修
6、改关于时间的一阶偏导数，将 用其左右相邻两节点的算术平均来近似，,就是取,关于空间的一阶偏导数仍用二阶中心差分，即,再将上述近似代入离散方程，可得,将数值解 代替精确解 并忽略高阶小项，则可以建立以下Lax-Friedrichs格式：,易见，其局部截断误差为 .,Lax-Friedrichs格式,可以改写为,利用分解式可以得到其增长因子为,从而,可见，当 时就有 ，从而数值格式稳定。,根据局部截断误差 知，,当 取定为常数时，Lax-Friedrichs是一阶格式。,下面介绍一个二阶格式，通过泰勒公式及原方程变形而获得。,五、Lax-Wendroff 格式,再根据泰勒公式就有,上式中一阶、二阶
7、偏导都用中心差分来近似，,将数值解 代替精确解 并忽略高阶小项，则可以建立以下Lax-Wendroff格式：,易见，其局部截断误差为 .,Lax-Wendroff格式可简记为：,利用分解式 容易得到其增长因子为,稳定性要求,从而获得Lax-Wendroff格式的稳定性条件,最后再介绍一个二阶的Beam-Warming格式，本质上它充分考虑了迎风格式的“迎风”特点，同时借用Lax-Wendroff格式的设计思想提高了精度。,六、 Beam-Warming格式,先讨论 a 0 的情况。,取其中的一阶偏导为迎风的形式且兼顾高阶项，即,同样地，再取迎风的二阶偏导，即,把上面两式都代入原来的(*)式，就
8、有,将数值解 代替精确解 并忽略高阶小项，则可以建立以下a 0 时的Beam-Warming格式：,局部截断误差为 .,再利用分解式，可得此格式的增长因子为,经过整理化简可得,从稳定性要求可推知稳定性条件为 .,用同样的思路，可得 a 0 时的Beam-Warming格式：,其稳定性条件为 .,编程实现的基本环节,第一步，参数设置，如剖分数，节点坐标，a, 已知函 数 (x), 时间、空间步长等。,第二步， 初始条件确定,第三步， 循环：用时间渐进显格式求解各时间层信息。,第四步， 输出,七、数值算例,例. 数值求解一阶对流方程初值问题,其中，初值 在 x = 0 处间断。,取空间步长和时间步长分别为 .,且对应上述空间、时间步长的选取易得 r = 0.5.,给出时刻 t = 0.5 时 区间0, 1内数值解的图像。,精确解为：,迎风格式、Lax-Friedrichs格式、 Lax-Wendroff格式、 Beam-Warming 格式,数值解图像,八、隐格式的设计,前面介绍的若干数值格式都是显格式，从而必须附带稳定性条件成立才能保证数值解最终收敛到精确解。而事实上隐格式通常稳定性较好，所以可以考虑设计隐格式来求解。,修改关于时间的一阶偏导，向前差商换为向后差商！,
